Tarea topología 1

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Facultad de Ciencias UNAM
Universidad Nacional
Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Topoloǵıa I - Tarea extra
Alumno:
Tinoco Orozco Daniel Efráın
Profesor:
Casarrubias Segura Fidel
Ayudante:
Cruz Barrena Mara Jazmı́n
11 de Enero de 2022
Topoloǵıa I 1
Facultad de Ciencias UNAM
Tarea extra.
1. Sea A un anillo conmutativo con elemento 1 la identidad, y sea X el conjunto de todos los
ideales primos de A. Para cada subconjunto E del anillo A, definimos V (E) = {p ∈ X :
E ⊆ p}; es decir, V (E) es el conjunto de todos los ideales primos de A que contienen a E.
Demuestre que la familia de conjuntos F = {V (E) : E ⊆ A} tiene las siguientes propiedades:
a) Si E ⊆ A es arbitrario y aE es el ideal de A generado por el conjunto E, entonces
V (E) = V (aE).
Demostración.
Procedamos esta prueba por doble contención.
⊆
Sea p ∈ V (E) un elemento cualquiera. Por definición p es un ideal primo, luego p es
un ideal y E ⊆ p. Como aE es el ideal más pequeño bajo contención que contiene a E,
entonces aE ⊆ p aśı que p ∈ V (aE), es decir V (E) ⊆ V (aE).
⊇
Sea p ∈ V (aE) un elemento cualquiera. De igual manera, por definición p es un ideal
primo que contiene a aE , pero E ⊆ aE , entonces E ⊆ p, aśı que p ∈ V (E), es decir
V (E) ⊇ V (aE). Por lo tanto V (E) = V (aE).
b) V ({0}) = X y V ({1}) = ∅;
Veamos que V ({0}) = X. Por construcción de V ({0}) ⊆ X.
Demostración.
Sea p ∈ X un elemento cualquiera. Sabemos que p es un ideal, entonces es un subgrupo
aditivo, es decir 0 ∈ p, lo que equivale a {0} ⊆ p aśı que p ∈ V ({0}), es decir V ({0}) ⊇ X.
Por lo tanto V ({0}) = X.
Ahora verifiquemos que V ({1}) = ∅.
En busca de una contradicción, supongamos que V ({1}) ̸= ∅. Es decir, existe p ∈
V ({1}). De la definición {1} ⊆ p, entonces 1 ∈ p.
Sea a ∈ A, por definición 1 ∗ a ∈ p, pero 1 ∗ a = a entonces a ∈ p, lo que implica que
p = A, lo cual es una contradicción ya que p ̸= A por ser ideal primo.
Por lo tanto V ({1}) = ∅.
c) si {Ej : j ∈ J} es una colección arbitraria de subconjuntos de A, entonces V (
⋃
j∈J E) =⋂
j∈J V (Ej);
Demostración.
Hagamos esta prueba por doble contención.
⊆
Sea p ∈ V (
⋃
j∈J E) un elemento cualquiera. Por definición p es un ideal primo tal que⋃
j∈J Ej ⊆ p.
Sea i ∈ J un ı́ndice cualquiera, sabemos que Ei ⊆
⋃
j∈J Ej , entonces Ei ⊆ p, es de-
cir p ∈ V (Ei) para toda i ∈ J , por lo tanto p ∈
⋂
j∈J V (Ej), aśı que V (
⋃
j∈J Ej) ⊆⋂
j∈J V (Ej).
⊇
Sea p ∈
⋂
j∈J V (Ej). Notemos que Ei ⊆ p para toda i ∈ J , ya que p ∈ V (Ei)
para toda i ∈ J . Entonces
⋃
j∈J Ej ⊆ p, lo que implica p ∈ V (
⋃
j∈J Ej), es decir
V (
⋃
j∈J E) ⊇
⋂
j∈J V (Ej). Por lo tanto V (
⋃
j∈J E) =
⋂
j∈J V (Ej).
d) V (E) ∪ V (F ) = V (aE ∩ aF ).
Demostración.
Para la primera contención, lo haremos directo.
⊆
Sea p ∈ V (E) ∪ V (F ) un elemento cualquiera, por definición p ∈ V (E) o p ∈ V (F ).
Si p ∈ V (E), por el ejercicio a), sabemos que p ∈ V (aE), aśı que aE ⊆ p y p es un ideal
primo, pero aE ∩aF ⊆ aE , por transitividad aE ∩aF ⊆ p lo que implica p ∈ V (aE ∩aF ).
