Sistemas de control - Estabilidad, método del lugar de las raíces, criterio de Routh-Hurwitz, controladores tipo PID

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UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
NÚCLEO BARCELONA
UNIDAD III ACTIVIDAD 1
Docente: 									Realizado por:
Ing. Vicenzo Mascia					Ismael Párica, V- 27.652.264
Octubre de 2021
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN	3
CONTENIDO	4
Estabilidad (Definición, características, entre otros)	4
Método del lugar de las raíces	8
Criterio de Routh-Hurwitz	14
Controladores tipo PID	17
CONCLUSIÓN	20
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS	21
INTRODUCCIÓN
El concepto de sensibilidad se introdujo previamente, así como la respuesta estacionaria y la respuesta transitoria para una función de transferencia. Se abordará el tema de la estabilidad, concepto que se aplica para determinar si la función de transferencia, y por ende, el sistema de control que representa, es estable o no. 
Para esto se presentará el método del lugar de las raíces (LGR), utilizado para determinar la ubicación de las raíces y polos de una función de transferencia para un determinado valor de la variable de ganancia K. Posteriormente se indagará sobre un método reconocido mundialmente para determinar la estabilidad absoluta de un sistema de control; conocido por ser desarrollado por dos individuos por separado, quienes publicaron sus hallazgos en el mismo año. Este método se conoce como el teorema Routh-Hurwitz.
Finalmente se hablará sobre los aspectos fundamentales de los controladores PID, dispositivos de control los cuales han mantenido su utilidad y relevancia desde que fueron desarrollados.
CONTENIDO
Estabilidad (Definición, características, entre otros)
Al diseñar un sistema de control, se debe ser capaz de predecir el comportamiento dinámico a partir del conocimiento de sus componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control, es la estabilidad absoluta, es decir si un sistema es estable o inestable; un sistema de control está en equilibrio, si en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
 Un sistema de control lineal e invariante en el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Dicho sistema es críticamente estable si las oscilaciones en la salida continúan en forma indefinida. Es inestable si la salida diverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. 
En realidad la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitado por detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal una vez que la salida excede cierta magnitud por lo cual ya no se aplicarían las ecuaciones diferenciales lineales. 
Aparte de la estabilidad absoluta se debe considerar cuidadosamente la estabilidad relativa, ésta representa la medida cuantitativa de la rapidez con que la respuesta transitoria tiende a cero. Cuanto menor sea el tiempo en estabilizarse la respuesta, el sistema es más estable relativamente.
Veamos el modelo del siguiente sistema de control:
El cual posee la siguiente ganancia: 
La ecuación característica queda definida como:
Donde Q(s) es un polinomio de grado n de la ecuación característica en s y sus raíces son llamadas ceros, P(s) es un polinomio de grado m y sus raíces son llamadas polos. 
Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si:
· Ante una entrada acotada responde con una salida acotada. 
· Si todos los polos de la función de transferencia están en el semiplano negativo de s, es decir, tienen la parte real negativa.
 La localización de polos de un sistema en el plano s representa la respuesta transitoria resultante. Los polos en el plano derecho de s dan como resultado una respuesta decreciente para entradas de perturbación. 
 Análogamente, los polos en eje jω y en el plano derecho de s dan como resultado una respuesta neutral y otra creciente, respectivamente, para una entrada de perturbación, por tal razón la zona de estabilidad de un sistema dinámico es el semiplano izquierdo del plano de s.
Por esto la condición necesaria y suficiente para que un sistema realimentado sea estable es que todos los polos de la función de transferencia del sistema tengan partes reales negativas, ubicados en el semiplano izquierdo de s, si la ecuación característica tiene raíces simples sobre el eje jω con respecto a las raíces del lado izquierdo del plano, el sistema se denomina marginalmente estable, así mismo para que un sistema realimentado sea inestable bastará que la ecuación característica tenga al menos una raíz en el lado derecho del plano s.
 Esto se puede ver en la siguiente imagen:
Método del lugar de las raíces
El método del lugar geométrico de raíces (en inglés, root locus) es una herramienta que sirve para determinar todas las posibles raíces de una ecuación característica de 
Cuando varía algún parámetro (en principio, la ganancia K de un sistema) y se utiliza para conocer el comportamiento total del sistema de lazo cerrado en régimen transitorio.
Si tenemos un sistema de lazo cerrado como en la siguiente figura:
Su representación analítica es:
Por ende, su ecuación característica es:
En tanto que su función de transferencia a lazo abierto corresponde a
Estas ecuaciones son la base para presentar el concepto del lugar geométrico de las raíces. Empezamos reescribiendo la ecuación característica para que quede de esta manera:
Esta ecuación representa un número complejo en notación binómica: a + jb = -1 + j0, cuya parte imaginaria es igual a cero. Expresamos esta ecuación en forma polar, cuya interpretación es la de un vector con magnitud r y dirección θ. Véase la siguiente imagen:
Por lo anterior, la representación polar de la ecuación es:
En esta ecuación se observan una expresión de fase y una expresión de magnitud.
· Condición de fase: ∠
La clave para determinar todos los posibles lugares geométricos (o polos de lazo cerrado del polinomio característico) está contenida en la condición de fase, ya que cualquier valor de s que satisfaga dicha relación angular será una raíz de la ecuación característica considerada.
· Condición de magnitud: 1
Una vez que se han determinado todos los puntos que satisfacen la condición de fase, es posible construir el LGR. La condición de magnitud se utiliza para asignar una escala al lugar geométrico resultante, cuya aplicación directa será la de cuantificar las ganancias requeridas para operar en puntos específicos del LGR con la finalidad de satisfacer las especificaciones de funcionamiento en régimen transitorio.
La conclusión de la ecuación anterior es que todo valor de s que satisface la multiplicidad angular dada por la función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s), es una raíz del polinomio característico 1 + G(s)H(s), que contiene a los polos en lazo cerrado. Por lo tanto, para obtener la representación gráfica de todos los polos de lazo cerrado (o LGR) se parte de la representación en el plano s de los polos y ceros contenidos en G(s)H(s).
Un método alternativo para obtener el LGR es determinar y graficar las n raíces del polinomio característico de grado n:
Considerando que la ganancia K varía en un rango infinito de valores.
Ejemplo
Obtenga con MATLAB el lugar geométrico de las raíces de
Solución
Primero se definen, mediante matrices fila, el numerador y el denominador de la función de transferencia de lazo abierto:
El gráfico resultante es:
Criterio de Routh-Hurwitz
En la década de 1890, A. Hurwitz y E. J. Routh publicaron, en forma separada, un procedimiento numérico para determinar la estabilidad de un sistema a partir de su ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0.
Este método es un arreglo numérico que tiene como objetivo determinar el número de raíces de un polinomio característico que estén en el semiplano derecho del plano s. Por eso, al procedimiento de Routh-Hurwitz se le denomina método de estabilidad absoluta, ya que el resultado no indica la posición específicade los polos, como en el caso de los distintos métodos de evaluación de raíces de polinomios; sin embargo, aún en la actualidad es una herramienta de suma importancia, pues es posible establecer el rango de valores de ganancia ajustable K para los cuales los sistemas de lazo cerrado son estables.
El primer paso para determinar la estabilidad absoluta de un polinomio característico 1 + G(s)H(s) = 0 es representarlo en su respectivo arreglo de Routh-Hurwitz.
Sea el polinomio característico de grado n:
Para comenzar el arreglo, se procede a escribir una columna de términos en s, iniciando con la potencia de mayor grado sn y de ahí orden descendente hasta llegar al término independiente s0; a continuación se distribuyen en el arreglo los coeficientes an, an-1, …, a1 y a0 en pares de dos en dos. Como se ve en la siguiente figura:
Después se procede a completar el arreglo, agregando los elementos b1, b2,…, c1, c2,… que corresponden a las filas de los elementos bi, ci, etcétera y se calculan de la siguiente manera:
La tabla continúa verticalmente hasta terminar el arreglo, pero una vez que éste ha sido completado se aplica el criterio de Routh-Hurwitz, el cual establece que el número de cambios de signos en la columna principal corresponde al número de raíces que se encuentren a la derecha del eje jω (semiplano derecho SPD).
Controladores tipo PID 
Un controlador PID es un mecanismo de control por realimentación ampliamente usado en sistemas de control industrial. Este calcula la desviación o error entre un valor medido y un valor deseado. El algoritmo del control PID consiste de tres parámetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo.
· P : Acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP * e(t), cuya función de transferencia queda como:
Donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set).
· I: acción de control integral, da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
 
