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Universidad de los Andes
Facultad de Ciencias
Departamento de F́ısica
Notas de Clase
Electromagnetismo
Nelson Pantoja
Semestre B-2006
Índice General
1 Teoŕıa electromagnetica de Maxwell 3
1.1 El campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Los potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Electrostática 7
2.1 Campo eléctrico ~E y potencial eléctrico Φ . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 El problema de contorno en electrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 El método de las imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Expansión en funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 La ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 La ecuación de Poisson. Funciones de Green . . . . . . . . . . . 24
3 Expansión Multipolar. Electrostática en medios materiales 30
3.1 Expansión multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Expansión multipolar de la enerǵıa de una distribución de cargas en un
campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Electrostática en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Magnetostática 37
4.1 Magnetostática. El campo ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 El potencial vector ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 El potencial ~A y el campo ~B de algunas distribuciones de corriente . . 40
4.4 Momentos magneticos de una distribución de corrientes localizadas . . 43
4.5 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales . . . . . . . . . . 45
4.6 Problemas de contorno en magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6.1 Uso del potencial vector ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.2 Uso del potencial escalar magnético ΦM ( ~J ≡ ~0) . . . . . . . . . 48
4.6.3 Ferromagnetos duros ( ~M dado y ~J ≡ ~0) . . . . . . . . . . . . . 48
5 Campos que vaŕıan en el tiempo. Leyes de conservación 50
5.1 Los potenciales Φ y ~A y la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Funciones de Green para la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
6 Ondas electromagneticas. Propagación 57
6.1 La ecuación de onda en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Ondas planas en un medio no conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos. . . . . . . . . 60
6.4 Ondas en un medio disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5 Ondas en un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2
Caṕıtulo 1
Teoŕıa electromagnetica de Maxwell
1.1 El campo electromagnetico
La teoŕıa electromagnética de Maxwell es una teoŕıa clásica de campos, en la cual la
interación electromagnética está mediada a través de campos que se suponen medi-
bles en todo punto (~x, t) del espacio-tiempo. En regiones sin materia (en el vaćıo)
denotaremos por
~E(~x, t), ~B(~x, t)
a los campos eléctrico y magnético respectivamente. En presencia de materia, aún
cuando estos siguen siendo fundamentales, se suele introducir otros campos en la des-
cripción de los fenómenos electromagneticos para tomar en cuenta el hecho de que la
materia es susceptible de interactuar con los campos electromagneticos y modificarlos,
cosa que haremos mas adelante.
Los campos ~E(~x, t) y ~B(~x, t) son campos vectoriales bajo rotaciones en 3 dimen-
siones. Bajo inversión espacial ~x → −~x se tiene que ~E(~x, t) → − ~E(−~x, t). Por otro
lado, ~B(~x, t) → ~B(−~x, t) y se dice que ~B es un campo pseudo-vectorial.1
Los campos ~E y ~B pueden ser medidos usando la interacción entre part́ıculas car-
1Un vector es un objeto que transforma bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas en la
misma forma en que lo hace el vector ~x
~x = xiêi = xi
′
êi′ , x
i′ = ai
′
xj con ai
′
j =
∂xi
′
∂xj
.
Si ~V = V iêi = V i
′
êi′ con V i
′
= ai
′
j V
j entonces ~V es un campo vectorial. Por otro lado, se dice que
~B = Bi êi es un campo pseudovectorial si sus componentes transforman de la forma
Bi
′
= det|a|ai
′
j B
j ,
donde det|a| es el determinante de los coeficientes de la transformación; si la transformación es una
inversión o una rotación impropia entonces det|a| = −1. Un ejemplo familiar de pseudovector lo
tenemos en el producto vectorial en E3, ~C = ~A × ~B ≡ εijkAiBj êi; i, j, k = x, y, z; donde εijk es el
simbolo totalmente antisimétrico de Levi-Civita.
3
gadas y el campo electromagnetico
d
dt
~p = q
(
~E +
1
c
~v × ~B
)
, (1.1)
~p = γm0~v, (1.2)
γ ≡
(
1− (v
c
)2
)− 1
2
. (1.3)
El miembro derecho de (1.1) es la fuerza de Lorentz sobre una part́ıcula cargada de
carga q que se mueve bajo la acción de los campos ~E y ~B y puede utilizarse para definir
el campo electromagnetico.
Por otro lado, los campos mismos evolucionan en el espaciotiempo con ecuaciones
~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t), Ley de Gauss (1.4)
1
c
∂t ~E( ~x, t)− ~∇× ~B = −4π ~J(~x, t), Ley de Ampere (1.5)
~∇ · ~B(~x, t) = 0, @ monopolos magnéticos (1.6)
~∇× ~E(~x, t) + 1
c
∂t ~B(~x, t) = ~0, Ley de Faraday (1.7)
donde ρ(~x, t) y ~J(~x, t) son las densidades de carga y corriente, respectivamente, fuen-
tes de los campos electromagnéticos. Las ecuaciones (1.4-1.5) se conocen como las
ecuaciones de Maxwell en forma diferencial.
A primera vista pareceŕıa que partiendo de las ecuaciones de (1.4) a (1.7) junto con
~f = ρ ~E +
1
c
~J × ~B, (1.8)
generalización evidente de (1.1) con ~f la densidad de fuerza de Lorentz, se podŕıan cal-
cular las distribuciones de carga ρ(~x, t) y corriente ~J(~x, t) y los campos ~E(~x, t) y ~B(~x, t)
dadas las condiciones iniciales. Sin embargo, apartando la dificultad matemática, es
todavia un problema abierto como los autocampos afectan el movimiento de las fuen-
tes. De aqúı que nos limitaremos a algo menos ambicioso y calcularemos los campos
producidos por una distribución de cargas y corrientes dada o la distribución de cargas
y corrientes a partir de una configuración particular de los campos.
Veamos a continuación algunas consecuencias importantes de las ecuaciones (1.4-
1.7). De (1.5) se sigue que
~∇ ·
(
1
c
∂t ~E − ~∇× ~B
)
= −4π~∇ · ~J (1.9)
⇒ 1
c
∂t(~∇ · ~E)− ~∇ · (~∇× ~B) = −4π~∇ · ~J
4
y usando la ecuación (1.4), se obtiene
1
c
∂tρ(~x, t) + ~∇ · ~J(~x, t) = 0. (1.10)
La ecuación (1.10) se conoce como ecuación de continuidad y expresa la conservación
de la carga. Usando el teorema de la divergencia se tiene
1
c
∫
Ω
d3x ∂tρ = −
∫
Ω
d3x ~∇ · ~J = −
∫
δΩ
~J · d~s.
Aśı, si la distribuciones de carga y corriente están confinadas en algún volumen, to-
mando Ω lo suficientemente grande la integral de superficie será cero y se tendrá
d
dt
Q = ∂t
∫
Ω
d3x ρ = 0 → Q = const.
1.2 Los potenciales electromagnéticos
Consideremos a continuación el ansatz
~B = ~∇× ~A, (1.11)
donde ~A es un campo vectorial, entonces la ecuación (1.6) se verifica trivialmente. De
aqúı que busquemos soluciones a las ecuaciones de Maxwell con ~B en la forma (1.11).
No es sin embargo evidente que toda solución de (1.6) deba ser de la forma (1.11) y
de hecho, la existencia de ~A depende de la topoloǵıa de la región en la cual se supone
válida (1.6). Por los momentos ignoremos estas dificultades.
Sustituyendo (1.11) en (1.7) se tiene
~∇× ~E + 1
c
∂t~∇× ~A = ~0
y de aqúı que
~∇× ( ~E + 1
c
∂t ~A) = ~0. (1.12)
A continuación, con
~E +
1
c
∂t ~A = −~∇Φ,
donde Φ(~x, t) es un campo escalar, es claro que (1.12) se satisface inmediatamente. De
aqúı que si buscamos soluciones al sistema de ecuaciones (1.4-1.7) de la forma
~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t), (1.13)
~E(~x, t) = −~∇Φ(~x, t)− 1
c
∂t ~A(~x, t), (1.14)
habremos resuelto automaticamente las ecuaciones homogeneas (1.6) y (1.7). Φ y ~A
se conocen como los potenciales escalary vectorial, respectivamente.
5
Finalmente, sustituyendo (1.14) en (1.4) y (1.5) se tiene
∆Φ− 1
c2
∂t∂tΦ = −4πρ−
1
c
∂t
[
~∇ · ~A+ 1
c
∂tΦ
]
, (1.15)
∆ ~A− 1
c2
∂t∂t ~A = −4π ~J + ~∇
[
~∇ · ~A+ 1
c
∂tΦ
]
, (1.16)
ecuaciones que en principio determinan los potenciales electromagnéticos Φ y ~A en
términos de la fuentes ρ y ~J ..
Ahora bien, supongase que hemos encotrado Φ0 y ~A0, soluciones a (1.15) y (1.16)
y que por lo tanto
~B0 = ~∇× ~A0 ~E0 = −~∇Φ0 −
1
c
∂t ~A0.
Es fácil ver que los potenciales transformados
Φ ≡ Φ0 −
1
c
∂tχ (1.17)
y
~A ≡ ~A0 + ~∇χ (1.18)
reproducen los mismos ~B0 y ~E0, esto es
~∇× ~A = ~∇× ( ~A0 + ~∇χ) = ~∇× ~A0 + ~∇× ~∇χ = ~B0
y
−~∇Φ− 1
c
∂t ~A = −~∇Φ0 +
1
c
~∇ (∂tχ)−
1
c
∂t ~A0 −
1
c
∂t(~∇χ) = −~∇Φ0 −
1
c
∂t ~A0 = ~E0.
Los nuevos Φ y ~A, ecuaciones (1.17) y (1.18), también satisfacen (1.15) y (1.16) (se
propone como ejercicio). Hemos descubierto entonces una simetŕıa o invariancia de la
teoŕıa electromagnética. Los campos ~E y ~B y las ecuaciones de movimiento (1.4) a
(1.7) son invariantes bajo las transformaciones
Φ → Φ− 1
c
∂tχ , ~A→ ~A+ ~∇χ.
Dichas transformaciones se conocen como transformaciones de calibre y se dice que
la teoŕıa presenta invariancia de calibre. Este tipo de invariancia es de importancia
fundamental en f́ısica y está intimamente ligada a la noción de interacción. Tene-
mos entonces que el campo electromagnetico viene descrito por toda una familia de
potenciales que difieren entre śı por transformaciones de calibre.
6
Caṕıtulo 2
Electrostática
2.1 Campo eléctrico ~E y potencial eléctrico Φ
Nos restringiremos en este y el proximo caṕıtulo a considerar distribuciones de carga y
campos independientes del tiempo. En este caso las ecuaciones de Maxwell se reducen
a
~∇ · ~E(~x) = 4πρ(~x) (2.1)
y
~∇× ~E(~x) = ~0. (2.2)
La ecuación (2.1) es la ley de Gauss en forma diferencial y puede llevarse a la forma
integral usando el teorema de la divergencia. Aśı, integrando (2.1) sobre un volumen
Ω se tiene ∫
Ω
d3x ~∇ · ~E(~x) = 4π
∫
Ω
d3x ρ(~x), (2.3)
y con ∫
Ω
d3x ~∇ · ~E(~x) =
∮
∂Ω
~E · d~s,
se sigue que ∮
∂Ω
~E · d~s = 4π
∫
Ω
d3x ρ(~x), (2.4)
donde ∂Ω es la frontera del volumen Ω.
Volviendo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), la ecuación (2.2) se integra de manera
inmediata si ~E es derivable de un potencial
~E(~x) = −~∇Φ(~x) (2.5)
y de (2.5) y (2.1) se sigue que
∆Φ(~x) = −4πρ(~x), (2.6)
que reconocemos como una ecuación de Poisson. Para ρ(~x) = 0, esto es, para el caso
en el cual no hay distribuciones de carga en todo el espacio, el potencial escalar Φ(~x)
satisface la ecuación de Laplace
∆Φ(~x) = 0. (2.7)
7
En problemas de electroestática que involucran distribuciones de carga localizadas
sin condiciones de contorno para Φ, salvo la condición mı́nima Φ(~x) → 0 para |~x| → ∞,
la solución general de (2.6) viene dada por
Φ(~x) =
∫
R3
d3x′
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
, (2.8)
como se puede verificar facilmente,
∆xΦ(~x) =
∫
d3x′ρ(~x′)∆x
(
1
|~x− ~x′|
)
=
∫
d3x′ρ(~x)(−4πδ(~x− ~x′)) = −4πρ(~x).
Arriba hemos usado el hecho de que 1/|~x− ~x′| es la función de Green para el operador
∆ en R3,
∆
(
1
|~x− ~x′|
)
= −4πδ3(~x− ~x′), (2.9)
que satisface la condición
1/|~x− ~x′| → 0, |~x| → ∞ (2.10)
y δ es por supuesto la distribución δ de Dirac.
La distribución δ de Dirac nos permite, por otro lado, describir distribuciones de
carga tanto discretas como continuas. Por ejemplo,
ρ(~x) =
N∑
i=1
qi δ(~x− ~x′) (2.11)
representa una distribución de N cargas puntuales qi localizadas a los puntos ~xi. Si
sustituimos (2.11) en (2.8) se tendrá
Φ(~x) =
∫
d3x′
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
=
∫
d3x′
1
|~x− ~x′|
N∑
i=1
qi δ(~x− ~x′i)
=
N∑
i=1
qi
∫
d3x′
δ(~x− ~x′i)
|~x− ~x′|
=
N∑
i=1
qi
1
|~x− ~xi|
(2.12)
que es obviamente el potencial creado en ~x por N cargas puntuales qi localizadas en
los puntos ~xi.
