2023-05-16

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Álgebra y Geometría Analítica 16 de mayo de 2023 
1⁰ Parcial – Com. 1⁰ Cuatrimestre 
 
EJERCICIO 1 16 puntos A: 8 pts. B: 8 pts. 
 
A) Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 7
𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 11
−𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑏
 
 
Analizar para qué valores de a y b el sistema resulta incompatible, compatible determinado o indeterminado. 
 
B) Para los valores de a y b que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, obtener la solución general 
y luego una particular que verifica que 𝑦 + 𝑧 = 2. 
 
 
EJERCICIO 2 28 puntos A: 6 pts. B: 8 pts. C: 14 pts. 
 
A) Resolver: |
𝑎𝑏 𝑎𝑐 2𝑎2
𝑏2 𝑏𝑐 𝑎𝑏
−𝑏𝑐 𝑐2 𝑎𝑐
| para cualquier 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 utilizando propiedades del determinante. 
 
B) Definir Matriz Ortogonal. 
Demostrar: Si A es una matriz Ortogonal, entonces 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = ±1 
 
C) Dada la siguiente ecuación matricial: 𝐴 𝑋−1 = (𝐵𝑇 − 𝑋)−1 con 𝐴 = [
2 3
3 5
] , 𝐵 = [
3 0
6 −6
] 𝑦 𝑋 ∈ 𝑅2𝑥2 se pide: 
i. Despejar la matriz incógnita X. 
ii. Resolver. 
 
 
EJERCICIO 3 24 puntos A: 12 pts. B: 12 pts. 
 
 
A) Hallar un vector �̅� ∈ 𝑅2 tal que sus proyecciones sobre los vectores �̅� = [
3
4
] y �̅� = [
−4
3
] midan 2 y 4 
respectivamente. Graficar. 
 
B) Obtener los puntos P y Q tales que 𝑃𝜖𝐸𝑗𝑒 𝑧, 𝑄(𝑥; 𝑦; 3) y el vector �̅� = 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ siendo 𝛼𝑢 = 60° y 𝛽𝑢 = 45° dos de 
sus ángulos directores y cuyo módulo mide |�̅�| = 10. 
 
 
EJERCICIO 4 32 puntos A: 14 pts. B: 18 pts. (4-10-4) 
 
 
A) Obtener la ecuación de un plano que contenga a la recta 𝑅) {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = −𝑡
𝑧 = 3 + 𝑡
 (𝑡 ∈ ℝ) y diste ½ unidad del punto 
𝑄(1; 1; 3) 
 
B) Sean los planos: 𝜋1) 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 9 y 𝜋2) 𝑧 = 6 
i. Graficar ambos planos en un mismo sistema de coordenadas. 
ii. Hallar la ecuación de una recta R paralela al plano 𝜋1 y contenida en el 𝜋2 tal que el segmento 
determinado por sus dos puntos de penetración mida √20 unidades. 
iii. En el gráfico anterior, agregar la recta obtenida y sus puntos de penetración. 
 
Resolver un ejercicio por hoja. 
En cada hoja: Nombre y Apellido y Carrera. 
Tiempo Máximo: 2:30 hs.