Resumen_PC2_y_Examen_Parcial_de_Calculo_Integral_UNI_FIS_2018

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Cálculo IntegralCálculo Integral
Prof: Celestina Peña QuiñonesProf: Celestina Peña Quiñones
UNI - FIISUNI - FIIS
Resumen de prácticas (para la 2da práctica y el parcial)
1. Expresar como una integral definidas las siguientes sumas
a) 
( )
( )∑=∞→ +
−n
in ni
nin
lím
1
3
3
, b) ∑
=∞→ ++
+n
in iinn
in
lím
1
22 442
42
, c) 
( )
( )∑=∞→ ++
+n
in inn
in
lím
1
33
2
4
4
d) ( )∑=∞→ ++++
n
in iinniinn
n
lím
1
2222
2
222
,
e) 
( )
2
11221
n
nnnnnn
lím
n
+−+−+⋅⋅⋅++++
∞→
f) 
( )



 −+⋅⋅⋅++
∞→ 3
2
3
2
3
121
n
n
nn
lím
n
, g) 
( ) [ ]3,1,
91
3
1
11
0
∈
+
−∑
= −
−−
→
x
x
xxx
lím
n
i i
iii
P
h) ( ) [ ]6,2,
3 1
3
1
1
0
−∈−



 +
−
=
−
→
∑ xxxxxlím ii
n
i
ii
P
g) ( ) 4422
2
1 )2(n162(
)44()2(2
lim
ninin
inini
n
i
n −−−+
−−∑
=
∞→
2. Hallar un valor aproximado de la integral definida de las siguientes funciones en los 
intervalos indicados
a) ( ) [ ]1,5,1 −−∈= x
x
xf , i) con una partición regular de longitud 1. 
 ii) con la partición { }1,2,5.2,3,5.4,5 −−−−−−=P
b) ( )
[ ]
( ]



∈+
−∈+
−−∈−−−
=
4,0,4
0,3,4
3,6,862
xsix
xsix
xsixx
xf
i) Con una partición regular de longitud 1.5
ii) Con la partición { }4,3,5.2,1,0,1,2,5.2,3,5.3,4,5.5,6 −−−−−−−−=P
3. Expresando como límite de una suma hallar el valor de las siguientes integrales.
a) ( ) dxxx∫− +−
3
3
2 12 , b) dxxx∫− ++
4
2
2 52 , c) ( ) dxxx∫− −
4
4
3 3
d) ( ) dxxf∫−
4
4
 donde ( ) [ ]] ]



∈−
−∈−+
=
4,1,5
1,4,23
3
2
xsix
xsixx
xf
4. Hallar números reales A, B tales que ( )∫ ≤≤
b
a
BdxxfA para las siguientes funciones:
a) ( ) [ ]6,4,312 −∈−−= xxxf , b) ( )
[ ]
] ]



∈−
−∈+
=
8,4,4
4,3,4
3
4
2 xx
xx
xf
 c) ( ) ( )∫ ∫ ≤≤≤
b
a
b
a
BdxxgdxxfA , donde ( ) ( )
2
12
1
tan1
x
xxx
xf
+
−+=
−
, ( ) 2
3
1 x
x
xg
+
=
5. Evaluar las siguientes integrales:
 a) dx
xx
x
258
1
2
1
4 ++
+∫
−
−
 b) dx
x
x
1
2
1
2
2/3
1 +
−
∫−
 
6. Dado 34)(
2 +−= xxxf , [ ]5,2−∈x ¿tiene f valor medio?.
 En caso afirmativo halle este valor y el punto ó puntos donde ocurre. 
7. Hallar 








++
−
++
+
− ∫∫
−+
−
−
−→ 1)1(1)1(
)1(1
lim
2
1
1
2
21
10 t
dt
dt
t
t
x
h
hxx
h
 
 
8. Mediante límite de una suma, hallar el área de la región acotada por las curvas 
 12
3
1 2 +−= xy , x
x
y 2
3
2
−= 
 
II PRACTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICAS II (MA-123)
CICLO 2001-I
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 a) 
4
2
30
2
4
2
x
dx
+
∫
 (2.0 pts) b) 
x
dx
2cos2
346/
0 −∫
π
 (2.5 pts)
 c) dxxf )(12
2
1∫ , si 
63
)12( xxf =+ (2.5 pts)
2.- Exprese como una integral definida y luego evalúe el siguiente límite:
 ∑
=∞→
+−−n
in n
ninnni
1
3
22 ))2(
lim (3.0 pts)
3.- Utilizando la definición como el límite de una sumatoria, calcule el área de la región 
limitada por la gráfica de 32)(
2
−−= xxxf , la recta x = 5 y el eje X (3.5 pts)
4.- Sea g una función estrictamente creciente tal que g(2) = 1 , 2)2( =′g y 
 dttxf
xg
)1()(
2)(
1
+= ∫ , entonces, calcule )0()( 1 ′−f (3.0 pts)
5.- Evaluar: 
 