El campo eléctrico ~E(~x) se obtiene a partir de (2.5) de manera inmediata
~E(~x) = −~∇xΦ(~x) = −
∫
d3x′ρ(~x′)~∇x
(
1
|~x− ~x′|
)
=
∫
d3x′ρ(~x)
~x− ~x′
|~x− ~x′|3
=
∫
d3x′
(
N∑
i=1
qi δ(~x− ~xi)
)
~x− ~x′
|~x− ~x′|3
=
N∑
i=1
qi
|~x− ~xi|2
~x− ~xi
|~x− ~xi|
, (2.13)
y que reconocemos como el campo electroestático producido por N cargas puntuales
qi localizadas en los puntos ~xi.
Veamos a continuación algunos ejemplos de distribuciones de carga continuas.
8
1. En coordenadas cilindricas (ρ, ϕ, z) una carga λ por unidad de longitud unifor-
memente distribuida sobre una superficie cilindrica de radio b.
Tomando en cuenta las simetŕıas de la distribución de cargas considerada se
propone
ρ(~x) =
C
r
δ(ρ− b), (2.14)
donde C es una constante a ser ajustada. A continuación, exigiendo
λl =
∫ l
0
dz
∫ ∞
0
dρ ρ
∫ 2π
0
dϕ ρ(~x) (2.15)
se encuentra
C =
λ
2π
.
2. En coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), una carga Q uniformemente distribuida sobre
una concha esferica de radio R.
Se propone
ρ(~x) =
C
r2
δ(r −R), (2.16)
y exigiendo
Q =
∫
d3x ρ(~x) (2.17)
se encuentra
C =
Q
4π
.
3. En coordenadas cilindricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un
disco circular plano de espesor despreciable y radio R.
ρ(~x) =
Q
πR2
δ(z)Θ(R− ρ).
4. La misma distribución de cargas anterior pero en coordenadas esfericas.
Partiendo de la expresión encontrada anteriormente y pasando a coordenadas
esféricas se encuentra
ρ(~x) =
C
r sin θ
δ(θ − π
2
)Θ(R− r), C = Q
πR2
,
donde hemos usado
δ(f(x)) =
∑
i
1
|f ′(xi)|
δ(x− xi)
y donde los xi son las raices de f(x), esto es, f(xi) = 0.
9
Cabe destacar que aún cuando el campo eléctrico es la cantidad f́ısicamente re-
levante en la descripción clásica que estamos considerando, el potencial escalar Φ(~x)
admite una interpretación f́ısica interesante. Consideremos el trabajo hecho por un
agente externo sobre una carga de prueba q al transportarla desde una punto A hasta
un punto B a lo largo de una trayectoria ΓBA en presencia de un campo electroestático
~E(~x). La fuerza que actúa sobre la carga viene dada por
~F (~x) = q ~E(~x) (2.18)
y por lo tanto
W = −
∫
ΓBA
~F · d~l = −q
∫
ΓBA
~E · d~l (2.19)
(el - aparece porque estamos calculando el trabajo hecho en contra de la acción del
campo) y de (2.5) se tiene
W = −q
∫
ΓBA
(−~∇Φ) · d~l = q
∫
ΓBA
dΦ = q(ΦB − ΦA), (2.20)
lo que nos dice que qΦ puede interpretarce como la enerǵıa potencial de la carga q en
presencia del campo electroestático ~E(~x). De (2.19) y (2.20) se desprende que∫
ΓBA
~E · d~l = −(ΦB − ΦA) ⇒
∮
c
~E · d~l = 0, (2.21)
que es perfectamente consistente con lo que se obtiene del Teorema de Stokes∮
C
~E · d~l =
∫
S
~∇× ~E · d~l = −
∫
S
~∇× (−~∇Φ) · d~s = 0.
Se sigue entonces el resultado bien conocido de que las “fuerzas derivables de un po-
tencial son conservativas “.
2.2 El problema de contorno en electrostática.
En problemas de electrostática sin condiciones de contorno y con distribuciones de
carga discretas o continuas, la solución general de (2.8) viene dada por
Φ(~x) =
∫
R3
d3x′
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
,
que reconocemos como el producto de convolución de la distribución de cargas ρ(~x)
con la función de Green (2.9), donde ésta última satisface las condiciones de contorno
(2.10).
En problemas de electrostática en una región finita del espacio, con o sin carga
en su interior, y con condiciones de contorno prescritas sobre la superficie frontera
de dicha región , el potencial electrostático viene dado por una expresión diferente
10
que contiene, además de la convolución de la distribución de cargas con la función de
Green apropiada al problema de contorno, un termino que involucra a las condiciones
de contorno espećıficas prescritas para el potencial. Dicha expresión puede ser deducida
con facilidad empleando las denominadas identidades de Green.
Las identidades de Green, arriba mencionadas, se obtienen facilmente a partir del
teorema de la divergencia ∫
Ω
d3x ~∇ · ~V =
∮
∂Ω
~V · d~s. (2.22)
Sea ~V = ϕ~∇ψ, en cuyo caso
~∇ · ~V = ~∇ · (ϕ~∇ψ) = ϕ∆ψ + ~∇ϕ · ~∇ψ (2.23)
y sustituyendo(2.23) en (2.22) se obtiene la primera identidad de Green,∫
Ω
d3x (ϕ∆ψ + ~∇ϕ · ~∇ψ) =
∮
∂Ω
ϕ~∇ψ · d~s. (2.24)
Intercambiando ϕ y ψ y restando lo obtenido a (2.24) se obtiene la segunda identidad
de Green, ∫
Ω
d3x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) =
∮
∂Ω
(ϕ~∇ψ − ψ~∇ϕ) · d~s. (2.25)
La solución a la ecuación de Poisson en un volumen finito Ω
∆x′Φ(~x
′) = −4πρ(~x′), ~x ∈ Ω,
con condiciones de contorno para Φ prescritas sobre la frontera ∂Ω de Ω se puede
obtener usando (2.25). Supongamos que existe G(~x; ~x′), tal que
∆x′G(~x; ~x
′) = −4πδ(~x− ~x′), ~x, ~x′ ∈ Ω. (2.26)
Partiendo de (2.25), escogiendo ψ = G, ϕ = Φ y a ~x′ como variable de integración se
tendrá∫
Ω
d3x′ [−4πδ(~x− ~x′)Φ(~x′) + 4πρ(~x′)G(~x; ~x′)]=
∮
∂Ω
(Φ(~x′)∂n′G(~x; ~x
′)−G(~x; ~x′)∂n′Φ(~x′))da′,
de donde se sigue que
Φ(~x) =
∫
Ω
d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′) +
1
4π
∮
∂Ω
[G(~x; ~x′)∂n′Φ(~x
′)− Φ(~x′)∂n′G(~x; ~x′)] da′, (2.27)
donde hemos reescrito ~∇′xΦ(~x′) · d~s′ = ~∇′xΦ(~x′) · n̂′da′ = ∂n′Φ(~x′)da′.
Como es sabido la solución a la ecuación de Poisson con Φ y ∂Φ
∂n
especificados de
manera arbitraria sobre ∂Ω no existe. Sin embargo, existen soluciones únicas para
condiciones de Dirichlet (Φ se especifica sobre ∂Ω) o Neumann (∂Φ
∂n
se especifica sobre
∂Ω). La libertad que se tiene en la definición de G, ecuación (2.32), nos permite hacer
11
que la integral de supeficie en (2.27) dependa solamente de las condiciones de contorno
escogidas. Aśı para condiciones de Dirichlet exigiremos
G(~x; ~x′) |∂Ω = 0 (2.28)
y de (2.27) se tendrá
Φ(~x) =
∫
Ω
d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′)− 1
4π
∮
∂Ω
Φ(~x′) ∂n′Gda
′. (2.29)
Para condiciones de contorno de Neumann es conveniente hacer 1
∂n′G(~x; ~x
′) |∂Ω = −
4π
As
, (2.30)
donde As es el área total de la superficie ∂Ω frontera de Ω. La solución viene en este
caso dada por
Φ(~x) =
∫
Ω
d3x′ρ(~x′)G(~x; ~x′) +
1
4π
∫
∂Ω
∂n′Φ(~x
′)G(~x; ~x′) da′ +
1
As
∫
∂Ω
Φ(~x′)da′. (2.31)
Notese que el último término es una constante igual al valor promedio del potencial
sobre la superficie ∂Ω. Esta constante, por otro lado, es irrelevante toda vez que solo
la diferencia de potencial admite interpretación f́ısica.
Por último, de (2.9) se sigue que la solución elemental G(~x; ~x′) de (2.26) debe ser
de la forma
G(~x; ~x′) =
1
|~x− ~x′|
+ F (~x, ~x′), (2.32)
con
∆F (~x, ~x′) = 0. (2.33)
Aśı, puesto que |~x − ~x′|−1 puede interpretarse como el potencial creado en ~x por una
carga unidad localizada en ~x′, la función F (~x; ~x′) que aparece en (2.32), solución a la
ecuación de Laplace en el interior de Ω, puede ser interpretada como el potencial de
una distribución de cargas externa al volumen Ω y que se escoge de forma tal que se
satisfaga (2.28) ó (2.30). Sobre la base de esta interpretación descansa el denominado
método de las imagenes.
1Note que∫
Ω
d3x∆xG(~x; ~x′) =
∫
Ω
d3x~∇ · ~∇G(~x; ~x′) =
∮
s
~∇xG(~x; ~x′) · n̂da =
∮
s
∂n Gda
y puesto que
∆xG(~x; ~x′) = −4πδ(~x− ~x′)
es claro que no es posible escoger ∂nG = 0.
12
2.3 El método de las imagenes
La idea del método es tratar de llevar el problema de contorno en la región Ω a uno sin
condiciones de contorno que sea equivalente en Ω. En el nuevo problema, el potencial
deberá tomar sobre la frontera de Ω valores idénticos a los prescritos por las condiciones
de contorno del problema original, para lo cual se colocan distribuciones de carga
“imagen“ fuera de Ω. Es claro, esto va a ser posible solo en aquellos casos en los que
la geometŕıa del problema presente muchas simetŕıas.
Un ejemplo muy sencillo es el de una carga puntual localizada a una distancia a
de un plano infinito conductor, tal que Φ sobre el plano sea cero. Es fácil ver que este
problema es equivalente en la región de interes al problema de la carga original y una
igual pero de signo contrario localizada en el punto imagen especular detras del plano
conductor. En este caso se tiene, suponiendo que la superficie z = 0 define al plano
conductor,
Φ(~x) =
q
|~x− ak̂|
− q
|~x+ ak̂|
= q
(
1√
x2 + y2 + (z − a)2
− 1√
x2 + y2 + (z + a)2
)
, (2.34)
que obviamente satisface Φ|z=0 = 0.
A partir del resultado anterior es fácil calcular la densidad de carga sobre el plano
conductor. Para ello basta utilizar la ley de Gauss y el hecho de que el campo eléctrico
sobre la superficie de un conductor es normal a la misma y que dentro del conductor
es cero, de donde se desprende que
σ(x, y) =− 1
4π
(
∂Φ
∂z
)
z=0
= − q
4π
(
− z − a
(x2 + y2 + (z − a)2)3/2
+
z + a
(x2 + y2 + (z + a)2)3/2
)
z=0
= − q
4π
2a
(x2 + y2 + a2)3/2
(2.35)
Veámos a continuación un caso ligeramente más complicado. Consideremos el pro-
blema de una carga puntual q0 localizada en ~x0, de forma tal que el origen del sistema
de referencia es a su vez es el centro de una esfera conductora de radio a < | ~x0| y sobre
cuya superficie Φ = 0. Vamos a emplear el método de las imagenes. Por simetŕıa es
claro que la carga imagen q′0 estará sobre la linea que une al origen con la carga q0. Si
q0 esta fuera de la esfera, ~x
′
0 que es la posición de la carga imagen estará dentro de la
esfera. El potencial debido a las cargas q0 y q
′
0 en el punto ~x será
Φ(~x) =
q0
|~x− ~x0|
+
q′0
|~x− ~x′0|
. (2.36)
Ahora, debemos fijar q′0 y ~x
′
0 de forma tal que Φ(|~x| = a) = 0. Para hacer esto más
fácil reescribiremos Φ como
Φ(~x) =
q0
|xn̂− x0n̂′|
+
q′0
|xn̂− x′0n̂′|
(2.37)
13
donde x = |~x|, x0 = | ~x0| y x′0 = | ~x′0|. Sobre la superficie |~x| = a se tendrá
Φ(|~x = a|) = q0
a
1
|n̂− x0
a
n̂′|
+
q′0
x′0
1
|n̂′ − a
x′0
n̂|
, (2.38)
lo que nos lleva a escoger
q0
a
= − q
′
0
x′0
y |n̂− x0
a
n̂′| = |n̂′ − a
x′0
n̂| ⇒ x0
a
=
a
x′0
. (2.39)
De aqúı que
q′0 = −
a
x0
q0 , x
′
0 =
a2
x0
. (2.40)
Una vez que la carga imagen ha sido encontrada, podemos entonces volver al pro-
blema original y calcular varias cosas interesantes. Por ejemplo la densidad de carga
sobre la superficie conductora esférica viene dada por
σ = − 1
4π
∂ Φ
∂x
|x=a = −
q0
4πa2
(
a
x0
)
1− ( a
x0
)2
(1 + ( a
x0
)2 − 2 a
x0
cos γ)3/2
, (2.41)
donde
cos γ =
~x · ~x0
x x0
. (2.42)
También podemos calcular la fuerza que actua sobre q0. La manera más sencilla es
obviamente calcular la fuerza entre q0 y q
′
0 que están separadas una distancia x0−x′0 =
x0(1− a
2
x20
)
|~F | = q
2
a2
(
a
x0
)3(
1−
(
a
x0
)2)−2
. (2.43)
Nótese también que es posible colocar una segunda carga q′′ en el centro de la esfera
sin destruir la equipotencial. La magnitud de q′′ es arbitraria y puede ser ajustada para
satisfacer condiciones de contorno diferentes a la homogénea. Por ejemplo si queremos
que Φ|s = V entonces q′′ = V a, si queremos que la carga total del conductor sea cero
entonces q′′ = −q′, etc.