Donde Ki: Constante de integración: indica la velocidad con la que se repite la acción proporcional.
La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero
· D: Acción de control derivativa, La acción derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actúan los modos proporcional e integral).
Donde Kd es la constante de derivación: hace presente la respuesta de la acción proporcional duplicándola, sin esperar a que el error se duplique. El valor indicado por la constante de derivación es el lapso durante el cual se manifestará la acción proporcional correspondiente a 2 veces el error y después desaparecerá.
 La función de la acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera evita que el error se incremente. El control derivativo se caracteriza por el tiempo de acción derivada en minutos de anticipo. La acción derivada es adecuada cuando hay retraso entre el movimiento de la válvula de control y su repercusión a la variable controlada.
Tanto la acción Integral como la acción Derivativa, afectan a la ganancia dinámica del proceso. La acción integral sirve para reducir el error estacionario, que existiría siempre si la constante Ki fuera nula.
La salida de estos tres términos, el proporcional, el integral, y el derivativo son sumados para calcular la salida del controlador PID. Definiendo y (t) como la salida del controlador, la forma final del algoritmo del PID es:
	
CONCLUSIÓN
Los sistemas de control no pueden operar a largo plazo si no son lo suficientemente estables, por esto es imperativo estudiar la respuesta del sistema para diferentes valores de K y realizar ajustes para cumplir con los requisitos operacionales. El método LGR es de gran utilidad por su gráfica de polos y raíces, los cuales también se emplean en el método Routh-Hurwitz para validar la estabilidad del sistema.
Durante varios años, los controladores PID han regulado las señales de error de centenares de máquinas y circuitos eléctricos, hidráulicos, neumáticos, entre otros. El hecho de que sean relevantes incluso considerando los avances tecnológicos que se han realizado desde su primera aparición es prueba de la robustez de su diseño.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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