TEMA1_Cinematica_particula_y_movrelativo

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B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M 
Tema 1 1/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
 
• Sistemas de coordenadas 
 
• Ecuación de la trayectoria 
 
• Vectores posición, velocidad y aceleración 
 
• Componentes intrínsecas de la aceleración 
 
• Movimiento circular 
 
• Sistemas de referencia 
 
• Movimiento relativo: transformaciones de Galileo 
CONTENIDO 
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Tema 1 2/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
BIBLIOGRAFÍA 
• SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas 
 Cap. 2 y 3.1-3.2 (excepto rotación de un cuerpo rígido) 
• SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998 
 Cap. 2 y 3 
• TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005 
 Cap. 2 y 3 
• MARCELO ALONSO Y EDWARD J. FINN “Física”, Volumen I. 1ª edición 
 Cap. 6. Movimiento relativo: 6.1-6.5 
• MARCELO ALONSO “FÍSICA”, 1ª Edición 
Cap. 3. Movimiento rectilíneo: 3.9 
Cap. 4. Movimiento curvilíneo: 4.6 
Cap. 5. Movimiento circular: 5.5 y 5.6 
• DOUGLAS C. GIANCOLI, “FÍSICA PARA UNIVERSITARIOS”, Volumen I, 3ª edición. 
Cap. 3.Cinemática en dos dimensiones; vectores: 3.10 
Cap. 11.Rotación general: 11.9 y 11.10 
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Tema 1 3/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
SISTEMA DE COORDENADAS 
Describir el movimiento de una partícula consiste en indicar su posición en función del tiempo. 
El primer paso es expresar la posición de una manera inequívoca utilizando un sistema de coordenadas 
concreto, y especificando la posición del origen de coordenadas. Un sistema de coordenadas es el 
conjunto de parámetros necesarios para expresar la posición de cualquier objeto en el espacio. 
SISTEMA DE COORDENADAS 
CARTESIANAS 
SISTEMA DE COORDENADAS 
POLARES 
x 
y 
z 
S P(x,y,z) 
i
j
k
x 
y 
( ) t
R 
 
 
0
( ) cos ( )
( ) sin ( )
( )



x t R t
y t R t
z t z


P(R,) 
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Tema 1 4/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
VECTOR DE POSICIÓN, TRAYECTORIA 
Lugar del espacio donde se encuentra un objeto. Se designa por . En coordenadas cartesianas se 
describe a partir del valor de sus 3 coordenadas: x, y, z 
ktzjtyitxtr

)()()()( 
r
Trayectoria: 
lugar geométrico de los puntos del espacio por donde pasa la partícula en movimiento. Se describe por 
medio de las ecuaciones paramétricas: x(t), y(t) y z(t), o relacionando x, y, z entre sí eliminando la variable t 
S 
x 
y 
z 
i
j
k
1
( )r t
2
( )r t
3
( )r t
Ejemplo: Una partícula se mueve tal que su vector de posición es: 
22 6( )r t t i t j t k  
Su trayectoria se puede expresar como: 
2
2
6
( )
( )
( )
x t t
y t t
z t t



2
3
4
( )
y x
x
z t


o 
1 1
2 2
( )
( )
r t r
r t r


2 2 2( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t  
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Tema 1 5/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
VECTOR DESPLAZAMIENTO 
S 
x 
y 
z 
k
1
r
2
r
3
r
P 
P’ 
12
r
23
r
P’’ 
Indica la variación de la posición de una partícula cuando se desplaza de un punto a otro. 
12 2 1
r r r r   
En general es distinto que la distancia recorrida ∆S, que se mide sobre la trayectoria 
2 1
2 1
2 1
x x x
y y y
z z z
  
  
  
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Tema 1 6/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
VECTOR VELOCIDAD MEDIA 
2
rSi un punto se desplaza desde la posición inicial , en el tiempo t1, a la posición final , en el tiempo t2, el 
vector velocidad media entre esos dos puntos se define como: 
1
r
2 1
2 1
M
r r r m
v
t t t s
 