No es dificil darse cuenta (como fué sugerido antes) que el potencial debido a la
carga unidad y su(s) imagen(es), escogida(s) de forma tal que se satisfagan condiciones
de frontera homogeneas es justamente la función de Green apropiada al problema de
Dirichlet. Aśı con q0 = 1 y ~x0 = ~x
′, de (2.37) y (2.40) se tiene que
G(~x, ~x′) =
1
|~x− ~x′|
− a
x′|~x− a2
x′2
~x′|
; |~x|, |~x′| > a, (2.44)
satisface
∆xG(~x, ~x
′) = −4πδ(~x− ~x′), (2.45)
y la condición de contorno
G(~x, ~x′)
∣∣|~x|=a = 0. (2.46)
14
G dada por (2.44) es la función de Green apropiada al problema de Dirichlet exterior
a la esfera. Notese que
F (~x, ~x′) = − a
x′|~x− a2
x′2
~x′|
(2.47)
satisface ∆F = 0, ya que | a2
x′2
~x′| = a2|~x′| = a
a
|~x′| < a .
La solución al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson involucra además
de G a ∂G/∂n′. En este caso n̂′ = −~x′/x′ (n̂′ es la normal externa al volumen de
interes)
∂ G
∂ n′
|S = −
∂ G
∂ x′
|x′=a = −
∂
∂ x′
[
1
(x2 + x′2 − 2xx′ cos γ)1/2
− 1
(x
2x′2
a2
+ a2 − 2xx′ cos γ)1/2
]
x′=a
= − x
2 − a2
a(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2
, (2.48)
con
cos γ =
~x · ~x′
xx′
(2.49)
Aśı, la solución a la ecuación de Laplace para el exterior a una esfera con condiciones
de Dirichlet viene dada por
Φ(~x) =
1
4π
∫
dΩ′
a(x2 − a2)(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2
Φ(a, θ′ϕ′), (2.50)
donde
cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos (ϕ− ϕ′). (2.51)
y
dΩ′ = sin θ′dθ′dϕ′. (2.52)
Por último consideremos un problema que involucra cargas imagenes no puntuales.
Sean dos ĺıneas cargadas infinitas y paralelas, con cargas λ y−λ por unidad de longitud.
El potencial en un punto cualquiera viene dado por
ϕ(x, y) = −2λ [ln r1 − ln r2] = −2λ ln
∣∣∣∣∣
√
x2 + y2√
(x+ 2d)2 + y2
∣∣∣∣∣ . (2.53)
Es claro las superficies equipotenciales del problema vienen dadas por∣∣∣∣∣
√
x2 + y2√
(x+ 2d)2 + y2
∣∣∣∣∣ = C = const. (2.54)
La superficie equipotencial C = 1 es el plano perpendicular a la ĺınea que une a
las dos cargas y pasa justo a mitad de camino entre ambas. En general, las superficies
equipotenciales tienen por ecuación para C 6= 1(
x− 2dC
2
1− C2
)2
+ y2 =
(
2dC
1− C2
)2
, (2.55)
15
que es claro la ecuación de un cilindro en R3, con eje en el punto de coordenadas(
2dC2
1− C2
, 0
)
(2.56)
y radio
2dC
1− C2
. (2.57)
Es posible entonces resolver problemas que involucran conductores cilindricos valien-
donos del ejemplo citado. Por ejemplo, podemos atacar el problema de un plano y
un cilindro conductores cuya disposición es la indicada por las ĺıneas punteadas de la
figura.
2.4 Expansión en funciones ortogonales
La representación de soluciones a los problemas de contorno para las ecuaciones de
Laplace y de Poisson como una expansión en funciones ortogonales es una técnica
ampliamente usada, dependiendo la escogencia del conjunto ortogonal de las simetrias
del problema particular. La manera más sencilla de obtener estas expansiones para
las soluciones a la ecuación de Laplace consiste en usar el método de separación de
variables.
2.4.1 La ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
Como un primer ejemplo consideremos el caso en el cual Ω es la región con forma de
paraleleṕıpedo, localizada como se indica en la figura, con dimensiones (a, b, c) en las
direcciones (x, y, z). Todas las superficies del paraleleṕıpedo están a potencial cero,
excepto la superficie z = c que se encuentra a potencial V (x, y). Queremos encontrar
el potencial en su interior suponiendo que no hay cargas en el mismo. El problema que
nos ocupa consiste entonces en encontrar Φ solución al problema de contorno para la
ecuación de Laplace
∆Φ = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c; (2.58)
Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c;
Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z ≤ c;
Φ(x, y, 0) = 0, Φ(x, y, c) = V (x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; (2.59)
La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas viene dada por
∆Φ = ∂2xΦ + ∂
2
yΦ + ∂
2
zΦ = 0. (2.60)
16
Proponiendo una solución de la forma
Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z), (2.61)
se tiene
Y (y)Z(z)
d2X(x)
dx2
+X(x)Z(z)
d2Y (y)
dy2
+X(x)Y (y)
d2Z(z)
dz2
= 0
y dividiendo entre (2.61)
1
X(x)
d2X(x)
dx2
+
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2
+
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2
= 0. (2.62)
De (2.62) se desprende que
1
X(x)
d2X(x)
dx2
= α; (2.63)
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2
= β; (2.64)
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2
= −(α+ β), (2.65)
donde hasta ahora α y β son arbitrarias.
Por otro lado, de las condiciones de contorno homogéneas se sigue que
Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0 , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c ⇒ X(0) = X(a) = 0, (2.66)
Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ z ≤ c ⇒ Y (0) = Y (b) = 0. (2.67)
Aśı, (2.63,2.66) definen un problema de autovalores con autofunciones
Xn(x) = sin
nπx
a
(2.68)
y autovalores
α = −
(nπ
a
)2
, n = 1, 2, . . . (2.69)
De la misma manera, el problema (2.64,2.67) admite como únicas soluciones las auto-
funciones
Ym(y) = sin
mπy
b
(2.70)
con autovalores
β = −
(mπ
b
)2
, m = 1, 2, . . . (2.71)
Ahora, de la condición de contorno Φ(x, y, 0) = 0 se sigue que Z(0) = 0 y de aqúı que
la solución de (2.65) venga dada por
Znm(z) = sinh
[((nπ
a
)2
+
(mπ
b
)2)
z
]
(2.72)
17
La solución de (2.60) y que satisface las condiciones de contorno homogéneas es por
superposición
Φ(x, y, z) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
amn sinh
[(
(
nπ
a
)2 + (
mπ
b
)2
)1/2
z
]
sin
nπx
a
sin
mπy
b
. (2.73)
Por último, de la condición de frontera no homogénea Φ(x, y, c) = V (x, y) se des-
prende que
V (x, y) =
∞∑
n,m=1
amn sinh
[(
(
nπ
a
)2 + (
mπ
b
)2
)1/2
c
]
sin
nπx
a
sin
mπx
b
, (2.74)
de donde se sigue que los coeficientes de la serie son los coeficientes de la expansión de
V (x, y) en la serie de Fourier doble
amn sinh
[(
(
nπ
a
)2 + (
mπ
b
)2
)1/2
c
]
=
2
a
∫ a
0
dx sin
nπx
a
2
b
∫ b
0
dy sin
mπy
b
V (x, y)
y de aqúı que
amn =
4
ab sinh
[(
(nπ
a
)2 + (mπ
b
)2
)1/2
c
] ∫ a
0
dx sin
nπx
a
∫ b
0
dy sin
mπy
b
V (x, y). (2.75)
Si la caja rectangular tiene condiciones de contorno no homogéneas sobre las seis
caras, la solución para el potencial en el interior del paralelepipedo será la superposición
lineal de las soluciones a los seis problemas, equivalentes a (2.73) (2.75), en los cuales
solo una de las caras tiene una condición de contorno no-homogénea.
El potencial electrostático con una distribución de cargas en el interior de la caja y
con condiciones de contorno sobre su superficie requiere la construcción de la función de
Green apropiada, cuestión que atacaremos después de discutir la ecuación de Laplace
en coordenadas esfericas y cilindricas. Adelantaremos sin embargo que (2.70) y (2.75)
son equivalentes a la integral de superficie que aparece en la solución al problema de
contorno para la ecuación de Poisson en términos de la función de Green.
La ecuación de Laplace en coordenadas esfericas
Consideremos a continuación el problema de encontrar el potencial electrostático en el
interior de una esfera de radio a, sin cargas en su interior y con el potencial especificado
sobre su superficie. En este caso, el potencial Φ viene dado por la solución al problema
interior de Dirichlet con simetria esferica para la ecuación de Laplace
∆Φ =
1
r2
∂r(r
2∂rΦ) +
1
r2 sin θ
∂θ(sin θ∂θΦ) +
1
r2 sin2 θ
∂ϕ∂ϕΦ = 0 (2.76)
0 ≤ r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
Φ(a, θ, ϕ) = f(θ, ϕ). (2.77)
18
Se propone una solución de la forma
Φ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) (2.78)
y sustituyendo (2.78) en (2.76) se tiene
Y (θ, ϕ)
1
r2
d
dr
[r2
d
dr
R(r)] +R(r)
1
r2 sin θ
[
∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) + ∂ϕ∂ϕ
Y (θ, ϕ)
sin θ
]
= 0.
Dividiendo la expresión anterior entre (2.78) y multiplicando por r2
1
R(r)
d
dr
[
r2
d
dr
R(r)
]
+
1
Y (θ, ϕ)
[
∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) + ∂ϕ∂ϕ
Y (θ, ϕ)
sin θ
]
= 0,
de donde se sigue que
d
dr
[
r2
d
dr
R(r)
]
= λR(r) (2.79)
y
1
sin θ
∂θ(sin θ ∂θY (θ, ϕ)) +
1
sin2 θ
∂ϕ∂ϕY (θ, ϕ) = −λY (θ, ϕ), (2.80)
donde λ es una constante se separación.
A continuación, proponiendo una solución para (2.80) de la forma
Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Ψ(ϕ), (2.81)
se tiene
Ψ(ϕ)
1
sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ(θ)
dθ
)
+ Θ(θ)
1
sin2 θ
d2
dϕ2
Ψ(ϕ) = −λΘ(θ)Ψ(ϕ)
de donde se sigue que
sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ(θ)
dθ
)
+ λ sin2 θΘ(θ) = m2Θ(θ) (2.82)
y
d2
dϕ2
Ψ(ϕ) +m2Ψ(ϕ) = 0, (2.83)
donde m2 es otra constante de separación.
La solución general de (2.83) es
Ψ(ϕ) = Aeimϕ +B e−imϕ (2.84)
y exigiendo
Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ+ 2π), Ψ′(ϕ) = Ψ′(ϕ+ 2π), (2.85)
se tendrá
Ψ(ϕ) = c eimϕ, con m = 0,±1,±2, . . . (2.86)
19
Ahora, puesto que la ecuación (2.79) es del tipo de Euler, la solución debe ser de
la forma
R(r) ∝ rl (2.87)
y sustituyendo (2.87) en (2.79) se tiene
l(l + 1)− λ = 0. (2.88)
La solución general de (2.79) es entonces
Rl(r) = D r
l + E r−(l+1). (2.89)
Para resolver (2.82) es conveniente hacer el cambio x = cos θ con −1 ≤ x ≤ 1 y
(2.82) se reescribe como
d
dx
[
(1− x2)dΘ
dx
]
+
(
l(l + 1)− m
2
1− x2
)
Θ = 0, (2.90)
que reconocemos como la ecuación de Legendre generalizada. (2.90) admite como
soluciones las conocidas funciones de Legendre Pml (x) de grado l y ordenm, con |m| ≤ l,
l entero ≥ 0. Nótese que (2.90) admite también como soluciones a las funciones de
Legendre de segundo tipo Qml (x), pero éstas no estan acotadas en x = ±1 y de aqúı
que no sean consideradas.La solución de (2.90) es entonces
Θ(θ) = Pml (cos θ). (2.91)
La solución de (2.80) viene dada por
Y ml (θ, ϕ) =
[
2l + 1
4π
(l −m)!
(l +m)!
