trabajo 21 julio

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Unidad de Aprendizaje 1
Espacio vectorial Rn
El conjunto Rn = {(x1, . . . , xn)/xi ∈ R} es el producto cartesiano de R n
veces.
La representación geométrica de R es el conjunto de los puntos P de una
recta identificando mediante un único número real x, luego de determinar
una unidad de longitud.
De igual forma la representación geométrica de R2 es el conjunto puntos
P de un plano identificando mediante una única pareja ordenada de números
reales (x, y)
1
Tambien la representación geométrica de R3 es el conjunto puntos P del
espacio identificandos mediante una única terna ordenada de números reales
(x, y, z).
Aunque no se puedan graficar todos los casos, es posible imaginar la re-
presentación geometrica Rn como el conjunto de puntos P en Rn identificados
mediante una n-tupla ordenada de números reales (x1, x2, . . . , xn).
El conjunto Rn está dotada de dos operaciones algebraicas: la suma y el
producto escalar. Dados dos puntosX = (x1, x2, . . . , xn) y Y = (y1, y2, . . . , yn)
de Rn la suma está definida por
X + Y = (x1 + y1, x2, y2, . . . , xn + yn).
k ·X = (kx1, kx2, . . . , kxn) con k número real.
2
Ejemplo 1 Sean los puntos P = (2, 1,−3), Q = (0,−1, 1). Calcular P +
Q,P −Q, 2P, 5Q.
Resolución
Vector Los elementos de Rn se llaman vectores se representan por PQ, donde
P es el punto inicial, Q es el punto final. Ejemplo el vector (1, 2).
Representación de la suma y producto escalar de vectores.
3
Ejemplo 2 El vector v con punto inicial P (2, 3, 1) y punto final Q(−1, 1, 2)
es igual a v = Q− P = (−3,−2, 1).
Resolución
1.1. Subespacios de Rn
Son subconjuntos que son espacios vectoriales.
Definición 1 Si H ⊂ V no vaćıo, para V un espacio vectorial. Se dice que
H es un subespacio vectorial de V si:
Para todo h,h2 ∈ H se cumple h1 + h2 ∈ H.
Para todo k ∈ R se cumple k · h ∈ H.
Ejemplos. Los espacios triviales 0,V. Aquellos diferentes a ellos se llaman
subespacios propios.
Ejemplo 3 El conjunto de Rn con la última coordenada nula {(x1, . . . , xn−1, 0)}
es un subespacio vectorial de Rn.
Resolución
4
Ejemplo 4 S1 = {(xn)/xn → 1} no es un subespacio vectorial del espacio
vectorial de todas las sucesiones de números reales S.
Observación Respecto a la intersección y la unión de los subespacios vec-
toriales.
Ejemplo 5 Los subconjuntos de Rn dados por H1 = {(x, x2)/x ∈ R} no es
subespacio vectorial del espacio plano.
Resolución
5
Combinacion lineal de ciertos vectores(unicidad)
Ejemplo 6 El conjunto Pn de los polinomios de grado menor o igual a n
tiene la combinación lineal de {1, x, x2, . . . , xn}.
Propiedad Si v1, v2, . . . , vn son vectores de un cierto espacio vectorial V, el
subconjunto generado por ellos es un subespacio de V.
Prueba
6
Definición 2 Los vectores v1, v2, . . . , vn se dicen linealmente independientes
si ninguno de ellos es combinación lineal de los otros, caso contrario se dicen
linealmente dependientes.
Teorema 1 Los vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente dependientes si y sólo
si existen escalares α1, . . . , αn no todos ceros, tales que α1v1+ · · ·+αnvn = 0.
Prueba
Teorema 2 Un conjunto de m vectores en Rm se linealmente dependientes
si m < n.
Prueba
7
Teorema 3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en
Rn genera a Rn.
Prueba
La dimensión de un espacio vectorial V se denota por dim(V ). La dimen-
sión de Rn es n.
Definición 3 Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} es una base del espa-
cio vectorial V si:
El conjunto de vectores es linealmente independientes.
El conjunto de vectores genera V.
Ejemplo 7 El conjunto e1, . . . , en genera a Rn. El conjunto }1, x, x2} es una
base de P3.
Evaluación 1: vectores
8
1. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial, caso contrario
dar el contraejemplo respectivo.
a) El conjunto de los números enteros x, y con las operaciones defi-
nidas por x+ y = MCD(x, y) y x ∗ y = mcm(x, y).
b) El conjunto de las matrices de orden 2× 2 tal que a11 = 1 con las
sumas y producto escalar usuales en matrices.
2. Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial
dado.
a) En R2 con los vectores (1, 2), (2, 1).
b) En P2 con los vectores 1− x, 2− x2.
1.2. Producto vectorial, rectas y planos
Definimos el producto cruz para dos vectores del espacio A = (a, b, c), B =
(d, e, f) el producto cruz se define por
Ejemplo 8 Si v = (2, 3,−1), w = (1,−2, 1). Hallar v × w.
Resolución
9
El producto cruz satisface las siguientes propiedades:
1. u× v = −v × u
2. (ku)× v = k(u× v)
3. u× (αv + w) = k(u× v) + u× w
Para vectores u, v, w en el espacio R3.
Definición 4 Dos vectores no nulos u, v ∈ R3 se dicen paralelos si u×v = 0.
Teorema 4 Sea θ el ángulo entre los vectores u, v de R3 entonces se cumple
|u× v| = |u||v| sin θ.
Prueba Valor que representa el área del paralelogramo determinado por u, v
en el origen.
10
El volumen del paraleleĺıpedo es igual a |u · (v × w)|.
Ejemplo 9 Calcular el volumen del paraleleĺıpedo determinado por los vec-
tores (1,−1, 0), (3, 2, 0), (0,−7, 3).
Resolución ——————————————– FECHA MIERCOLES 5
DE MAYO 2021
LA RECTA Sean dos puntos p = (x1, y1, z1), q = (x2, y2, z2) dos puntos
diferentes del espacio la recta L que pasa por esos dos puntos se define por
(x, y, z) = p+ t · v, para todo t ∈ R.
donde v = q − p es el vector director.
Cuando t recorre el intervalo [0, 1] obtenemos el segmento de extremos
p, q.
11
Ejemplo 10 Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos p(1, 3, 4), q =
(2, 1,−1).
Resolución
Teorema 5 Demostrar que el conjunto H = {(x, y, z) : x0at, y = bt, z = ct}
es un subespacio de R3.
Resolución
Definición 5 (Rectas paralelas y ortogonales) L1, L2 son parale-
los si v1, v2 son paralelos.
L1, L2 son ortogonales si v1, v2 son ortogonales.
El ángulo de L1, L2 es el ángulo de los vectores directores.
12
Gráficas
Ejemplo 11 Hallar el punto de intersección de las rectas
L1 : x− 1 =
y + 3
2
=
z + 2
−1
L2 :
x− 17
3
= y − 4 = z + 8
−1
Resolución
Teorema 6 La distancia entre la recta L y un punto Q (que no está en la
recta L) está determinado por
d =
|PQ× v|
|v|
donde v es un vector director de L y P es un punto cualquiera de L.
13
Resolución Sea d la distancia entre Q y la recta dada, entonces d = |PQ| sin θ
donde θ es el ángulo entre v y PQ.
Luego, |v||PQ× v| sin θ = |PQ× v|. Por lo tanto,
d = |PQ| sin θ = |PQ× v|
|v|
.
□
Ejemplo 12 Calcular la distancia entre el punto Q = (10, 3,−2) y la recta
x = 4− 2t, y = 3 + t, z = +5t.
Resolución
Ejemplo 13 Sean los puntos del espacio p(0, 0, 0), q(1, 2, 3), r(−2, 3, 3). Ha-
llar un vector normal al plano determinado por esos tres puntos.
Resolución
14
Definición 6 (pág. 27) Sean dos planos en el espacio π1, π2. Decimos que:
π1 es paralelo a π2 si sus normales son paralelas.
π1 es ortogonal a π2 si sus normales son ortogonales.
El ángulo de los planos π1, π2 es igual al ángulo entre sus normales.
Ejemplo 14 Encontrar todos los puntos de intersección de los planos x −
y + z = 2 y el plano 2x− 3y + 4z = 7.
Resolución
Teorema 7 La distancia entre un plano π y un punto q (̸
∫
π ) está deter-
minado por
d =
|pq · n|
|n|
donde n es la normal del plano y p es un punto del plano.
15
Prueba La distancia de q y el plano π es igual a la norma de la proyección
de pq en la normal n. Denotemos por q = (x0, y0, z0) y sea ax+ by + cz = d
la ecuación del plano.
Ejemplo 15 Halle la ecuación del plano con las condiciones dadas:
1. Pasa por el punto P (2, 5, 6) y es paralela al plano xz.
2. Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x− y + z = 9.