 
 
Cuando se habla de velocidad media (sin nombrar la palabra vector), se refiere al cociente entre la 
distancia recorrida y el tiempo transcurrido 
La velocidad media entre dos puntos (por 
ejemplo en el dibujo entre los puntos A y C), es 
la pendiente de la recta que une esos dos 
puntos 
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Tema 1 7/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
   
  
  
 t t
r t t r t r t dr t
v t Lim Lim
t t dt
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
Corresponde al vector velocidad media cuando el intervalo entre los puntos es infinitésimo, e indica la 
velocidad en cada instante de tiempo. 
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k  Como: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )x y z
dr t dx t dy t dz t
v t i j k v t i v t j v t k
dt dt dt dt
      
Ejemplo de la componente x 
Gráficamente, corresponde a la 
pendiente de la recta tangente en cada 
punto de la curva 
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Tema 1 8/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
Generalizando a 3 dimensiones: 
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
El vector velocidad instantánea tiene SIEMPRE la dirección tangente a 
la trayectoria y sentido el del movimiento 
S 
x 
y 
z 
1
r
2
r
3
r
P 
P’ 
P’’ 
v
v v
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zv t v t v t v t  
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Tema 1 9/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
VECTOR ACELERACIÓN 
Magnitud que da información del cambio del VECTOR VELOCIDAD. Nos informa tanto del cambio 
del módulo del vector velocidad, como del cambio de dirección del vector velocidad 
VECTOR ACELERACIÓN MEDIA 
2 1
2
2 1
M
v v v m
a
t t t s
 
 
 
VECTOR ACELERACIÓN INSTANTÁNEA 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( )
 
   
  
  
 t t
v t t v t v t dv t
a t Lim Lim
t t dt
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
yx z
x y z
dv tdv t dv tdv t
a t i j k a t i a t j a t k
dt dt dt dt
      
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t a t a t  
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Tema 1 10/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
Q 
P 
P Q 
R 
VECTOR ACELERACIÓN 
La dirección de es tangente en 
cada punto a la curva que representa 
 frente a t 
( )a t
v
2
(entre P y Q)
Q P
M
Q P
v v v m
a
t t t s
 
 
 
Esa dirección es, en general, distinta de la tangente 
a la trayectoria. Solo es igual cuando el movimiento 
es rectilíneo. 
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Tema 1 11/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN 
  tantan tan t
( )
( ) ( ) ( )g N
d v dudv t d
a t v u u v a t a t
dt dt dt dt
     
Si ahora calculamos a teniendo en cuenta que tan( )v t v u
t tan( )g
d v
a t u
dt
 atg (aceleración tangencial) mide el cambio en el módulo de v. Tiene dirección 
tangente a la trayectoria y sentido el de la variación de v 
aN (aceleración normal) mide el cambio en la 
dirección de v. Tiene dirección perpendicular a la 
tangente a la trayectoria, y sentido hacia el interior 
de la curva 
2
tan( ) ;N N
vdu
a t v a
dt 
 
donde = radio de 
curvatura instantáneo 
z
x
y
( )r t
O 
( )Na t
( )Ta t
( )a t
Componentes intrínsecas de la aceleración 
2 2
t( ) ( ) ( )g Na t a t a t 
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Tema 1 12/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
TRANSFORMACIONES INVERSAS 
Determinación de la velocidad y la posición de una partícula a partir de su aceleración. 
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
x y z
t t t t
v t v t a t dt a t dt i a t dt j a t dt k       
( )
( ) ( ) ( )
df x
g x f x g x dx
dx
   Si recordamos: 
( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t i a t j a t k  Sea: 
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
x y z
t t t t
r t r t v t dt v t dt i v t dt j v t dt k       
0
0( ) ( ) ( )
t
t
S t S t v t dt   Distancia recorrida 
0
0( ) ( ) ( )
t
tg
t
v t v t a t dt  
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Tema 1 13/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
TIPOS DE MOVIMIENTO 
Se clasifican en diversos tipos dependiendo de los módulos de las aceleraciones 
tangenciales y normales. 
dt
vd
atg