]1/2
(−1)m eimϕPml (θ, ϕ) , |m| ≤ l, m > 0 (2.92)
Y ml (θ, ϕ) = (−1)m
(
Y −ml (θ, ϕ)
)∗
, m < 0. (2.93)
Las funciones Y ml se conocen como los armonicos esfericos, donde el coeficiente de
(2.92) se ha escogido de forma tal que dichas funciones sean ortonormales∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
dθ sin θ Y m
′
l′ (θ, ϕ)
∗ Y ml (θ, ϕ) = δm,m′ δl,l′ . (2.94)
y la solución a la ecuación de Laplace (2.76) viene dada entonces por
Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m−l
[
Alm r
l +Blm r
−(l+1)]Y ml (θ, ϕ). (2.95)
Exigiendo que Φ(0, θ, ϕ) <∞ tendremos que Blm = 0 y de (2.77) se desprende que
f(θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Alm a
lY ml (θ, ϕ). (2.96)
20
Usando (2.94) se sigue que
Alm =
1
al
∫ 2π
0
dϕ
∫ 2π
0
dθ sin θ Y ml (θ, ϕ)
∗ f(θ, ϕ) (2.97)
y la solución al problema (2.76), (2.77) viene dada por
Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
[∫ 2π
0
dϕ′
∫ π
0
dθ′ sin θ′ Y ml (θ
′, ϕ′)∗ f(θ′, ϕ′)
](r
a
)l
Y ml (θ, ϕ).
(2.98)
Es conveniente resaltar el hecho de que, en general, la solución al problema de contorno
en coordenadas esfericas puede ser dada como expansión en armonicos esfericos y
potencias de r del tipo (2.95). Más adelante veremos la conexión entre (2.98) y la
solución obtenida via funciones de Green.
Para finalizar, consideremos el caso particularmente importante en el cual el proble-
ma presenta simetria azimutal y que llevado a nuestro problema particular se traduce
en una condición de contorno de la forma
f(θ, ϕ) = g(θ). (2.99)
De (2.98) y (2.99) se tiene entonces
Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
[∫ π
0
dθ′ sin θ′g(θ′)
(
l∑
m=−l
∫ 2π
0
dϕ′ Y ml (θ, ϕ)
∗
)](r
a
)l
Y ml (θ, ϕ)
(2.100)
y usando (2.92) se tiene∫ 2π
0
dϕ′Y ml (θ
′, ϕ′) =
[
(2l + 1)
4π
(l −m)!
(l +m)!
]1/2
(1)mPml (cos θ
′)
∫ 2π
0
dϕ′eimϕ
′
=
[
(2l + 1)
4π
(l −m)!
(l +m)!
]1/2
(1)mPml (cos θ
′)2πδm0
=
(
2l + 1
4π
)1/2
Pl(cos θ
′)2πδm0, (2.101)
con P 0l = Pl y donde los Pl son los polinomios de Legendre, soluciones de (2.90) con
m = 0. De (2.100) y (2.101) se desprende que
Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
[∫ π
0
dθ′ sin θ′g(θ′)Pl(cos θ
′)
]
2l + 1
2
(r
a
)
Pl(cos θ). (2.102)
En general, para aquellos problemas con simetria azimutal el potencial vendrá dado
como una expansión en polinomios de Legendre.
21
La ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas
Como un último ejemplo del uso de expansiones para representar potenciales en elec-
troestática que satisfacen la ecuación de Laplace, consideremos el problema de deter-
minar el potencial en el interior de una región cilindrica sin cargas en su interior y con
los valores del potencial prescritos sobre la superficie de dicha región. Un problema
t́ıpico viene dado por
∆Φ(ρ, θ, z) = ∂ρ∂ρΦ +
1
ρ
∂ρΦ +
1
ρ2
∂ϕ∂ϕΦ + ∂z∂zΦ = 0, (2.103)
0 ≤ ρ < a, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ l
y las condiciones de contorno
Φ(a, ϕ, z) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ l (2.104)
Φ(ρ, ϕ, l) = 0, Φ(ρ, ϕ, 0) = V (ρ, ϕ), 0 ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (2.105)
donde por consistencia V (a, ϕ) = 0.
Proponiendo la solución de la forma
Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z) (2.106)
y sustituyendo en (2.103) se tiene
R′′ + ρ−1R′
R
+
1
ρ2
Q′′
Q
= −Z
′′
Z
= λ (2.107)
de donde se desprende que
Z ′′ + λZ = 0. (2.108)
De la misma manera se tiene
ρ2R′′ + ρR′
R
− ρ2λ = −Q
′′
Q
= µ
y por lo tanto
ρ2R′′ + ρR′ − (λρ2 + µ)R = 0, (2.109)
Q′′ + µQ = 0. (2.110)
Ahora, puesto que ϕ = 0 y ϕ = 2π no son fronteras reales, imponemos condiciones
de contorno periódicas
Q(0) = Q(2π) , Q′(0) = Q′(2π). (2.111)
Aśı, (2.110, 2.111) define un problema de autovalores con autofunciones y autovalores
Qn(ϕ) = An cosnϕ+Bn sinnϕ (2.112)
µ = n2 , n = 0, 1, 2 . . . (2.113)
22
Suponiendo λ = −β2 con β > 0, la condición u(r, ϕ, `) = 0 implica que Z(`) = 0 y
la solución de (2.108) apropiada viene dada por
Z(z) = C sinh β(`− z). (2.114)
A continuación, haciendo βρ = x en (2.109) se tiene
d2R
dx2
+
1
x
dR
dx
+ (1− n
2
x2
)R = 0, (2.115)
que es la ecuación de Bessel de orden n y cuya solución general viene dada por
Rn(x) = DJn(x) + ENn(x), (2.116)
donde Jn y Nn son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (Nn se conoce
también como la función de Neumann).
Exigiendo que limρ→0 Φ(ρ, ϕ, z) <∞ llegamos a la conclusión de que E = 0, ya que
Nn no está acotada en el origen. Por otro lado, Φ(a, ϕ, z) = 0 implica que R(a) = 0
y de aqúı que Jn(βa) = 0, de donde se sigue que β = βnm = αnm/a, donde los {αnm}
son las ráıces de Jn, esto es, Jn(αnm) = 0. Por lo tanto se tendrá que
Rn(ρ) = Jn (αnmρ/a) (2.117)
La solución de (2.103) que satisface las condiciones de contorno homogéneas que
aparecen en (2.104) viene dada por
Φ(ρ, ϕ, z) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
Jn(αnm
ρ
a
)[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh
(
αnm
(`− z)
a
)
(2.118)
y de la condición de contorno no homogénea se desprende que
f(ρ, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
Jn
(
αnm
r
a
)
[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh
(
αnm
`
a
)
, (2.119)
que reconocemos como una serie de Fourier en ϕ y una serie de Fourier-Bessel en ρ
para f(ρ, ϕ).
Usando2 ∫ a
0
dρ ρJn
(
αnm′
ρ
a
)
Jn
(
αnm
ρ
a
)
=
a′
2
[Jn+1(αnm)]
2 δm′m, (2.120)
2Las funciones Jn(αnmx) son las autofunciones del problema de autovalores
d
dx
(
x
d
dx
u
)
− n
2
x
u = λ xu, u(0) = u(1) = 0
asociadas a los autovalores λ = −α2nm y de aqúı que sean ortogonales con peso x si están asociadas a
autovalores diferentes.
23
de (2.119) se sigue∫ a
0
dρ ρJ0
(
α0m
ρ
a
)∫ 2π
0
dϕf(ρ, ϕ) = a0m sinh
(
α0m
`
a
)
2π
a2
2
[J1(α0m)]
2 ,
de donde obtenemos
a0m =
1
πa2 sinh
(
α0m
`
a
)
[J1(α0m)]
2
∫ a
0
dρ
∫ 2π
0
dϕ ρJ0
(
α0m
ρ
a
)
f(ρ, ϕ). (2.121)
De la misma manera obtenemos
anm =
2
πa2 sinh (αnm`/a) [Jn+1(αnm)]
2
∫ a
0
dρ
∫ 2π
0
dϕ ρJn
(
αnm
ρ
a
)
cosnϕ f(ρ, ϕ)
(2.122)
y
bnm =
2
πa2 sinh (αnm`/a) [Jn+1(αnm)]
2
∫ a
0
dρ
∫ 2π
0
dϕ ρJn
(
αnm
ρ
a
)
sinnϕ f(ρ, ϕ).
(2.123)
En general, en problemas de electrostática con condiciones de contorno sobre super-
ficies cilindricas es usual encontrar los potenciales como una expansión en terminos de
funciones de Bessel. Es claro que la forma expĺıcita de la expansión (2.118), apropiada
para intervalos finitos en ρ, obedece a la condición de que el potencial se anule en
z = 0, ∀ρ ∈ [0, a] y en ρ = a, ∀ z ∈ [0, `]. Por supuesto, para condiciones de contorno
diferentes, la expansión tomará formas diferentes.
Una expansión util para ρ ∈ [0,∞) y z ≤ 0, tal que limz→∞ Φ = 0, viene dada por
Φ(r, ϕ, z) =
∞∑
m=0
∫ ∞
0
dk e−kzJm(kr) [Am(k) sinmϕ+Bm(k) cosmϕ], (2.124)
donde al igual que antes los coeficientes Am y Bm se determinan a partir de las condi-
ciones de contorno espećıficas del problema.
2.4.2 La ecuación de Poisson. Funciones de Green
Ya antes habiamos encontrado que la solución a aquellos problemas de contorno con
distribuciones de carga en la región de interés, esto es, a los problemas de contorno
para la ecuación de Poisson, requiere el conocimiento de la función de Green apropiada.
Si el problema de contorno para la ecuación de Laplace es separable en algún sistema
de coordenadas, hemos visto que su solución se puede obtener como una expansión
en una base de funciones dada. Mostraremos que en el problema de contorno para la
ecuación de Poisson es conveniente proponer una expansión para la función de Green
en ese mismo conjunto base de funciones.
24
Expansión de la función de Green en coordenadas esfericas
Supongase que estamos interesados en encontrar la función de Green en coordenadas
esfericas para el problema interior de Dirichlet
∆Φ = −4πρ(~x), 0 < r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (2.125)
con la condición de contorno
Φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ). (2.126)
La función de Green buscada es la solución elemental del problema
∆r,θ,ϕG(r, θ, ϕ, r
′, θ′, ϕ′) = − 4π
r2 sin θ
δ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′), (2.127)
con
G|r=0 = 0. (2.128)
La solución de (2.127) y (2.128) es fácil de conseguir usando el hecho de que los ar-
monicos esfericos sonun conjunto ortogonal completo, con una relación de cierre dada
por
∞∑
l=o
l∑
m−l
Y ml (θ
′, ϕ′)∗ Y ml (θ, ϕ) =
1
sin θ
δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′) (2.129)
y de aqui que podamos proponer la expansión
G(~x, ~x′) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Glm(r; r
′, θ′, ϕ′)Y ml (θ, ϕ). (2.130)
Sustituyendo (2.130) y (2.129) en (2.127)
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
1
r2
d
dr
(r2Glm)−
l(l + 1)
r2
Glm
)
Y ml (θ, ϕ) =
−4π
∞∑
l=0
l∑
m=−l
δ(r − r′)
r2
Y ml (θ
′, ϕ′)∗Y ml (θ, ϕ), (2.131)
donde hemos usado (2.80) y (2.88).
Multiplicando (2.131) por Y ml (θ, ϕ)
∗ sin θ e integrando en los ángulos θ y ϕ se tiene,
usando la relación de ortogonalidad (2.94),
1
r2
d
dr
(
r2
d
dr
Glm
)
− l(l + 1)
r2
Glm = −
4π
r2
δ(r − r′)Y ml (θ′, ϕ′)∗ (2.132)
y con
Glm(r; r
′, θ′, ϕ′) = gl(r, r
′)Y ml (θ
′, ϕ′)∗ (2.133)
25
se tiene
d
dr
(
r2
d
dr
gl
)
− l(l + 1)gl = −4πδ(r − r′). (2.134)
Por otro lado, de (2.128) se desprende que
gl|r=a = 0 (2.135)
y adicionalmente exigiremos que
gl|r=0 <∞. (2.136)
Se sigue que gl es la función de Green para el operador d/dr(r
2d/dr) − l(l + 1) que
satisface las condiciones de contorno en dos puntos (2.135,2.136).
La solución de (2.134) y (2.135,2.136) viene dada por
gl(r, r
′) = Θ(r′ − r) 4π
2l + 1
rl
(
r′−(l+1) − a−(2l+1)r′l
)
+ Θ(r − r′) 4π
2l + 1
r′l
(
r−(l+1) − a−(2l+1)rl
)
(2.137)
o bien
gl(r, r
′) =
4π
2l + 1
rl<
(
r
−(l+1)
> − a−(2l+1)rl>
)
, (2.138)
donde r< ≡ min{r, r′} y r> ≡ max{r, r′}.
De (2.130), (2.133) y (2.138) se sigue
G(~x, ~x′) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
Y ml (θ
′, ϕ′)∗ Y ml (θ, ϕ) r
l
<
(
1
rl+1>
− r
l
>
a2l+1
)
. (2.139)
A continuación veamos algunos ejemplos en los que es útil el empleo de (2.139).