−
−
−
−++− ∫∫∫
++++
→
1
1 22
2
1
1
1
1
2
0
22
21
2
lim
hxxx
h
tt
dt
dt
tt
tt
tdt
x
 (3.5 pts)
 CICLO 2001-II
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 a) 
1
1
0 +∫ x
dx
 (3.0 pts) b) 
)4()2( 2
2
2
3
4 ++∫ − xxx
dx
 (3.0 pts)
 c) dx
xxxxx
xxxx
4322
222
1 55
51
−+−
−++∫ (3.0 pts)
2.- Calcular el siguiente límite:
 

















++ ∫∫
−
+
−−
+−→
du
u
u
sen
dtt
h
h
h
h
hh
6
)3cos(
1
lim
63
63
9
3
3
2
9
30
π
π
π
π
 (3.5 pts)
3.- Utilizando la definición como límite de una sumatoria, calcular el área de la región 
limitada por las curvas :
 ζ1 : 1
2
+=
x
y , ζ2 : )4(42 += xy , ζ3: ( ) xy 242 2 −=−
 ζ4 : 
( )
16
4 2+
=
x
y , 0≤x (4.0 pts)
4.- Calcular : dt
dt
dx
dt
dy
L
b
a
22




+



= ∫ 
 si du
u
tu
tx
t
t
2
)/cos(
2
∫= duuttu tuseny
t
t 2
)(
22
2
1 −+
−
= ∫ +
 donde a es el valor de t para el cual x = y = 0 y b es el valor de t en el cual y tiene 
un valor extremo (3.5 pts)
 CICLO 2001-I
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123
1.- Evalúe las siguientes integrales:
 a) ∫ −
2
1
e
xLnxx
dx
 (2.5 pts) b) ∫
8/
0
22
π
xdxtgxsen (2.0 pts)
 c) ∫ +
π
0 seccos xx
xdx
 ∫ +−
2/
0 22cos2
cosπ π
dx
xsenx
x
 
 (4.0 pts)
2.- Dado el triángulo rectángulo ACB, recto en C, tal que: BC = a y m ∠ ABC = θ . Sea P un 
punto sobre el lado CA . Determine la distancia media de B a P. Sugerencia: Exprese 
)ˆ( CBPfBP = . 
3.- La rapidez R con la que un tumor crece está relacionada con su tamaño x por la ecuación 
R = r x Ln (k/x), donde r y k son constantes positivas. Determine cuando crece más 
rápidamente el tumor y muestre la gráfica de R en términos de x, indicando los pasos 
necesarios para la obtención de dicha gráfica.
 
5.- Si f(0) = 0, hallar la regla de correspondencia de f si cumple con la siguiente relación:
 
t x e
x f t x
dt
tx
xt
dt
t
f t
f f t
dt
f f t
t x
x x f x+
′
= +
+
−
′







 ′
∫ ∫ ∫
/
/ ( )
( / )
sen( ) cosh( * ( )
( * ( )) ( * ( )20 20
1
21
2 1
1
 
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123)
 CICLO 2001-II
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 a) dx
x
x
11
11
4
1 −−
+−∫ (3.0 pts) b) dxesenxtgx x  +∫−
2cos3
4/
4/
π
π
 (2.0 pts) 
 c) θ
θ
θ
d
tgLnxf
sec
)1()(
0
+∫ , si dxxsenxxxf 20 1
cos1
)(
+
= ∫
π
π
 (3.0 pts)
2.- Calcular dxdttft
x
Ln
xe








′



 −∫∫ )(1 322 
 si se cumple que: dutug
x
dtt
xf
x zxdzex
tx
txx
x
)()(
/1
0
cos2
1
)/(1
/
∫∫
∫
+=
+
 (4.0 pts)
3.- Si 1)()(lim =