 indica cambio de módulo de la velocidad 
222
)()()( tatata tgn


( ) ( ) ( )N tga t a t a t
indica cambio de dirección de la velocidad 

2
v
an




 0na

MOVIMIENTO RECTILÍNEO 
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t   
0Si tga

)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg  


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 
dttftvtvtfta
t
t
tg 
0
)()()()()(Si 0


Movimiento rectilíneo variado 
Movimiento rectilíneo uniforme 
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Tema 1 14/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
 0na


MOVIMIENTO 
CURVILÍNEO 
0Si cte  
( )Si cte t  
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t   
0Si tga

)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg  


Movimiento circular uniformemente acelerado 
dttftvtvtfta
t
t
tg 
0
)()()()()(Si 0


Movimiento circular variado 
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t   
0Si tga

)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg  


Movimiento curvilíneo uniformemente acelerado 
dttftvtvtfta
t
t
tg 
0
)()()()()(Si 0


Movimiento curvilíneo variado 
Movimiento circular 
Movimiento curvilíneo 
Mov. Circular uniforme 
Mov. Curvilíneo uniforme 
TIPOS DE MOVIMIENTO 
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Tema 1 15/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
MOVIMIENTO CIRCULAR 
La trayectoria de la partícula es una circunferencia 
Se describe fácilmente por medio de las coordenadas polares: 
r
x 
y 
v
a
Na
ta
x 
y 
v
a
Na
ta
( ) t
R 
    0( ) cos ( ) sin ( )r t R t i R t j z k   
Como: 
Podemos caracterizar el movimiento estudiando como cambia  con el tiempo. 
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Tema 1 16/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
( )
( )
d t
t u
dt

 
Si llamamos: 
VELOCIDAD ANGULAR 
rad
s
y 
( )
( )
d t
t
dt

 ACELERACIÓN ANGULAR 
2
rad
s
Siendo  un vector perpendicular al plano del movimiento y sentido dado por la regla de la mano derecha 

v
De dirección la misma que  
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t
t
t
t
t t t dt
t t t dt
  
  
 
 


MOVIMIENTO CIRCULAR 
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Tema 1 17/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
MOVIMIENTO CIRCULAR 
RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES 
( ) ( )
( )
t
S t R t
dS d
v R R
dt dt
d v
a R
dt

 


   
  
Siendo la relación entre vectores: 
( ) ( ) ( )v t t r t 
( ) ( )
dr d
a t v v r r r
dt dt

                 
taNa
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Tema 1 18/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
SISTEMA DE REFERENCIA 
Consiste en definir el lugar (origen de coordenadas) desde el que se toman las medidas, y la 
dirección y sentido de los ejes de coordenadas. 
 
El valor de una medida depende del sistema de referencia utilizado, y por tanto es necesario 
detallar siempre qué sistema de referencia estamos utilizando. 
r según el sistema de referencia S) 2i 3 j 2k
r según el sistema de referencia S') 3 i 3 j k
(
'( ' ' '
   
  
x(t) 
y(t) 
z(t) 
i(t) 
→ 
k(t) 
→ 
j(t) 
→ 
S 
x’(t) 
y’(t) 
z’(t) 
i’(t) 
→ 
k’(t) 
→ 
j’(t) 
→ 
S’ 
P 
r
r '
0r
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Tema 1 19/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
Los vectores de velocidad y de aceleración de un objeto también dependen del sistema de 
referencia escogido. 
ES IMPRESCINDIBLE 
APRENDER A CALCULAR Y A RELACIONAR ESTAS MAGNITUDES EN DIFERENTES 
SISTEMAS DE REFERENCIA 
SISTEMA DE REFERENCIA 
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Tema 1 20/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
María, Juan y Carlos miden la velocidad de Pablo. Los valores de los vectores velocidad de color verde 
están medidos por María (es decir medidos en el sistema de referencia centrado en María). 
 