Consideremos el problema (2.76) con la condición de contorno (2.77), que ya fue re-
suelto (vease (2.98)). De acuerdo a (2.29) se tiene
Φ(r, θ, ϕ) = − 1
4π
∮
s
Φ(~x′) ∂n′Gda
′
= − 1
4π
a2
∫ π
0
dθ′ sin θ′
∫ 2π
0
dϕ′V (θ′, ϕ′)
∂G
∂r′
(~x, ~x′) |r′=a
y con r′|s = a = r>,
∂G
∂r′
|r′=a = −
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
Y ml (θ
′, ϕ′)∗ Y ml (θ
′, ϕ′) rl
(
(2l + 1)
al+2
)
y por lo tanto
Φ(r, θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
[∫ π
0
dθ′
∫ 2π
0
dϕ′ sin θ′ Y ml (θ
′, ϕ′)∗ V (θ′, ϕ′)
](r
a
)l
Y ml (θ, ϕ),
(2.140)
26
que es la solución dada en (2.98).
Veamos a continuación otra aplicación de (2.139). Consideremos el problema de
encontrar el potencial electrostático Φ en el interior de una región esferica sobre cuya
superficie imponemos Φ = 0 y en cuyo interior se encuentra un anillo de radio b y carga
total Q uniformemente distribuida.
La densidad de carga del anillo en coordenadas esféricas viene dada por
ρ(~x) =
Q
2πb2 sin θ
δ(r − b)δ(θ − π
2
) (2.141)
y de acuerdo a (2.29)
Φ(r, θ, ϕ) =
∫
Ω
d3x′ρ(~x′)G(~x, ~x′)
=
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
Y ml (θ, ϕ)
∫ a
0
dr′r′2
∫ π
0
dθ′ sin θ′∫ 2π
0
dϕ′
Q
2πb2 sin θ′
δ(r′ − b)δ(θ′ − π
2
)Y ml (θ
′, ϕ′)∗rl<
(
1
rl+1>
− r
l
>
a2l+1
)
=
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
Y ml (θ, ϕ)r
l
<
(
1
rl+1>
− r
l
>
a2l+1
)∫ 2π
0
dϕ′ Y ml (
π
2
, ϕ)∗.
donde ahora r< ≡ min{r, b} y r> ≡ max{r, b}. Usando (2.101), finalmente obtenemos
Φ(r, θ, ϕ) = Q
∞∑
l=0
Pl(0) r
l
<
(
1
rl+1
− r
l
>
a2l+1
)
Pl(cos θ). (2.142)
La solución en este caso viene dada como una expansión en potencias de r y polinomios
de Legendre, cosa que hubiera podido ser adelantada al observar que el problema posee
simetria azimutal.
Expansión de la función de Green en coordenadas cilindricas
Veamos a continuación como obtener expansiones para la función de Green en coor-
denadas cilindricas. Como ejemplo, busquemos la función de Green del problema de
contorno(
∂ρ∂ρ +
1
ρ
∂ρ +
1
ρ2
∂ϕ∂ϕ + ∂z∂z
)
G(ρ, ϕ, z; ρ′, ϕ′, z′) = −4π
ρ
δ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′)δ(z − z′);
(2.143)
donde 0 < ρ, ρ′ < a; 0 < ϕ, ϕ′ < 2π y 0 < z, z′ < `; con
G|∂Ω = 0, (2.144)
siendo ∂Ω la superficie de un cilindro de radio a y altura ` con base en el plano XY .
27
Haciendo uso de
1
ρ
δ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′) = 1
2π
∞∑
m=−∞
e−im(ϕ−ϕ
′)
∞∑
n=1
2
[J ′m(αmn)]
2
Jm(αmnρ) Jm(αmnρ
′),
(2.145)
con 0 < ρ, ρ′ < 1 y 0 < ϕ, ϕ′ < 2π, donde Jm es la función de Bessel de orden m,
J−m = (−1)mJm y {αmn} son las raices de Jm, Jm(αmn) = 0, se propone
G(ρ, ϕ, z; ρ′, ϕ′, z′) =
∞∑
m=−∞
∞∑
n=1
Gmn(z; ρ
′, ϕ′, z′) e−imϕ Jm(αmn
ρ
a
)
y de (2.143) se sigue
∞∑
m=−∞
∞∑
n=1
[
−α
2
mn
a2
Gmn +
d2
dz2
Gmn
]
e−imϕJm(αmn
ρ
a
) =
− 4π
2πa2
∞∑
m=−∞
∞∑
n=1
2e−im(ϕ−ϕ
′)
[J ′m(αmn)]
2
Jm(αmn
ρ
a
) Jm(αmn
ρ′
a
)δ(z − z′),
esto es,
d2
dz2
Gmn −
α1mn
a2
Gmn = −
4
a2
eimϕ
′
Jm(αmn
ρ′
a
)[J ′m(αmn)]
2δ(z − z′). (2.146)
Definiendo
Gmn(z; ρ
′, ϕ′, z′) = gmn(z; z
′)
1
a2
eimϕ
′
Jm(αmn
ρ′
a
)[J ′m(αmn)]
−2 (2.147)
tenemos que gmn satisface
⇒ d
2
dz2
gmn(z; z
′)− α
2
mn
a2
gmn = −4δ(z − z′) (2.148)
y de las condiciones de contorno para G
G|z=0 = G|z=` = 0, (2.149)
se sigue que gmn satisface a su vez las condiciones
gmn|z=0 = gmn|z=` = 0. (2.150)
La solución elemental de (2.148) y (2.150) se encuentra viene dada por
gmn(z; z
′) =
4a
αmn sinh(αmn`/a)
sinh(
αmn
a
z<) sinh
(αmn
a
(`− z>)
)
(2.151)
Finalmente, tenemos que
G(~x, ~x′) =
∞∑
m=−∞
∞∑
n=1
4a e−im(ϕ−ϕ
′)
αmn sinh(αmn`/a)a2[J ′m(αmn)]
2
Jm(αmn
ρ′
a
)Jm(αmn
ρ
a
)
× sinh
(αmn
a
z<
)
sinh
(αmn
a
(`− z>)
)
. (2.152)
28
Es conveniente señalar que (2.152) no es la única expansión posible para la función
de Green solución de (2.143) y (2.144). Por ejemplo, si utilizamos
δ(ϕ− ϕ′) = 1
2π
∞∑
m=−∞
e−im(ϕ−ϕ
′), 0 < ϕ, ϕ′ < 2π; (2.153)
y
δ(z − z′) = 1
2`
+
1
`
∞∑
n=1
(
cos
nπz′
`
cos
nπz
`
+ sin
nπz′
`
sin
nπz
`
)
, 0 < z, z′ < `;
(2.154)
proponiendo una expansión para G en esa base de funciones y dejando por último la
busqueda de la solución elemental en la variable ρ obtendremos
G(~x, ~x′) =
4
`
∞∑
m=−∞
∞∑
n=1
eim(ϕ−ϕ
′) sin
(nπz
`
)
sin
(
nπz′
`
)
Im(nπρ</`)
Im(nπa/`)
×
[
Im(
nπa
`
)Km(
nπρ>
`
)−Km(
nπa
`
)Im(
nπρ>
`
)
]
, (2.155)
donde
Im(x) = (i)
−mJm(ix), Km(x) =
π
2
(i)m+1[Jm(im) + iNm(ix)],
son las funciones de Bessel modificadas, soluciones de
d2R
dx2
+
1
x
dR
dx
−
(
1 +
m2
x2
)
R = 0. (2.156)
29
Caṕıtulo 3
Expansión Multipolar.
Electrostática en medios materiales
Este caṕıtulo tiene dos objetivos principales:
1. La obtención de la expansión en multipolos de una distribución de cargas locali-
zada
2. La derivación de las ecuaciones de la electroestática en una medio material
3.1 Expansión multipolar
Una distribución de cargas localizada es por definición una densidad de carga ρ(~x)
que se anula fuera de una región R (esto es, una distribución de soporte acotado). Es
claro, cualquiera que sea la distribución localizada de cargas ρ(~x), siempre es posible
proponer la expansión
Φ(~x) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
qlm
Y ml (θ, ϕ)
rl+1
(3.1)
para el potencial electroestático en el exterior de la región R. El problema a resolver
es la determinación de los coeficientes qlm en (3.1), que es claro, dependen de ρ(~x) ya
que
Φ(~x) =
∫
d3~x′
ρ(~x)
|~x− ~x′|
. (3.2)
Ahora bien,
1
|~x− ~x′|
=
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
Y ml (θ
′, ϕ′)∗Y ml (θ, ϕ)
rl<
rl+1>
(3.3)
como puede verse haciendo a → ∞ en (2.139) y con G(~x, ~x′) = |~x− ~x′|−1 la función
de Green para el problema de contorno con la única condición lim|~x|→∞G = 0. Puesto
30
que estamos interesados en el potencial fuera de R, r< = r
′ y r> = r, y se tendrá
Φ(~x) =
∫
d3x′
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
=
∫
d3x′ρ(~x′)
[
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
(Y ml (θ
′, ϕ′))∗Y ml (θ, ϕ)
r′l
rl+1
]
=
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4π
2l + 1
[∫
d3x′r′l(Y ml (θ
′, ϕ′))∗ρ(~x)
]
Y ml (θ, ϕ)
rl+1
(3.4)
y de (3.4) y (3.1) se desprende
qlm =
∫
d3x′ r′l Y ml (θ
′, ϕ′)∗ ρ(~x′). (3.5)
Los coeficientes qlm se conocen como los momentos multipolares de la distribución
de cargas ρ(~x). Para facilitar la interpretación f́ısica de los mismos escribamos unos
cuantos qlm en coordenadas cartesianas. Aśı
q00 =
1√
4π
∫
d3x′ρ(~x) =
1√
4π
q, (3.6)
donde
q ≡
∫
d3x′ρ(~x′) (3.7)
es la carga total de ρ(~x). A q00 se le denomina términomonopolar de la distribución
ρ(~x).
Por otro lado, para l = 1 se tiene
q11 = −
√
3
8π
∫
d3x′ (x′ − iy′)ρ(~x′) = −
√
3
8π
(px − ipy),
q10 =
√
3
4π
∫
d3x′ z′ρ(~x′) =
√
3
4π
pz,
q1−1 =
√
3
8π
∫
d3x′(x′ + iy′)ρ(~x′) =
√
3
8π
(px + ipy),
donde
~p ≡
∫
d3x′ ~x′ρ(~x′), (3.8)
define al momento dipolar eléctrico de la distribución ρ(~x).
Para l = 2 tenemos
q22 =
1
4
√
15
2π
∫
d3x′ (x′ − iy′)2ρ(~x′) = 1
12
√
15
2π
(Q11 − 2iQ12 −Q22)
q21 = −
√
15
8π
∫
d3x′ z′(x′ − iy′)ρ(~x′) = −1
3
√
15
8π
(Q13 − iQ23)
q20 =
1
2
√
5
4π
∫
d3x′(3z′2 − r′2)ρ(~x′) = 1
2
√
5
4π
Q33, (3.9)
31
con ql,−m = (−1)mq∗lm y donde hemos definido las cantidades
Qij ≡
∫
d3x′(3x′ix
′
j − r′2δij)ρ(~x′). (3.10)
Al tensor (de traza nula) Q = Qij êi ⊗ êj; i, j = x, y, z; con Qij dado por (3.10) se le
conoce como el tensor momento cuadrupolar eléctrico.
De lo anterior se desprende que los momentos multipolares qlm para un l dado son
combinaciones lineales de los correspondientes multipolos en coordenadas cartesianas,
en términos de los cuales se tiene
Φ(~x) =
∫
d3x′
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
=
∫
d3x′ρ(~x′)
(
1
|~x|
+
~x
|~x|3
· ~x′ + 1
2
1
|~x|5
∑
i,j
(3x′ix
′
j − r′2δij)xixj + · · ·
)
=
q
|~x|
+
~p · ~x
|~x|3
+
1
2
∑
i,j
Qij
xiyj
|~x|5
+ · · · (3.11)
con q, ~p y Qij dados por (3.7), (3.8) y (3.10), respectivamente.
A partir de (3.4) ó (3.11) es fácil obtener el campo eléctrico debido a un multipolo
dado. Por ejemplo de (3.11) se tiene que el campo eléctrico en un punto ~x debido a un
dipolo ~p localizado en el origen viene dado por
~E(~x) = −~∇
(
~p · ~x
|~x|3
)
.
Ahora [
∇
(
~p · ~x
|~x|3
)]
i
= ∂i
pjxj
(xkxk)3/2
= pj
δij
(x− kxk)3/2
+ pjxj∂i
1
(xkxk)3/2
= pj
δij
(xkxk)3/2
− 3pjxj
xi
(xkxk)5/2
,
(3.12)
de donde se sigue
~E(~x) = − ~p
|~x|3
+
3(~p · ~x)~x
|~x|5
=
3(~p · x̂)x̂− ~p
|~x|3
. (3.13)
En particular, para un dipolo ~p a lo largo del eje z el potencial en coordenadas esféricas
viene dado por
Φ(~x) =
1∑
m=−1
4π
3
q1m
Y m1 (θ, ϕ)
r2
y el campo eléctrico correspondiente es
Er =
2p cos θ
r3
, Eθ =
p sin θ
r3
, Eϕ = 0,
32
cuya verificación se deja como ejercicio.