 +
−−
−++
−−
∞→
caLn
a
acb
LnkckaLn
a
acb
k
 y a + c = 3 e , determinar : a, b y c (3.5 pts)
4.- Bosquejar la gráfica de la función x
xLnx
exf
1
)(
+
= , indicando :
 Dominio. Rango. Valores extremos. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 
 Concavidad y Punto de inflexión. Asíntotas. (4.5 pts) 
 
II PRACTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICAS II (MA-123)
 CICLO 2002-I
1.- Expresar como una integral definida ∑
=∞→ −
+++n
i
n in
ninnin
1
2/322
2242
)2(
2
lim (3.0 pts)
2.- Mediante el límite de una sumatoria calcular el área de la región encerrada por las curvas: 
8
3x
y −= , xy 23 +−= , 42
4
2
−−= x
x
y y el eje Y. (4.0 pts)
3.- Evaluar las siguientes integrales : 
 a) 
xxsen
dx
22
3/
6/ cos∫
π
π
 b) 3
4
1 )2( x
dx
+∫ c) 2
4/7
2/3 )213(21
2
xxxx
dx
−+−−−∫ 
 (2.5 pts) (2.5 pts) (3.5 pts) 
4.- Calcular dxxf )(
2/
6/∫
π
π
 si se cumple que.
 ( )∫
−+−
−
=+
)(cos1
)(
xsenx
x
dttxsenf +
+
−
senx
senx
1
1dt
x
t
fx
x




∫0 ; 


∈
2
,0
π
x (4.5 pts)
 
EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123 U-V)
CICLO 2002-I
1.- Sea ( ) dteexf x tx ∫−= 0
22
 Cuántos de los siguientes enunciados son ciertos. Justifique:
a) f es continua en [ ]1,0 b) f es derivable en [ ]1,0 c) f ´ (0) = 1 
d) si x > 0 , ∃ y ∈ [ ]x,0 tal que ( ) ( ) 12 +−= yfy
x
xf
 (4.0 ptos)
2.- Sea f la función definida por: ( ) ( )xexf −−= 61 , grafique f indicando:
Dominio. Intervalos de crecimiento y decrecimiento valores extremos. Concavidad y 
punto de inflexión. Asíntotas (4.0 ptos)
3.- Si ( )( ) ( )
( )
∫ ∫∫ =−+
1
0 1 *0
2
22
9
xfxt
tft
dt
dvvfdte
Exprese una posible grafica de la función g(x) = f (x) – 3 ¿Explique? (3.0 ptos)
4.- a) ∫
+−
2/
4/ 24 1
π
π xsenxsentgx
dx
 (3.0 ptos) b) 
( )
( )∫ +
+
2/332
2
coshcosh
1cosh
xx
dxxsenhx
 (3.0 ptos)
5.- Demostrar que: 0
220 2
2
=



 −
+
∫ dxx
xsen
xsenπ π
(3.0 ptos)
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
 CICLO 2002-II
1.- Evaluar las siguientes integrales :
a) dxxxsen
212/1
0
2−∫ b) dx
x
x
3
52
0
1+
∫ c) 
xxx
xdx
coscotcsc0 +∫
π
 
(2.5 pts) (2.5 pts) (3.0 pts)
2.- Hallar el valor del siguiente límite expresándola como una integral definida 
 
221 56
52
lim
iinnn
nin
in +−
−∑
=∞→
 , considerar una partición regular del intervalo [ ]1,2 −− 
3.- Dada la la función 
 
[
[
]








∈
∈−+−
−−∈++−
=
1,0,)(
2
1
1,0,1
2,6,4
2
)6(
2
1
9
)(
2
xxarcsen
xx
x
x
x
xf
 Hallar el área bajo la gráfica de f limitada por las rectas x = - 6, x = - 4, x = -2, 
 x = 0 y x = 1. (4.0 pts)
4.- Hallar el valor de dxdu
x
uuarcsenx








−
−
∫∫ 2
3
0
1
0
1
 (4.0 pts) 
5.- La temperatura de un caldo de pollo que se saca del refrigerador (5°) y se pone en el 
fuego, durante los primeros 10 minutos, puede modelarse por la función 
 f(t) = 5 + 0.5t(t +1), en donde f(t) es la temperatura (en grados centígrados) del caldo a 
los t minutos de haberse puesto a la lumbre. Calcule la temperatura promedio que tuvo el 
caldo de pollo durante los 10 minutos en se calentó.¡A qué temperatura llego a los?. ¿En 
qué instante de los primeros 10 minutos de calentamiento, el caldo tuvo la temperatura 
promedio?. 
 
