TEMA4_Sistema_de_particulas

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SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I 
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M 
Tema 4 1/13 
 
• Definición y cálculo del centro de masas 
 
• Movimiento del centro de masas 
 
• Fuerzas internas y fuerzas externas 
 
• Energía cinética de un sistema de partículas 
 
• Teoremas de conservación para un sistema de partículas 
 
CONTENIDO 
SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I 
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M 
Tema 4 2/13 
BIBLIOGRAFÍA 
SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas 
 Cap. 9.3: Centro de masas 
 Cap. 9.4: Conservación del momento angular 
 Cap. 10.1, 10.2.1, 10.2.3: Colisiones 
 
WOLFGANG BAUER Y GARY D. WESTFALL, FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS, Volumen I, 
McGraw-Hill, 2011 
 Cap. 5: Energía cinética, trabajo y potencia 
 Cap. 6: Energía potencial y conservación de la energía 
 
 
SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998 
 Cap. 8: Impulso y choques 
 
 
TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005 
 Cap. 8.1, 8.3-8.6: Sistema de Partículas y conservación del momento lineal 
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DEFINICIÓN. CENTRO DE MASAS 
Un sistema de partículas es un conjunto de partículas que interaccionan. El problema puede plantearse 
tratando cada partícula por separado y solucionando la segunda ley de Newton para cada una de ellas, pero 
suele ser complicado. Al hacer un tratamiento conjunto, veremos como el problema se simplifica. 
SISTEMA 
r1 
v1 
Cuerpo externo A 
ri 
r2 
v2 
Sea un sistema formado por N partículas 
Se define el CENTRO DE MASAS (CM) como una 
partícula que tiene toda la masa del sistema 
1
N
i
i
M m


Su vector de posición viene dado por la media ponderada 
de los vectores de posición de las N partículas 
1 1 2 2 n n
CM
m x m x m x
x
M
     

1 1 2 2 n n
CM
m y m y m y
y
M
     

1 1 2 2 n n
CM
m z m z m z
z
M
     

1
1 N
CM i i
i
r m r
M 
 
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Tema 4 4/13 
Su velocidad y aceleración se obtienen derivando respecto del tiempo 
CENTRO DE MASAS 
N
CM
CM i i
i 1
dr 1
m v
dt M
1 1 2 2 N Nm v +m v +.....+m vv =
M 
  
N
CM
CM i i
i 1
dv 1
m a
dt M
1 1 2 2 N Nm a +m a +....+m aa =
M 
  
El momento lineal total: 
N N
i i CM i CM
i=1 i=1
p(total)= mv = v m = v M  
Es decir, el momento lineal total del sistema = al momento lineal del centro de masas 
CMp)total(p


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Ejemplo: En un instante dado, tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 2.2 kg, y m3 = 3.4 kg están 
situadas formando un triángulo equilátero, y sus posiciones son: r1=(0,0), r2=(140,0)cm y r3=(70,121) 
cm. ¿Dónde está el centro de masas del sistema? Si v1=2i m/s, v2=3j m/s y m3 está en reposo. Calcular 
la velocidad del centro de masas y el momento lineal total 
3
1 1 2 2 3 3
CM i i
i 1
m x m x m x1
x m x
M M
 
 
(1.0) (0) (2.2 kg)(1.4m) (3.4 kg)(0.7m)
0.83 m
6.6 kg
 
 
3
1 1 2 2 3 3
CM i i
i=1
m y +m y +m y1
y = m y =
M M
 (1.0 kg)(0)+(2.2 kg)(0)+(3.4 kg)(1.21m)= =0.623 m
6.6 kg
CM
1 2i 2.2 3 j 3 0
0.303i j
6.6
1 1 2 2 3 3m v +m v +m vv =
M
    
  
6.6 (0.303i j) 2i 6.6 jCMp(total)=M v     
CENTRO DE MASAS 
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1
N
i i
i i
F ma

 
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 
SISTEMA 
jiF
ijF
AiF
AjF
rj 
vj 
Cuerpo externo A 
jAF iAF
ri 
Las fuerzas que se ejercen sobre las partículas del sistema son: 
int ernas externasF F F 
ejercidas entre las 
partículas que 
forman el sistema 
ejercidas por 
partículas externas 
del sistema a 
partículas del sistema 
N
ext
ij i
i,j i
F F F  
Si sumamos a todas las partículas 
Las fuerzas internas se cancelan: son pares de 
acción y reacción 
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N N
ext CMi i
i i i i
i i i i
CM
CM
dpdv dp
F= F = ma = m =
dt dt dt
dv
M M a
dt