Es necesario recalcar que los momentos multipolares qlm en (3.1) dependen de la
elección del origen del sistema de coordenadas. Como un ejemplo trivial, considerese
una carga puntual q localizada en (r0, θ0, ϕ0), la distribución de cargas viene dada por
ρ(~x) =
q
r20 sin θ0
δ(r − r0) δ(θ − θ0) δ(ϕ− ϕ0).
y los momentos multipolares son en este caso
qlm = q r
l
0 Y
m
l (θ0, ϕ0)
∗,
obviamente no nulos ∀ l, m .
Comentario: El campo eléctrico debido a un dipolo, (3.13), ha sido obtenido
derivando el potencial en el sentido de la teoŕıa de funciones. De una derivación en el
sentido de las distribuciones obtenemos
~E(~x) =
3x̂(~p · x̂)− ~p
|~x|3
− 4π
3
~p δ(~x),
expresión que sugiere que los dipolos pueden ser tratados como objetos puntuales. En
efecto, un dipolo eléctrico con momento dipolar ~p, localizado en ~x0, tiene asociada la
distribución de cargas
ρ(~x) = −~p · ~∇δ(~x− ~x0),
la cual, a través de (3.2), genera el potencial
Φ(~x) = ~p · (~x− ~x0)/|~x− ~x0|3
asociado a un dipolo ~p localizado en ~x0.
3.2 Expansión multipolar de la enerǵıa de una dis-
tribución de cargas en un campo externo
Si una distribución localizada de cargas ρ(~x) se coloca en un potencial electroestático
externo Φ(~x), la enerǵıa electroestática del sistema es
W =
∫
d3x ρ(~x) Φ(~x). (3.14)
Si el potencial Φ cambia levemente sobre la región R donde ρ(~x) tiene su soporte,
entonces es posible expandir Φ en torno de algún origen apropiado
Φ(~x) = Φ(0) + ~x · ~∇Φ(0) + 1
2
∑
i,j
xixj ∂i∂jΦ(0) + · · · (3.15)
= Φ(0)− ~x · ~E(0)− 1
2
∑
i,j
xixj ∂iEj(0) · · ·
= Φ(0)− ~x · ~E(0)− 1
6
∑
i,j
(3xixj − r2δij) ∂iEj(0) + · · · ,
33
donde hemos usado el hecho de que ~∇ · ~E = 0 ∀~x /∈ R y de aqúı que
W = qΦ(0)− ~p · ~E(0)− 1
6
∑
i,j
Qij ∂iEj + · · · (3.16)
expansión que muestra la forma caracteristica en la cual los momentos multipolares de
una distribución de cargas localizada interactuan con un campo externo.
3.3 Electrostática en medios materiales
Hasta el momento solo hemos considerado potenciales electrostáticos y campos en el
vacio. Sin embargo es claro que si estamos interesados en el mismo problema pero esta
vez en un medio material debemos entonces tomar en cuenta la respuesta eléctrica del
medio. Lo anterior nos lleva a considerar el valor promedio de los campos sobre regiones
macroscopicamente pequeñas pero microscopicamente grandes (si no el analisis clásico
es deficiente) para obtener las ecuaciones de Maxwell apropiadas. Dentro del marco
de un enfoque netamente clásico haremos a continuación una discusión muy elemental
sobre la polarización de los medios materiales y la contribución de ésta al potencial y
campo eléctricos.
En primer lugar tenemos que la ecuación
~∇× ~E = ~0 (3.17)
sigue siendo valida, ya que la misma es independiente de las fuentes, lo que implica
que el campo eléctrico es todavia derivable de un potencial Φ(~x).
Por otro lado, la aplicación de un campo eléctrico a un medio constituido por un
gran número de moleculas hará que la densidad de carga de las mismas se distorsione
y sus momentos multipolares serán distintos de los presentes en el caso de campo
aplicado nulo. Suponiendo que el momento multipolar molecular dominante con el
campo aplicado sea el dipolar, se tendrá que el potencial dΦ en ~x tiene entonces dos
contribuciones. Una proveniente de la carga ρ(~x′)d3x′ contenida en el volumen d3x′
en torno del punto ~x′ y la otra generada por la configuración de momentos dipolares
eléctricos localizados en ese mismo volumen (vease (3.11))
dΦ(~x, ~x′) =
(
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
+ ~P (~x′) · (~x− ~x
′)
|~x− ~x′|3
)
d3x′, (3.18)
donde ~P (~x) es el momento dipolar por unidad de volumen y que denominaremos po-
larización eléctrica.
De (3.18) se sigue que
Φ(~x) =
∫
d3x′
[
ρ(~x′)
|~x− ~x′|
+ ~P (~x′) · (~x− ~x
′)
|~x− ~x′|2
]
=
∫
d3x′
1
|~x− ~x′|
(
ρ(~x′)− ~∇′ · ~P (~x′)
)
, (3.19)
34
donde hemos integrado por partes para llegar a la última expresión y usado el hecho
de ~P es de soporte acotado. Nótese que (3.19) es la expresión del potencial creado por
una distribución de cargas efectiva ρef.(~x) ≡ ρ(~x)− ~∇· ~P (~x). Aśı, con ~E(~x) = −~∇Φ(~x)
se tiene entonces
~∇ · ~E(~x) = 4π
[
ρ(~x)− ~∇ · ~P (~x)
]
. (3.20)
Definiendo el desplazamiento eléctrico ~D
~D(~x) ≡ ~E(~x) + 4π ~P (~x), (3.21)
(3.20) se transforma en1
~∇ · ~D = 4πρ. (3.22)
Las ecuaciones (3.17) y (3.22) son las ecuaciones de Maxwell para la electroestática en
medios materiales.
De manera de obtener soluciones para los potenciales y/o campos electroestáticos
a partir de (3.17) y (3.22) es necesario dar relaciones constitutivas entre ~D y ~E. Su-
poniendo que la respuesta del material al campo eléctrico aplicado es lineal y que el
medio es isótropo, entonces
~P (~x) = χe(~x) ~E(~x), (3.23)
donde χe es la suceptibilidad eléctrica del medio. Aśı se tendrá
~D(~x) = ε(~x) ~E(~x), (3.24)
donde
ε(~x) = 1 + 4πχe(~x) (3.25)
es la denominada constante dieléctrica o permitividad eléctrica relativa. Si el medio
no solo es isótropo si no también uniforme, χe y por lo tanto ε serán independientes
de la posición. En caso de que el medio sea anisótropo, una generalización obvia de
(3.24) es (suponiendo respuesta lineal)
Di = εijEj, (3.26)
donde las εij son las componentes del tensor permeabilidad eléctrica. Es convenien-
te hacer notar que en general ε depende de la estructura molecular y cristalina del
material, de la densidad y la temperatura.
Ahora, suponiendo el espacio lleno de diferentes medios, no necesariamente lineales
en sus respuestas, debemos entonces encarar el problema de las condiciones de contorno
para ~E y ~D en la interfaz entre medios. De (3.22) tenemos∫
V
d3x ~∇ · ~D = 4π
∫
V
d3x ρ
=
∮
S
~D · n̂ da = ( ~D1 − ~D2) · n̂21A,
1Si incluimos la densidad de momentos cuadrupolareseléctricos, se define entonces
Di = Ei + 4π(Pi − ∂jQij).
35
donde n̂21 es la normal a la superficie interfaz, dirigida del medio 2 al medio 1, se ha
utilizado el teorema de la divergencia y la superficie gausiana S escogida tiene la forma
de una cajita de ṕıldoras, cuya altura tiende a cero y con caras circulares paralelas a
la superficie y de área A lo suficientemente pequeña como para que ~D tome el mismo
valor sobre toda la superficie de dichas caras. Por otro lado, si la densidad de carga es
singular sobre la interfaz entonces
4π
∫
V
ρd3x = 4πσ A,
donde σ es la densidad de carga superficial en la interfaz y de aqúı que
( ~D1 − ~D2) · n̂21 = 4πσ. (3.27)
De la misma manera podemos escoger convenientemente un contorno C rectangular
y emplear el teorema de Stokes para determinar las discontinuidades de las componen-
tes tangenciales de ~E. Con los lados de C perpendiculares a la superficie interfaz
tendiendo a cero y los lados paralelos a la misma de longitud l se tiene
0 =
∫
S
~∇× ~E · n̂ da =
∫
C
~E · d~l = ( ~E2 − ~E1)||l,
esto es,
n̂21 × ( ~E1 − ~E2) = 0. (3.28)
Las ecuaciones (3.27) y (3.28) nos dan las condiciones de contorno que deben satisfacer
~D y ~E en la interfaz entre medios dieléctricos.
36
Caṕıtulo 4
Magnetostática
En las discusiones precedentes hemos estudiado algunos aspectos de la interacción en-
tre distribuciones de carga estacionarias, el papel de éstas como fuentes de los campos
electrostáticos y los problemas de contorno mas usuales asociados al potencial elec-
trostático. Ahora volcaremos nuestra atención al estudio de los fenómenos magnéticos
en estado estacionario.
4.1 Magnetostática. El campo ~B
Como es sabido, el campo magnetico d ~B producido en ~x por el elemento de corriente
Id~l′ de un hilo a través del cual fluye una corriente I (d~l′ apunta en la dirección del
flujo de corriente) viene dado por
d ~B =
1
c
I d~l′ × ~x− ~x
′
|~x− ~x′|3
, (4.1)
donde ~x′ es la posición del elemento de corriente Id~l′, expresión que se usa en los cursos
elementales para obtener el campo magnético de distribuciones de corriente sencillas.
Como una aplicación muy sencilla de (4.1), consideremos el campo magnético produci-
do por un alambre recto infinito a través del cual fluye una corriente I. Suponiendo que
el hilo de corriente define al eje z tendremos d~l′ = dz′ êz, ~x
′ = z′ êz y con ~x = ρ êρ+z êz,
de (4.1) obtenemos
~B(ρ, ϕ, z) =
∫
d ~B =
Iρ
c
∫ ∞
−∞
dz′
(ρ2 + (z − z′)2)3/2
êϕ =
2I
cρ
êϕ,
donde ρ es la distancia desde el hilo de corriente hasta el punto de observación, en la
dirección perpendicular al hilo.
La ecuación (4.1) puede reescribirse en forma muy general en terminos de la den-
sidad de corriente ~J(~x)
~B(~x) =
1
c
∫
d3~x′ ~J(~x′)× ~x− ~x
′
|~x− ~x′|3
, (4.2)
37
ecuación que es el analogo magnetico de la expresión que dá el campo electrico en
terminos de la densidad de carga ρ(~x)
~E(~x) =
∫
d3~x′ρ(~x′)
~x− ~x′
|~x− ~x′|3
,
cuya forma diferencial hemos visto viene dada por
~∇ · ~E(~x) = −4πρ(~x).
Otra expresión conocida de los cursos elementales, es la que nos da la fuerza que ex-
perimenta un elemento de corriente Id~I en presencia de una campo magnetico externo
~B
d~F =
1
c
Id~l × ~B,
que admite la generalización evidente
d~F (~x) =
1
c
d3x ~J(~x)× ~B(~x).
Ahora, si nos restringimos a considerar situaciones en las que se tienen distribucio-
nes de corriente y campos magnéticos independientes del tiempo, aśı como distribucio-
nes de carga y campos eléctricos independientes del tiempo, las ecuaciones de Maxwell
(1.4,1.5,1.6,1.7) se reducen a
~∇ · ~E(~x) = 4πρ(~x), ~∇× ~E(~x) = ~0, (4.3)
~∇× ~B = 4π ~J(~x), ~∇ · ~B(~x) = 0, (4.4)
de donde se sigue que los campos ~E y ~B se desacoplan en el caso estático. Aśı tenemos
que los fenómenos electrostáticos y magnetostáticos lucen entonces independientes.
Vamos a demostrar que la expresión (4.2) satisface las ecuaciones (4.4). Para ello
notemos que
~B(~x) =
1
c
∫
d3~x′ ~J(~x′)× ~x− ~x
′
|~x− ~x′|3
= −1
c
∫
d3~x′ ~J(~x′)× ~∇
(
1
|~x− ~x′|
)
=
1
c
∫
d3~x′~∇
(
1
|~x− ~x′|
)
× ~J(~x′) = 1
c
~∇×
∫
d3~x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
− 1
c
∫
d3~x′
~∇× ~J(~x′)
|~x− ~x′|
=
1
c
~∇×
∫
d3~x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
, (4.5)
de donde se sigue de inmediato que
~∇ · ~B(~x) = 0. (4.6)
Ahora, por analoǵıa con la electrostatica, donde ~∇ × ~E = ~0, calculemos ~∇ × ~B.
Con ~B dado por (4.2) se tiene que
~∇× ~B = 1
c
~∇× ~∇×
∫
d3~x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
,
38
y usando ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A, obtenemos
~∇× ~B = 1
c
~∇
∫
d3~x′ ~J(~x′) · ~∇
(
1
|~x− ~x′|
)
− 1
c
∫
d3~x′ ~J(~x′)∆
(
1
|~x− ~x′|
)
.
A continuación, con
~∇
(
1
|~x− ~x′|
)
= −~∇′
(
1
|~x− ~x′|
)
y
∆
(
1
|~x− ~x′|
)
= −4πδ(~x− ~x′)
encontramos que
~∇× ~B(~x) = −1
c
~∇
∫
d3~x′ ~J(~x) · ~∇′
(
1
|~x− ~x′|
)
+
4π
c
~J(~x′)
= −1
c
~∇
(∫
d3~x′
[
~∇ ·
(
~J(~x′)
|~x− ~x′|
)
− 1
|~x− ~x′|
~∇′ · ~J(~x′)
])
+
4π
c
~J(~x)
=
1
c
~∇
∫
d3~x′
~∇′ · ~J(~x′)
|~x− ~x′|
+
4π
c
~J(~x),
donde hemos usado el teorema de la divergencia y el hecho de que ~J es localizada.