EXAMEN PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
CICLO 2002-II
1.- Graficar la función f si ctghxxf =)( , indicando :
 Dominio. Rango. Simetrías. Intervalo de Crecimiento y de Decrecimiento. Valores 
Extremos. Concavidad y punto de inflexión. Asíntotas. (4.0 pts)
2.- Si kdte
t =∫
22
1
 , ℜ∈k , evaluar la siguiente integral :
 dxdte
x
tLnxe
e 


 ∫∫
22
1
1
 (3.0 pts)
3.- Demostrar que senhxsenhyyxyx +=+ coshcosh)cosh( (3.0 pts) 
4.- Evaluar las siguientes integrales :
 a) dx
xx
x
2
210
25 )5(
255
−
−
∫ (3.0 pts) b) dxxsenx
xsensenx
cos
222/
0 −
−
∫
π
 (3.0 
pts)
 c) ∫
+
∫ dxx
Lnxe 1
0
1 dx
xe
x
1
2
2
12
+




 +−
 
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
CICLO 2003-II
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 a) ∫
π
+
2
0 43
22/
du
ucos
uusen
 (3.0 pts) b) ∫ +
−π π
0 12
)2(
dx
x
senxx
 (3.0 
pts)
2.- Exprese como una integral definida el siguiente límite y luego evalúelo, si 
 ( ) 2222
2
1 222 iinniinn
n
lim
n
i
n ++++
∑
=
∞→
 (4.0 
pts)
3.- Sea f una función lineal con pendiente positiva y sea h una función cuya regla de 
correspondencia es : ττ dxh
x
dttf
x∫
∫= 0
)(
)( tal que:
( ) ( )34123 −= xxhDx y sea g la función tal que:
 ( ) ( ) senxdttgxsenx =+∫
−
coscos1
)(cos
0
1
, determine el valor de: 
 
( )( )
( )( ) dxxgxx
xf
22
22/1
0 18
3
+
+∫ (5.0 ptos)
4.- Mediante el límite de sumatorias calcular el área de la región limitada por las gráficas de 
las curvas:
 C1 : 4(y + 8) = (x – 4)2 C2 : 2y = -5 + 2 x2 C3 : 4y = – 15x + 28
 para 0≥x é 0<y (5.0 pts)
EXAMEN PARCIALDE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
CICLO 2003-II
1.- Evaluar las siguientes integrales:
a) ∫ −++
2
0 2
Ln
xx ee
dx
 (2.5 pts) b) dxx∫ +2
3
0
2 94 (3.0 pts)
2.- Demostrar
a) f ′ es integrable y ( ) ℜ∈∀≤′ xMxf entonces ( ) ( ) axMafxf −+≤ (2.0 pts)
b) ∫ ≤+≤
2
1 4 24
7
117
1
x
dx
(2.5 pts)
3.- Calcular: 
( )
dt
t
tsen
x
xtgx
lim
x
x ∫−→ 2
222
2 2
 (3.0 pts)
4.- Calcular: ( ) dudt
t
t
ux
u
ux u∫ ∫ 




 +
−−
+
0 0
22 11
 (3.0 pts)
5.- Bosquejar la gráfica de la función ( ) 011 >



 += x,
x
xf
x
indicando: i)Valores extremos e intervalos de crecimiento y de decrecimiento
ii) Concavidad y puntos de inflexión. iii) Asíntotas
 
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
 CICLO 2003-I
1.- Calcular el siguiente límite
 
( )







 +−+−+++++
∞→ 2
11221
lim
n
nnnnnn
n

 (3.0 pts)
2.- Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la función
 kxkxf cos)( = , 





−∈
kk
x
2
,
2
ππ
, 0>k y las tangentes a dicha gráfica en los 
puntos 
k
x
2
π
±= (4.0 pts)
3.- La temperatura T en cierto día satisface 
 


 −+= )9(
12
870)( tsentT
π
 donde t era el número de horas después de medianoche. 
Encuentre la temperatura promedio de 6am a 6pm
4.- Resolver la siguiente ecuación
 5
105
2
2
3
2
3
2
)16(
16 1
)( 2
Ln
x
x
Lntg
tt
dtx
xg
−