Nos preguntamos: ¿ Se puede decir que hay un único valor de la velocidad del corredor? 
 
La respuesta es que no, que la velocidad de Pablo depende del sistema de referencia del observador que 
la mide. Así: 
 Según el sistema de referencia centrado en María: vPablo= 5 m/s 
 Según el sistema de referencia centrado en Juan: vPablo= 0 m/s 
 Según el sistema de referencia centrado Carlos: vPablo= -10 m/s 
 ¿Medirá cada uno de ellos la misma aceleración del avión? 
Ejemplo 
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Tema 1 21/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
TIPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA 
SISTEMA DE REFERENCIA 
Podemos clasificarlos como: 
 
• SISTEMAS INERCIALES: Aquellos sistemas que o bien están fijos o se mueven respecto a 
otro fijo con vector velocidad constante. Ejemplo: un tren que se mueve a velocidad 
constante. 
 
• SISTEMAS NO INERCIALES: Los que se mueven con aceleración respecto a un sistema 
fijo. Ejemplo: un tiovivo 
 
Estudiaremos como se transforman los valores de los vectores posición, velocidad y 
aceleración entre un sistema de referencia fijo, que designaremos como S, y un sistema de 
referencia general, que denotaremos como S’. 
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Tema 1 22/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
SISTEMA DE REFERENCIA. SISTEMAS INERCIALES 
 
SISTEMAS INERCIALES 
)()(')( 0 trtrtr


0
( )
'( )
( )
r t
r t
r t
lo mide el sistema de referencia S 
lo mide el sistema de referencia S’ 
lo mide el sistema de referencia S 
0
0
0
x t i x t i x t i
y t j y t j y t j
z t k z t k z t k
( ) '( ) ' ( )
( ) '( ) ' ( )
( ) '( ) ' ( )
 
 
 
S’ se mueve respecto a S en línea recta y con módulo de velocidad constante, con velocidad 
Los vectores unitarios i’, j’ y k’ no cambian en el tiempo. 
Si una partícula P se mueve, la relación entre las magnitudes medidas por ambos observadores 
se calcula por medio de: 
x 
y 
z 
i → 
k 
→ 
j → 
S 
x’ 
y’ 
z’ 
i’ → 
k’ 
→ 
j’ → 
S’ r
r '
0r
P 
𝑣 0 
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Tema 1 23/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
SIST. INERCIALES: TRANSFORMACIONES DE GALILEO 
i i
j j
k k
'
'
'



 
 
 
0
0
0
x t i x t x t i
y t j y t y t j
z t k z t z t k
( ) '( ) ( )
( ) '( ) ( )
( ) '( ) ( )
 
 
 
Si además, para t = t’=0, los sistemas coinciden. Entonces: 0 0r t v t( )  
0 0r t r t v t o r t r t v t( ) '( ) '( ) ( )     
Si además los ejes de ambos sistemas son paralelos, las relaciones anteriores se simplifican 
mucho. Se las conoce por las transformaciones de Galileo. 
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Tema 1 24/24 
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I 
0
0
dr tdr t dr t
v t v t v
dt dt dt
( )( ) '( )
( ) '( )    
La relación entre las velocidades que miden ambos observadores se obtiene: 
Y la relación entre las aceleraciones: 
0dv tdv t dv ta t a t
dt dt dt
( )( ) '( )
( ) '( )   
IMPORTANTE: dos observadores moviéndose entre sí con movimiento uniforme, 
ven moverse a una partícula con la misma aceleración 
SIST. INERCIALES: TRANSFORMACIONES DE GALILEO