Ahora bien, ~∇ · ~J + c−1∂tρ = 0 y con ∂tρ = 0 en el estado estacionario, finalmente
encontramos
~∇× ~B(~x) = 4π
c
~J(~x). (4.7)
Hemos entonces demostrado que (4.2) satisface las ecuaciones de Maxwell de la mag-
netostática dadas por (4.4).
Por último, de (4.7) se sigue que∫
S
~∇× ~B · d~s = 4π
c
∫
S
~J · d~s
y empleando el teorema de Stokes∮
C
~B · d~l = 4π
c
∫
S
~J · d~s,
expresión que se conoce como la Ley de Ampere.
4.2 El potencial vector ~A
Una estrategia general para resolver el problema que involucra a las ecuaciones (4.6)
y (4.7) es la de explotar el hecho de que si ~∇ · ~B = 0 en todo el espacio, entonces
~B(~x) = ~∇× ~A(~x), (4.8)
39
donde ~A recibe el nombre de potencial vector. Comparando (4.8) y (4.5) se desprende
que ~A viene dado por
~A(~x) =
1
c
∫
d3~x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
+ ~∇χ(~x), (4.9)
donde en el termino ~∇χ reconocemos la libertad en la elección de calibre para el
potencial, esto es,
~B(~x) = ~∇× ~A(~x),
para χ(~x) arbitrario!
Ahora, sustituyendo (4.8) en (4.7) tendremos
~∇× (~∇× ~A) = 4π
c
~J
y usando ~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A, encontramos
~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A = 4π
c
~J.
Debido a la libertad de calibre en la elección de ~A, ecuación (4.9), podemos hacer
~∇ · ~A = 0 (calibre de Coulomb) y tendremos que ~A satisface entonces
∆ ~A(~x) = −4π
c
~J(~x) (4.10)
que es claro tendrá a (4.9) como solución en R3, con χ fijado por la condición ~∇· ~A = 0.
4.3 El potencial ~A y el campo ~B de algunas distri-
buciones de corriente
Un hilo recto de corriente infinitamente largo
Para el campo magnético producido por un hilo recto infinito a través del cual flu-
ye una corriente I, suponiendo que el hilo de corriente define al eje z, encontramos
anteriormente la expresión en coordenadas cilindricas
~B(ρ, ϕ, z) =
2I
cρ
êϕ.
Aqúı puede ser instructivo revisar la derivación de este resultado, particularmente
simple, a partir del potencial vector ~A. En este caso ~A debe satisfacer (4.10) con
~J(~x) = Jz êz, Jz = I
δ(ρ)
2πρ
. (4.11)
40
Ahora, es claro que el sistema considerado es invariante bajo traslaciones a lo largo
del eje z y por lo tanto el problema es efectivamente un problema bi-dimensional, esto
es, ~A(~x) = Az êz con Az = Az(ρ, ϕ). Aśı, de (4.10-4.11) se sigue
∆(2)Az = −4πJz
y por lo tanto Az(ρ, ϕ) viene dado por
Az(ρ, ϕ) = −
2
c
∫ ∞
0
dρ′ ρ′
∫ 2π
0
dϕ′ Jz(ρ
′, ϕ′) ln
√
(ρ cosϕ− ρ′ cosϕ′)2 + (ρ sinϕ− ρ′ sinϕ′)2
(4.12)
donde hemos usado el hecho de que en R2 se tiene
∆(2) ln |~x|−1 = −2πδ(~x),
con ∆(2) el operador laplaciano en 2 dimensiones.
De (4.11) y (4.12) se sigue que
Az(ρ, ϕ) = −
2I
c
ln ρ (4.13)
y finalmente encontramos
~B = ∇× ~A = 2I
cρ
êϕ, (4.14)
que es el resultado esperado.
Un anillo circular de corriente
Consideremos a continuación la siguiente distribución de corriente: un anillo circular
de radio a que se encuentra en el plano xy, centrado en el origeny a través del cual
fluye una corriente I. En este caso la densidad de corriente ~J viene dada por
~J = Jϕ (− sinϕ êx + cosϕ êy),
con
Jϕ = I δ(z) δ(ρ− a)
en coordenadas ciĺındricas o bien
Jϕ =
I
a
δ(θ − π
2
) δ(r − a),
en coordenadas esfericas.
Partiendo de (4.9) tenemos
~A(~x) =
1
c
∫
d3x′
(− sinϕ′ êx + cosϕ′ êy) Jϕ(~x′)
|~x− ~x′|
, (4.15)
41
donde hemos ignorado el termino ~∇χ. En coordenadas esfericas, con
|~x− ~x′| = (r2 + r′2 − 2rr′ cos γ)1/2,
donde
cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′),
se tendrá
~A(r, θ, ϕ) =
Ia
c
∫ 2π
0
dϕ′
(− sinϕ′ êx + cosϕ′ êy)
(r2 + a2 − 2ar sin θ cos(ϕ− ϕ′))1/2
. (4.16)
Ahora, es claro que el sistema considerado posee simetria azimutal y evaluando ~A
en ϕ = 0 encontramos
~A(r, θ, 0) =
Ia
c
∫ 2π
0
dϕ′
cosϕ′
(a2 + r2 − 2ar sin θ cosϕ′)1/2
êy (4.17)
de donde se sigue que ~A = Aϕ(− sinϕ êx + cosϕ êy) con
Aϕ(r, θ) =
Ia
c
∫ 2π
0
dϕ′
cosϕ′
(a2 + r2 − 2ar sin θ cosϕ′)1/2
. (4.18)
En lugar de la expresión integral (4.18), es posible obtener Aϕ como una expansión
en funciones de Legendre, resultado que muestra a su vez de manera expĺıcita diferen-
cias importantes entre los campos magnetostáticos y los electrostáticos. Partiendo de
(4.15), sustituyendo |~x− ~x′| por su expansión en armónicos esfericos, ecuación (3.3), y
evaluando en ϕ = 0 encontramos
Aϕ(r, θ) =
4πI
ca
∞∑
l=0
l∑
m=−l
1
2l + 1
Y ml (θ, 0)×∫ ∞
0
dr′r′2
∫ π
0
dθ′ sin θ′
∫ 2π
0
dϕ′
rl<
rl+1>
cosϕ′δ(θ′ − π
2
)δ(r′ − a)Y ml (θ′, ϕ′)∗
=
8π2Ia
c
∞∑
l=1
Y 1l (θ, 0)
2l + 1
rl<
rl+1>
Y 1l (
π
2
, 0)∗,
con r< = min(r, a), r> = max(r, a) y donde hemos usado∫ 2π
0
dϕ cosϕ′ Y ml (θ
′, ϕ′)∗ = 2π Y 1l (θ
′, 0)∗δm1.
Ahora bien,
Y 1l (
π
2
, 0)∗ =
√
2l + 1
4π(l + 1)
P 1l (0) =

0, l = 2n
√
2l + 1
4π(l + 1)
(−1)n+1Γ(n+ 3/2)
Γ(n+ 1)Γ(3
2
)
, l = 2n+ 1
42
y con
Γ(n+
3
2
) = Γ(n+
1
2
+ 1) = (n+
1
2
)Γ(n+
1
2
) = (n+
1
2
)
√
π
2n
(2n− 1)!! ,
Γ(n+ 1) = n! , Γ(
3
2
) =
√
π
2
obtenemos
Aϕ(r, θ) = −
πIa
c
∞∑
n=0
(−1)n (2n− 1)!!
2n(n+ 1)!
r2n+1<
r2n+2>
P 12n+1(cos θ), (4.19)
donde (2n− 1)!! = (1)(3)(5)(· · · )(2n− 3)(2n− 1).
A partir de (4.19) y ~B = ~∇× ~A podemos evaluar el campo magnetico ~B. Haciendo
uso de
d
dx
[
√
1− x2P 1l (x)] = l(l + 1)Pl(x), (4.20)
se encuentra
Br =
2π
c
Ia
r
∞∑
n=0
(−1)n(2n+ 1)!!
2nn!
r<2n+1
r2n+2>
P2n+1(cos θ), (4.21)
Bθ =
π
c
Ia2
∞∑
n=0
(−1)n(2n+ 1)!!
2n(n+ 1)!
×
[
Θ(a− r)
(
2n+ 2
2n+ 1
)
1
a3
(r
a
)2n
−Θ(r − a) 1
r3
(a
r
)2n]
P 12n+1(cos θ)(4.22)
y por supuesto Bϕ = 0. Notamos aqúı una diferencia importante entre este problema,
que obviamente tiene simetria azimutal, y la simetŕıa azimutal en electrostatica. En
la solución (4.21-4.22) aparecen los polinomios de Legendre ordinarios aśı como los
asociados, esto debido al caracter vectorial del potencial ~A.
4.4 Momentos magneticos de una distribución de
corrientes localizadas
Consideremos ahora propiedades de una distribución de corrientes general localizada
en una región del espacio. Partiendo de (4.9) e ignorando el termino ~∇χ, se tendrá
~A(~x) =
1
c
∫
d3x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
=
1
c
∫
d3x′ ~J(~x′)
[
1
|~x|
+
~x · ~x′
|~x|3
+ · · ·
]
=
1
c
1
|~x|
∫
d3x′ ~J(~x′) +
xj
c|~x|3
∫
d3x′ x′j
~J(~x′) + · · · (4.23)
43
El primer término es la contribución al potencial vector del momento monopolar de
la distribución de corriente ~J y puede demostrarse facilmente que es cero si ~∇ · ~J = 0.
Para ello, partimos de
~∇ · (xi ~J) = xi~∇ · ~J + ~J · ~∇(xi),
y de aqúı que con ~∇ · ~J = 0 se tendrá
~∇ · (xi ~J) = Ji.
A continuación, apelando al teorema de la divergencia, encontramos∫
Ω
d3x′ Ji(~x
′) =
∫
Ω
d3x′ ~∇ ·
(
x′i ~J(~x
′)
)
=
∫
∂Ω
x′i
~J(~x′) · d~s→ 0
para Ω → R3 y por lo tanto no hay contribución monopolar.
Considérese a continuación la contribución proveniente del segundo término, para
lo cual lo re-escribimos en la forma∫
d3x′ x′jJi(~x
′) =
∫
d3x′
[
1
2
(x′jJi(~x
′) + x′iJj(~x
′)) +
1
2
(x′jJi(~x
′)− x′iJj(~x′))
]
.
Ahora bien
~∇ · (xixj ~J) = xixj ~∇ · ~J + ~J · ~∇(xixj),
y con ~∇ · ~J = 0 se sigue del teorema de la divergencia∫
Ω
d3x′ (x′jJi(~x
′) + x′iJj(~x
′)) =
∫
Ω
d3x′~∇ ·
(
x′ix
′
j
~J(~x′)
)
=
∫
∂Ω
x′ix
′
j
~J(~x′) · d~s→ 0
para Ω → R3. Por lo tanto
xj
∫
d3x′ x′jJi(~x) =
1
2
xj
∫
d3x′
(
x′jJi(~x
′)− x′iJj(~x′)
)
= −1
2
εijk xj
∫
d3x′εklm x
′
lJm(~x
′)
= −1
2
[
~x×
∫
d3x′ (~x′ × ~J(~x′))
]
i
. (4.24)
Definiendo la densidad de momentos magneticos o magnetización ~M(~x)
~M(~x) ≡ 1
2c
~x× ~J(~x) (4.25)
y al momento magnetico ~m de la distribución de corriente ~J como
~m ≡ 1
2c
∫
d3x′ ~x′ × ~J(x′), (4.26)
44
de (4.23) se desprende que el vector potencial tiene como primer termino no nulo a la
cantidad
~Am(~x) =
~m× ~x
|~x|3
. (4.27)
El campo magnetico asociado a (4.27) es
~B = ~∇× ~A = 3n̂(n̂ · ~m)− ~m
|~x|3
, (4.28)
donde n̂ ≡ ~x/|~x|, expresión que deberá ser comparada con la obtenida para el campo
elecrostático (3.13) producido por un dipolo eléctrico ~p. Aśı, lejos de cualquier distri-
bución de corriente localizada y estacionaria, el campo magnetico es el de un dipolo
magnetico ~m dado por (4.26).
Por último se puede demostrar que, como en el caso de la electrostática, una deri-
vación de ~A en el sentido de las distribuciones arroja como resultado
~B(~x) = ~∇× ~A(~x) = 3n̂(n̂ · ~m)− ~m
|~x|3
+
8π
3
~m δ(~x),
cuestión que no abordaremos aqúı.
4.5 Ecuaciones de la magnetostática en medios ma-
teriales
Hasta ahora hemos estudiado situaciones en las que se desea conocer el campo mag-
netico producido por distribuciones de corriente estacionarias en regiones en las que
no hay materia. No proponemos a continuación encontrar cuales modificaciones deben
hacerse a las ecuaciones de la magnetostática en el vaćıo para incluir en la descripción
la interacción de los campos magnéticos con la materia.
Lo primero que notamos es que la ecuación
~∇ · ~B = 0, (4.29)
al ser independiente de las fuentes, sigue siendo valida y de aqúı que siga siendo util
el concepto de potencial vector ~A(~x), a partir del cual obtenemos ~B via ~B = ~∇× ~A.