Resolución
Ejemplo 16 Halle la distancia entre los dos planos:
π1 : 2x− y + 3z = 4, π2 : 4x− 2y + 6z = 5.
Resolución
16
1.3. coordenadas ciĺındricas y esféricas
1.3.1. coordenadas ciĺındrica
1.3.2. Coordenadas esféricas
17
Unidad de Aprendizaje 2
Funciones de varias variables
ar
2.1. Funciones de variable real y valor vecto-
rial
Definición
Ejemplo f(t) = (2+ 3t,−5 + t2 + 2t3). Ver dominio y rango.
18
Ejemplo f(t) = (cos t, 3 sin t), t ∈ [0, 2π].
Ejemplo Encuentre una función real vectorial que represente la curva inter-
sección entre el cono z =
√
x2 + y2 y el plano z = 1 + y.
Ejemplo La curva plana trazada por un punto P sobre la circunferencia
de un ćırculo de radio r, cuando el ćırculo rueda a lo largo de una recta se
denomina cicloide (el matemático francés Blaise Pascal 1 la estudio en 1649).
Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son
x = r(θ − sin θ), y = r(1− cos θ), θ ∈ R.
19
Ejemplo Dos part́ıculas siguen las trayectorias definidas por las siguientes
funciones:
f(t) = (t2, t2, t2), g(t) = (4t− 3, 7t− 12, 5t− 6).
¿Se chocarán
Resolución
Definición de ĺımite f : I ⊂ R → Rn
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Lista de Ejercicios (1 examen): Cálculo Vectorial
Producto interior y ortogonalidad.
1. Demostrar que
(f, g) =
∫ b
a
f(x)g(x)dx
define un producto interior en el espacio vectorial C[a, b]).
2. Para el producto interno definido antes si f(x) = x y g(x) = sin x en
el espacio vectorial C[0, 2π]. Halle
a) (f, g)
b) ||f ||
c) ||g||.
3. Hallar el ángulo formado por la diagonal de un cubo y una de sus
aristas.
4. Para las funciones f(x) = x, g(x) = sinx en C[0, 2π]. Halle
a) Proygf
b) Proyff
c) Proyfg.
Producto vectorial, rectas y planos
1. Si u+ v + w = 0 demostrar que
u× v = v × w = w × u
2. Hallar la distancia del origen a la recta dada a continuación.
a) x = 3t, y = 2 + 6t, z = 1 + t
b) Pasa por los puntos p = (1,−1, 3), q = (2, 4,−5).
3. Halle la ecuación del plano con las siguiente condiciones dadas.
a) Pasa por el punto p = 82, 5, 6) y es paralela al plano XZ.
b) Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x− y + z = 9.
c) Pasa por el punto p = (1, 1, 0) q = (3, 2, 4) y el vector v =
(7,−1,−3) es paralelo al plano.
21
Superficies
1. Halle la ecuación de una esfera si los extremos de su diámetro son los
puntos (1, 2,−3), (−2, 4, 5).
2. Muestre que la intersección de la superficie x4 − 4y2 − 9z2 = 36 y el
plano x+ z = 9 es una elipse
3. Halle la ecuación del paraboloide que tiene vértices en el punto (0, 0, 2)
y abre hacia abajo, si su intersección son el plano XY determina un
ćırculo de radio 4.
4. Determine los valores de k para los cuales la intersección del plano
x+ ky = 1 y el hiperboloide eĺıptico de dos hojas y2 − x2 − z2 = 1 es:
a) Una elipse.
b) Una hipérbola.
5. Demuestre que la superficie z = e−(x
2+y2) es una superficie de revolución
y trace su gráfica.
Funciones de varias variables.
1. Describa el dominio de las siguientes funciones y haba un boceto gráfico
del mismo.
a) f(xy) = arctan 1+x
2
1+y2
.
b) f(x, y) =
√
sin(π(x2 + y2)).
c) f(x, y) = ln(y ln(1 + x+ y)).
2. Diga si las siguientes funciones son iguales.
a) f(x, y) = ln(xy), g(x, y) = ln x+ ln y
b) f(x, y) = |sgn(x+ y)|, g(x, y) = sgn|x+ y|.
3. ¿Existen funciones inyectivas f : U ⊂ R2 → R definidas en un abierto
U de R2?
Conjuntos de nivel.
1. Describa las curvas de nivel de las siguientes funciones. Haga una gráfica
mostrando algunas de esas curvas.
a) f(x, y) = sgn(x)y
22
b) f(x, y) =
√
xy
c) f(x, y) = x− |y|.