  
   
ext
CMF M a 
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 
El centro de masas (CM) se mueve como una partícula que tiene toda la masa del sistema y sobre la 
que se aplica la resultante de las fuerzas externas 
Ejemplo: en una bala que 
explota, la única fuerza 
externa es el peso. Por tanto 
El CM sigue la misma 
trayectoria parabólica que 
llevaba antes de la explosión, 
porque el peso del CM no 
cambia debido a la explosión. 
Nota: la explosión es una 
fuerza interna Distancia (m) 
A
lt
u
ra
 (
m
) 
Movimiento del centro de masas 
Movimiento del 
fragmento 1 
Movimiento del 
fragmento 2 
La línea roja representa la trayectoria del CM 
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CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 
ext CM
CM
dp
F M a
dt
  
0
0
ext
CM
Si F
dp
dt



CMp cte
0
0
0
ext
x x
ext
y y
ext
z z
(CM)
(CM)
(CM)
Si F p cte
Si F p cte
Si F p cte
  
  
  



Si la resultante de Fuerzas es cero, el centro de masas o está quieto, o se mueve con movimiento 
rectilíneo y uniforme 
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 

N
ji,
jii
N
1i
exter
ii
N
1i
ii
N
1i
i
0 FrFrFrL
dt
d
dt
Ld 

MOMENTO ANGULAR 
El momento angular total del sistema respecto el punto O es: 
Si tenemos en cuenta que 
Las fuerzas internas no modifican el momento angular de un sistema de partículas 
Si todas las fuerzas son internas, o la suma del momento de las fuerzas externas es cero, el momento 
angular total se conserva 



N
1i
iiii
N
1i
i
N
1i
i0 )v(mrprLL

0i
0 MFr
dt
Ld 





N
1i
0
N
1i
exter
ii
0 Fr
dt
Ld
M


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Tema 4 10/13 
TRABAJO Y ENERGÍA 
ENERGÍA CINÉTICA 
La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de cada una de las 
partículas 
ENERGÍA POTENCIAL 
Cada fuerza conservativa, sea interna o externa, tiene asociada una energía potencial 
TRABAJO 
El trabajo total es la suma de los trabajos de todas las fuerzas que se ejercen a las partículas, tanto 
internas como externas. El trabajo realizado por las fuerzas internas no tiene porqué ser cero. 
externas ernas CIN
TOTALW W E
int  
Ejemplo: energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas 
N N
i i i i CM
i 1 i 1
(gravitatorio)U mgh g mh gMh
 
   
2N N
CIN CIN CIN
TOTAL i i i CM
i 1 i 1
1
E E m v E
2 
   
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Tema 4 11/13 
TEOREMAS DE CONSERVACIÓN 
• CONSERVACIÓN DE P TOTAL 
 
 
• CONSERVACIÓN DE L TOTAL 
 
 
• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 
Al igual que para una partícula, para un sistema de partículas es siempre interesante evaluar si, bajo las 
condiciones del problema se cumple: 
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Tema 4 12/13 
COLISIONES 
Una colisión es una interacción entre dos o más objetos en la que se intercambian momento lineal y 
energía, de manera que se modifica su estado de movimiento. 
Las fuerzas que se ejercen las partículas (fuerzas internas), son relativamente intensas y de corta duración. 
Su valor no tiene que ser constante durante el tiempo que dura el choque. Es muy difícil cuantificarlas. 
IMPULSO 
f
i
t
t
I= Fdt=Δp
I F Δt media
Cambio del momento lineal de una partícula 
Se puede definir una fuerza media tal que: 
F internas >>>F externas 
F externas ≈ 0 
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Tema 4 13/13 
COLISIONES 
Si durante la colisión Fext =0, de los teoremasde conservación se obtiene: 
0TOTAL TOTAL
dp
p cte
dt
  
0TOTAL TOTAL
dL
L cte
dt
  
1 2 3TOTALp p p p ....    1 2 3 1 2 3
ANTES DESPUÉS
p p p ... p p p ...      
1 2 3TOTALL L L L ....    1 2 3 1 2 3
ANTES DESPUÉS
L L L ... L L L ...      
ANTES DESPUES
ernas CIN CIN CIN
TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E E
int      
Choque elástico: 
Choque inelástico: 
ANTES DESPUES
ernas CIN CIN CIN
TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E E
int      
Choque completamente inelástico: 
Las partículas quedan pegadas después del choque. No se conserva la 
CIN
TOTALE
CIN ernas
TOTALE W
int 