Ahora, supongase que queremos incluir en la descripción unicamente el efecto de
los momentos dipolares del medio material. Entonces
~A(~x) =
1
c
∫
d3x′
[
~J(~x′)
|~x− ~x′|
+ c
~M(~x′)× (~x− ~x′)
|~x− ~x′|3
]
, (4.30)
donde ~M es la densidad de momentos magneticos por unidad de volumen del material
considerado. Ahora,∫
d3~x′
~M(~x′)× (~x− ~x′)
|~x− ~x′|3
=
∫
d3~x′ ~M(~x′)× ~∇′
(
1
|~x− ~x′|
)
=
∫
d3~x′
~∇′ × ~M(~x)
|~x− ~x′|
−
∫
d3~x′~∇′ ×
(
~M(~x)
|~x− ~x′|
)
45
y dado que∫
Ω
d3x′~∇′ ×
(
~M(~x)
|~x− ~x′|
)
= −
∫
∂Ω
~M(~x)× d~s
|~x− ~x′|
→ 0 para Ω → R3,
se tendrá
~A(~x) =
1
c
∫
d3x′
~J(~x′) + c~∇′ × ~M(~x′)
|~x− ~x′|
. (4.31)
Como puede verse de (4.31), la magnetización del medio contribuye con una corrien-
te efectiva
~JM = c~∇× ~M (4.32)
y de aqúı que
~∇× ~B = 4π
c
~J + 4π~∇× ~M. (4.33)
El termino ~∇× ~M puede ser combinado con ~∇× ~B para definir el campo magnetico
~H
~H ≡ ~B − 4π ~M (4.34)
y las ecuaciones de Maxwell de la magnetostática en medios materiales vienen dadas
por
~∇× ~M = 4π
c
~J, (4.35)
~∇ · ~B = 0. (4.36)
La introducción de ~H como campo macroscopico es completamente analoga a la
introducción de ~D para el campo electrostático. De nuestra derivación es claro que los
campos fundamentales son ~E y ~B y los campos ~D y ~H son una definición que permite
tomar en cuenta (en promedio) las contribuciones a ρ y ~J de las cargas y corrientes
atómicas. Por otro lado, es común reservar el nombre campo magnetico para ~H y
denominar a ~B densidad de flujo magnetico o inducción magnetica.
Por supuesto, la descripción macroscópica completa de un sistema magnetostático
requiere de una relación constitutiva entre ~B y ~H. En general dicha relación constitu-
tiva puede ser sumamente complicada, del tipo
~B = ~F ( ~H). (4.37)
La ecuación (4.37) refleja el comportamiento dealgunos sistemas ferromagneticos con
respuestas tan interesantes como el que ilustra la figura (fenómeno de histeresis), en
los que ~F ( ~H) ni siquiera es una función monovaluada. Para el caso ilustrado, ~F ( ~H)
depende de la historia del material.
En materiales isotropos con respuesta lineal sencilla se cumple
~M = χm ~H, (4.38)
donde χm es un escalar denominado suceptibilidad magnetica. Si χm es positivo el
material se denomina paramagnetico, por el contrario si χm es negativo el material es
46
diamagnetico. Si el material es anisotropo, entonces Mi = χijHj y en general ~M no es
paralelo a ~H. Por otro lado, es conveniente resaltar el hecho de que χm es función de
la temperatura. De (4.38) y (4.34) se tiene
~B = (1 + χm) ~H ≡ µ ~H, (4.39)
donde µ se define como como la permeabilidad magnética del medio.
Es claro, antes de poder resolver problemas de magnetostática en medios materiales,
debemos conocer las condiciones de frontera que satisfacen ~B y ~H en la interfaz entre
dos medios. De (4.28) se tiene∫
Ω
d3x ~∇ · ~B = 0 =
∮
∂Ω
~B · d~s ⇒ ( ~B1 · n̂21 − ~B2 · n̂21)a = 0,
esto es,
( ~B1 − ~B2) · n̂21 = 0. (4.40)
Por otro lado, de (4.35) y del teorema de Stokes se sigue que
4π
c
∫
S
~J · d~s =
∫
S
~∇× ~H · d~s =
∫
C
~H · d~l
y por lo tanto
( ~H1 − ~H2) · l̂0∆l =
4π
c
~K · (n̂21 × l̂0)∆l
=
4π
c
( ~K × n̂21) · l̂0∆l
donde ~K es la densidad de corriente superficial en la interfaz. Ahora, puesto que ~K es
perpendicular a n̂21, tendremos que
n̂21 × ( ~H1 − ~H2)|| =
4π
c
n̂21 × ~K × n̂21 =
4π
c
[
~K − (n̂21 · ~K)n̂21
]
,
esto es,
n̂21 × ( ~H1 − ~H2) =
4π
c
~K. (4.41)
Por supuesto, las ecuaciones (4.40) y (4.41) deben emplearse al resolver las ecuaciones
de Maxwell en diferentes regiones para acoplar las soluciones en la interfaz entre dichas
regiones.
4.6 Problemas de contorno en magnetostática
Como ya hemos visto, las ecuaciones básicas de la magnetostática en medios materiales
son (4.35) y (4.36), donde se debe además dar alguna relación constitutiva entre ~B y
~H. La gran variedad de situaciones que pueden ocurrir en la práctica hace posible el
empleo de técnicas diferentes que en alguna medida permiten simplificar los calculos.
47
4.6.1 Uso del potencial vector ~A
Debido a (4.36), siempre es posible proponer ~B = ~∇× ~A y de (4.35) se tendrá
~∇× ~H = 4π
c
~J,
donde ~H = ~H( ~B), resultando una ecuación diferencial extremamente complicada. Si
~B = µ ~H entonces
~∇× ( 1
µ
~∇× ~A) = 4π
c
⇒ ~∇(~∇ · ~A)−∆ ~A = 4πµ
c
~J (4.42)
que puede ser resuelta fijando el calibre al calibre de Coulomb ~∇· ~A = 0. Por supuesto,
las soluciones de (4.42) deben ser acopladas en la interfaz entre los diferentes medios
usando las condiciones de frontera (4.40) y (4.41).
4.6.2 Uso del potencial escalar magnético ΦM ( ~J ≡ ~0)
Para el caso ~J = ~0, de (4.35) se tiene ~∇ × ~H = ~0 y por lo tanto es posible buscar
soluciones de la forma
~H = −~∇ΦM . (4.43)
Si es posible suponer respuesta lineal, entonces ~B = µ ~H y ΦM satisface
∆ΦM = 0, (4.44)
si µ es constante a trozos.
4.6.3 Ferromagnetos duros ( ~M dado y ~J ≡ ~0)
Uso de ~A
Para aquellos ferromagnetos cuya magnetización es esencialmente independiente de los
campos aplicados (por supuesto estos últimos debiles), es posible hacer el tratamiento
como si la magnetización fuese fija. En este caso, de (4.35) se sigue que
~∇× ~H = ~∇× ( ~B − 4π ~M) = ~0,
y con ~B = ~∇× ~A, encontramos que ~A satisface en el calibre de Coulomb
∆ ~A = −4π
c
~JM , (4.45)
donde ~JM viene dado por (4.32). En ausencia de superficies frontera, la solución de
(4.45) viene dada por
~A(~x) =
∫
R3
d3x′
~∇′ × ~M(~x′)
|~x− ~x′|
. (4.46)
48
Un caso particularmente interesante es el de una magnetización que se hace cero abrup-
tamente fuera de un volumen Ω, en cuyo caso
~A(~x) =
∫
Ω
d3x′
~∇′ × ~M(~x′)
|~x− ~x′|
+
∫
∂Ω
M(~x′)× d~s′
|~x− ~x′|
, (4.47)
expresión que asumiremos válida sin demostración.
Uso de ΦM
Puesto que ~J = ~0, entonces proponemos ~H = −~∇Φm. Ahora, con
~B = ~H + 4π ~M,
se tendrá que
0 = ~∇ · ~B = ~∇ · ( ~H + 4π ~M)
y por lo tanto
∆ΦM = 4π ~∇ · ~M. (4.48)
Si ~M es diferente de cero solo en un volumen Ω, entonces la solución de (4.48) viene
dada por
ΦM(~x) = −
∫
Ω
d3x′
~∇′ · ~M(~x′)
|~x− ~x′|
+
∫
∂Ω
~M(~x′) · d~s′
|~x− ~x′|
. (4.49)
49
Caṕıtulo 5
Campos que vaŕıan en el tiempo.
Leyes de conservación
En las discuciones anteriores nos hemos centrado en aquellos problemas que involu-
cran distribuciones de carga y corriente estacionarias, empleando técnicas matemáticas
similares, aunque la descripción de los fenómenos eléctricos y magnéticos se hizo esen-
cialmente independiente una de la otra. La naturaleza casi independiente de dichos
fenómenos desaparece cuando consideramos problemas dependientes del tiempo. Cam-
pos magnéticos que varian en el tiempo dan lugar a campos eléctricos y viceversa.
5.1 Los potenciales Φ y ~A y la ecuación de onda
Para el caso de campos y fuentes dependientes del tiempo se hace necesario emplear
el conjunto de ecuaciones acopladas
~∇ · ~E = 4πρ, (5.1)
~∇ · ~B = 0, (5.2)
~∇× ~E + 1
c
∂t ~B = ~0, (5.3)
~∇× ~B − 1
c
∂t ~E =
4π
c
~J, (5.4)
que son la ley de Gauss, la inexistencia de monopolos magneticos libres, la ley de
Faraday y la ley de Ampere, respectivamente. Estas son la ecuaciones de Maxwell
en el vacio y la versión apropiada en un medio material es la que resulta de cambiar
~E y ~B en las ecuaciones no homogeneas (5.1) y (5.4) por ~D y ~H, respectivamente
(asumiendo que el medio material está en reposo). Por los momentos restringiremos
nuestra atención al caso en que no hay medios materiales.
Como hemos visto en el Caṕıtulo 1, las ecuaciones (5.1) y (5.4) escritas en terminos
de los potenciales Φ y ~A vienen dadas por
∆Φ− 1
c2
∂t∂tΦ = −4πρ−
1
c
∂t
(
~∇ · ~A+ 1
c
∂tΦ
)
, (5.5)
50
∆ ~A− 1
c2
∂t∂t ~A = −
4π
c
~J + ~∇
(
~∇ · ~A+ 1
c
∂tΦ
)
, (5.6)
las cuales, en el calibre de Lorentz
~∇ · ~A+ 1
c
∂
∂t
Φ = 0, (5.7)
se reducen a ecuaciones de onda no homogeneas con ρ y ~J como fuentes
∆Φ− 1
c2
∂2Φ
∂t2
= −4πρ, (5.8)
∆ ~A− 1
c2
∂2 ~A
∂t2
= −4π
c
~J. (5.9)
Revisemos a continuación las consecuencias de escoger otro calibre. Considérese la
elección de calibre
~∇ · ~A = 0. (5.10)
De (5.5) se sigue que Φ satisface la ecuación de Poisson
∆Φ(~x, t) = −4πρ(~x, t), (5.11)
cuya solución viene dada por
Φ(~x, t) =
∫
d3x′
ρ(~x′, t)
|~x− ~x′|
. (5.12)
Tenemos entonces que el potencial escalar Φ es el potencial ”instantaneo”de Coulomb
producido por la distribución de cargas ρ(~x, t) y de aqúı que al calibre (5.10) se le
denomine calibre de Coulomb. Por otro lado, de (5.6) se tiene que el potencial vector
~A satisface la ecuación de onda no-homogenea
∆ ~A− 1
c2
∂t∂t ~A = −
4π
c
~J +
1
c
~∇∂tΦ, (5.13)
donde el último término del miembro derecho de (5.13) puede ser calculado a partir de
(5.12).
Para resolver (5.13) es conveniente considerar la descomposición
~J = ~JL + ~JT , (5.14)
con
~∇× ~JL = 0 (5.15)
y
~∇ · ~JT = 0. (5.16)
51
Las partes longitudinal ~JL y transversa ~JT de ~J pueden ser construidas explicitamente
a partir de ~J (vease el teorema de Helmholtz)
~JL = −
1
4π
~∇
∫
d3x′
~∇′ · ~J(~x′)
|~x− ~x′|
(5.17)
~JT =
1
4π
~∇× ~∇×
∫
d3x′
~J(~x′)
|~x− ~x′|
. (5.18)
A continuación, de la ecuación de continuidad
1
c
∂tρ+ ~∇ · ~J = 0 (5.19)
se sigue que
1
c
∂tρ+ ~∇ · ~Jl = 0.
De este resultado y de (5.12) y (5.17) se desprende que
∇∂tΦ = 4π ~Jl (5.20)
y por lo tanto (5.13) se reduce a
∆ ~A− 1
c2
∂t∂t ~A = −
4π
c
~JT . (5.21)
Se encuentra entonces que en este calibre la fuente para ~A es solo para la parte trans-
versa ~JT de ~J y al calibre (5.10) se le denomina calibre transverso. Nótese que en
este calibre, el potencial escalar Φ satisface la ecuación de Poisson (5.11), la cual es
una ecuación del tipo eĺıptico donde t aparece solo como un parámetro y de aqúı que
su solución, (5.12), realmente no se ”propague”. Por otro lado, el potencial vector