2. Dé una función f : R3 → R:
a) cuyo nivel 1 sea la superficie z = x2 + y2.
b) cuyo nivel -7 sea la superficie z = ln2(sin4(x+ y8) + 7).
3. Determine la superficie de revolución que se obtiene al girar la catenaria
z = cosh y alrededor del eje z.
Ĺımites y continuidad
1. Sea f : R2 → R la función f(x) = −3x. Se sabe que ĺım(x,y)→((3,7)) f(x, y) =
−9. Dado ϵ = 0.4, halle δ > 0 tal que
|(x, y)− (3, 7)| < δ ⇒ |f(x, y) + 9| < ϵ
2. Sea la función f(x, y) = 2x
2+y2−z2
x2−y2 .¿Donde está definida la función?
Demuestre que el ĺımite ĺım(x,y,z)→(0,0,0) f(x, y, z) no existe.
3. Estudie la continuidad de la función f(x, y) = sgn(xy).
Derivadas parciales
1. Obtener todas las derivadas parciales de las siguientes funciones.
a) f(x, y) = x+y
x−y
b) f(x, y) = x ln y − y lnx
c) f(x, y) = ln
1−
√
x2+y2
1+
√
x2+y2
.
2. Calcular la derivada direccional de la función que se indica.
a) f(x, y) = xy2 + x2y, v = 1, 0)
b) f(x, y, z) = xyz, v = (1/3,−2/3,−2/3)
c) f(x, y) = z sin y3 cos(x5 + tan y3), v = (0, 0, 1).
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Primer examen: Cálculo Vectorial 5/7/21
1. Diga si es verdadero o falso. Justifique cada caso.
a) Las ecuaciones paramétricas x = 2 sin t, y = 2 cos t, donde 0 ≤ t ≤
π, describen un ćırculo de radio 2.
b) El producto interior de dos vectores unitarios es uno.
c) Si a = (1, 7,−9), b = (1,−9, 7) entonces a = b.
d) La función f : R3 − {(0, 0, 0)} → R dada por
f(x) = 2
x
|x|
es inyectiva.
2. Halle la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular
al plano 4x− y + z = 0.
3. Halle la ecuación del paraboloide que tiene vértices en el punto (0, 0, 2)
y abre hacia abajo, si su intersección con el plano XY determina un
ćırculo de radio 4.
4. Describa el dominio de la siguiente función
f(x, y) =
√
sin(π(x2 + y2)).
5. Considere la función f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{
x2+xy−2y2
x2+y2
(x, y) ̸= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
Probar que ĺım(x,y)→(0,0) f(x, y) no existe.
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Trabajo escrito: Cálculo Vectorial 5/7/21
Presentar hasta el 9 de julio hasta las 4 pm
1. Determine la función compuesta F (u, v) = (f ◦g)(u, v) para las siguien-
tes aplicaciones:
a) g = (g1, g2), f(x, y) = 3x
2 + 8y3, g2(x, y) = u− v, g2(u, v) = u
b) f(x, y) = x+y
x2+y2+1
, g1(u, v) = sinu, g2(u, v) = cosu.
2. Dé ejemplos de funciones f, g : R2 → R2 tales que:
a) f ◦ g = g ◦ f .
b) f ◦ g ̸= g ◦ f .
3. Aplique la regla de cadena para calcular las derivadas parciales de F :
a) F (x, y) = f(x, xy, xyz) + f(xyz, xy, x)
b) F (x, y) = f(sinx, cos y, tan z)
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Trabajo escrito: Cálculo Vectorial
Presentar el lunes 26 de julio
a) Determine las gradientes de las siguientes funciones en los puntos
indicados.
1) f(x, y) = arctan x+y
x−y en el punto (1, 0).
2) f(x, y) = xy en el punto p = (2, 2).
b) Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones f(x, y) =
3x+y2 en los puntos (2, 1) y (1, 2).
c) Sea f : R3 → R la función f(x, y, z) = z − x2 − y2. Determine
los puntos (x, y, z) en que el gradiente de esta función forma un
ángulo de π/3 con el vector u = (2, 1, 1).
d) Calcule las integrales de ĺınea: (689)
1)
∫
λ
xydx− ydy donde λ : [0, 2] → R2, λ(t) = (t2, t).
2)
∫
λ
(x2 + y2)dx, donde λ : [0, 1] → R2, donde λ(t) = (t, sin2 t).
3)
∫
λ
(x + 2y + z)dx + 2ydy + (3x − z)dz, donde λ : [0, 2] → R2
es dada por λ(t) = (t+ 1, 2t+ 1, t).
26