−
+
+



−=
−
−∫ π , si 
dx
x
x
Ln
xg
2
1
1 12
9
)(
+
= ∫− (4.0 pts)
5.- Evaluar las siguientes integrales :
 
 a) dx
x
xsenx
2cos30 +∫
π
 (3.0 pts) b) 
123 2
3/1
1 −+
∫
xxx
dx
 (3.0 pts)
 
 
 CICLO 2003-I
EXAMEN PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 a) 
senx
xdx
+∫ 1
6
0
π
 (3.0 pts) b) dxaxx
a
2
0
)(1 −+∫ (2.5 pts) 
Determine la siguiente integral : ∫ xdx3sec (2.5 pts)
 
2.- Sea la función 

 += 3 2)1()( xxhtgxf , 0,2−∈x
 Calcule dx
senhx
xe xx
x 2/3
2/
)(
1
0
∫ , donde )( 0xf , )( 1xf son los valores extremos de )(xf
 (4.0 
pts)
 siendo 10 xx < .
3.- Sea +
+∫ )(2
2
3
/1
0 utsenh
dute
utt
=∫ dttxxf )(2
1
0
x
x
w
xwf
dwxfx
x
+







∫
*
)(2
 , determine f(x)
 Si )(xf 0> (4.0 
pts)
4.- Un balón de gas, determina su presión interior mediante la función 
2243)( tettP −= , 
donde t es el tiempo expresado en minutos. El área de la región limitada por la curva )(tP
, el eje T y la recta t = t0 da un estimado de la resistencia interna del material en el instante 
t0, con el que está fabricado dicho balón. Halle la resistencia de dicho material y el 
instante en que ocurre cuando el balón está a mayor presión. (4.0 pts)
CICLO 2004-I
II PRACTICA CALIFICADA DE CALCULO INTEGRALAL CB-131)
1.- Evaluar las siguientes integrales:
 
 a) dx
x
xsenx
2cos30 +∫
π
 (2.5 pts) b) dx
x
xx
5
4/141
2/1 4
)(15 −∫ 
 2.- Expresar como una integral definida el siguiente límite de sumatorias:
 ( )∑
=
−
∞→
−=
n
i
ii
n
senxsenxL
1
1lim 1. −ii xx con partición en el intervalo 



4
,0
π
 (2 pts)
3.- Si dtdv
v
vv
txf
tgx du tgt
u∫ ∫∫ 












+
++
+= +0 21
0 1 2
2
1
1
)( , ¿existe 
)2(*2
1
f−
? (4.0 pts)
4.- Grafique la función f , si: 
xx
e
xf
x
ln
)(
2
ln4
= , indicando:
Dominio, Rango . Valores extremos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
Concavidad y punto de inflexión. Asíntotas. (4.0 pts) 
5.- Calcular el promedio de las áreas de los rectángulos cuya base se encuentra en el eje Y y 
los otros dos vértices están sobre las curvas xey −= , xey −−= para [ ]10ln,0∈x 
 CICLO 2004-I
EXAMEN PARCIAL DE CALCULO INTEGRAL (CB-131)
1.- Calcular las siguientes integrales:
 a) dxxx 1062
2
3
++∫
−
−
 (3.0 pts) b) dx
xLnx
xLnxLnx∫ ++ )1()(1 (3.0 pts)
2.- Calcular el siguiente límite: [ ] )2(/1)1(1lim 2
0
senxxxLn
x
++
→
 (3.0 pts)
3.- Probar que si: yx <<0 ⇒ x
xy
y
xy
xeyxe
−−
<< (3.0 pts)
 
4.- Calcular : ( )∫
1
0
dxxF si ( ) ( ) dttxfxF
x
∫=
2
1
3 y f es una función tal que 
 f (0) = e y cumple la siguiente relación:
( ) ( ) dtthsendtedt
t
tf x
x
x
x
xtxtx ∫∫∫ −
+− += 3
2 2
1
22
2
4
´
 (4.0 pts)
5.- Sea ℜ→ℜ:f tal que f en ]3,∞− es un polinomio y f en ∞+,3 es otro polinomio,
 
 satisfaciendo =−+ )(2)(3 xfxf



>−
≤+−
3,14
3 ,45
xx
xx
 , 
 hallar el área de la región limitada por:
 ( ) ( )
2
5
16
625
1



 += xfofy , 41 ≤≤ x , y la recta 4=y (4.0 pts)
	II PRACTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICAS II (MA-123)
	EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123
	1.- Evalúe las siguientes integrales:
	EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICAS II (MA-123)
	II PRACTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICAS II (MA-123)