Si p ∈ V (F ) el caso es análogo.
Topoloǵıa I 2
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Por lo tanto V (E) ∪ V (F ) ⊆ V (aE ∩ aF ).
Afirmación aEaF ⊆ aE ∩ aF .
Sea w ∈ aEaF un elemento cualquiera. Existen x ∈ aE y y ∈ aF tales que w = xy.
Como y ∈ A, entonces xy ∈ aE por ser ideal, aśı que w ∈ aE , de igual manera w ∈ aF ,
por lo tanto aEaF ⊆ aE y aEaF ⊆ aF , luego aEaF ⊆ aE ∩ aF que era lo que se queŕıa
demostrar.
Probemos ahora la siguiente afirmación.
Afirmación V (aE ∩ aF ) ⊆ V (aEaF ).
Sea p ∈ V (aE ∩ aF ) un elemento cualquiera. Sabemos que p es un ideal primo y que
aE ∩ aF ⊆ p, por la afirmación anterior aEaF ⊆ aE ∩ aF , luego aEaF ⊆ p, entonces
p ∈ V (aEaF ), es decir V (aE ∩ aF ) ⊆ V (aEaF ).
Por último probemos lo siguiente.
Afirmación V (aEaF ) ⊆ V (aE) ∪ V (aF ).
Supongamos que V (aEaF ) ̸⊆ V (aE) ∪ V (aF ), existe p ∈ V (aEaF ) tal que p ̸∈ V (aE) ∪
V (aF ) entonces p es un ideal primo con las siguientes propiedades aE ̸⊆ p y aF ̸⊆ p,
existen e ∈ aE y f ∈ aE tales que e ̸∈ p y f ̸∈ p, pero ef ∈ aEaF ⊆ p, luego ef ∈ p,
entonces e ∈ p o f ∈ p ya que p es ideal primo. Lo cual es una contradicción, ya que
{e, f} ∩ p = ∅.
Por lo tanto V (aEaF ) ⊆ V (aE) ∪ V (aF ).
Por a) V (aE) ∪ V (aF ) = V (E) ∪ V (F ), por lo tanto V (aEaF ) ⊆ V (E) ∪ V (F ), por lo
anterior V (E) ∪ V (F ) = V (aE) ∩ V (aF ) que era lo que se queŕıa probar.
2. La colección T = {X \ V (E) : E ⊆ A} es una topoloǵıa para X, la cual es llamada topoloǵıa
de Zariski. El espacio topológico de (X,T) se denomina espectro primo de A, y se denota
usualmente con Spec(A). Demuestre que
a) Para todo p ∈ X, cl{p} = V (p).
Demostración.
Notemos que {p} ⊆ V (p), ya que p ∈ X y p ⊆ p, además X \ V (p) ∈ T, entonces V (p)
es cerrado en T. Por lo tanto cl{p} ⊆ V (p).
Sea u ∈ V (p) un elemento cualquiera y sea F un cerrado cualquiera tal que {p} ⊆ F .
Sabemos que F = V (E) para algún E ⊆ A, luego p ∈ V (E). Notemos que p ⊆ u y que
E ⊆ p, por transitividad E ⊆ u y u ∈ X, entonces u ∈ V (E), es decir V (p) ⊆ F para
todo F cerrado que contenga a {p}, entonces V (p) ⊆ cl{p}.
Por lo tanto cl{p} = V (p).
b) Para todo p ∈ X, el conjunto {p} es cerrado si y sólo si p es un ideal maximal de A.
Demostración.
=⇒)
Supongamos que {p} es cerrado y en busca de una contradicción, supongamos que p no
es maximal. Existe I un ideal tal que p ⊊ I ⊊ A. Luego existe un ideal U maximal tal
que I ⊆ U , entonces U es ideal primo y p ⊆ U por transitividad.
Como {p} es cerrado, entonces cl{p} = {p}, pero U ∈ V (p), usando a) se tiene que
U ∈ {p}, entonces U = p lo que implica que I = p, lo cual es una contradicción. Por lo
tanto p es maximal.
⇐=)
Supongamos que p es ideal maximal. Sabemos que p ∈ X , entonces p es ideal primo,
aśı que {p} ⊆ V (p).
Sea u ∈ V (p) un elemento cualquiera, entonces p ⊆ u y u es un ideal. Como p es maximal
y u ̸= A por ser ideal primo, entonces u = p, lo que implica V (p) = {p}. Por el inciso a)
{p} = cl{p}, es decir {p} es cerrado.
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