Pauta_Examen_Calculo_2 - Caleb Carballido Torres

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Cálculo II - Examen (PAUTA)
Profesores: Héctor Acuña - Alejandra Besa - José Valenzuela
27 de Noviembre, 2020
Instrucciones:
Env́ıe sus respuestas al mail calculo2uandes@gmail.com. En la medida de
lo posible, enviar todo el desarrollo en un sólo archivo, el cual puede ser
.jpg o .pdf .
Tiene desde las 12.30 hasta las 15.00 para enviar sus respuestas.
La prueba tiene 42 puntos en total.
No se recibirán ningún tipo de preguntas durante la evaluación.
Tenga presente que si la respuesta no viene acompañada de un desarrollo
matemático y/o una justificación razonable, a pesar de que la respuesta
pueda estar correcta, se considerará con puntaje 0.
Cualquier leve indicio de copia, plagio o uso de apuntes de cualquier tipo
será penalizado con nota 1,0 y elevando el respectivo caso a las autoridades
de la facultad.
¡Mucha suerte!
1
1. Pregunta 1 (6 pts):
(a) (3 pts) Encuentre los puntos extremos (máximos y mı́nimos) de la
función f(x, y) = x2y − y + 3, sujeto a la restricción definida por
x2 + y = 7.
(b) (3 pts) Encuentre la expansión de Taylor de 3er grado para la función
f(x) = ln(3 + 4x)
alrededor del punto x0 = 0.
Respuesta:
(a) El lagrangiano del problema es:
L = x2y − y + 3 + λ(x2 + y − 7)
Las condiciones de primer orden son:
∂L
∂x
= 2xy + 2λx = 0 (1)
∂L
∂y
= x2 − 1 + λ = 0 (2)
∂L
∂λ
= x2 + y = 7 (3)
Resolviendo el sistema (1)-(3) se tiene que los puntos candidatos a
optimizar la función objetivo sujeto a la restricción indicada son:
(x1, y1) = (2, 3), (x2, y2) = (−2, 3) ∧ (x3, y3) = (0, 7)1
(b) La expresión del polinomio de Taylor de tercer grado (orden) viene
dada por:
T3(f, x) = f(x0) +f
′(x0)(x−x0) +
f ′′(x0)
2!
(x−x0) +
f ′′′(x0)
3!
(x−x0)
De este modo, haciéndo los cálculos para la primera, segunda y ter-
cera derivada de f(x), junto con el álgebra correspondiente, se tiene
que
T3(f, x) = ln(3) +
4x
3
− 8x
(3 + 4x)2
+
64x
3(3 + 4x)3
(4)
1Como no pasamos condiciones de segundo orden para problemas de optimización con
restricciones, se considera puntaje completo para quienes encontraran los 3 puntos candidatos
a optimizar la función. De todas maneras, pod́ıan evaluar los puntos en la función objetivo y
obtendŕıan que (x1, y1) = (2, 3) es un máximo y (x3, y3) = (0, 7) es un mı́nimo
2
2. Pregunta 2 (12 pts) :
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso que
sea verdadera, demuéstrela y, si es falsa, justifique claramente su respuesta
o dé un contra-ejemplo:
(a) (3 pts) Si f(x) = 1x2+1 entonces existe c ∈ (−1, 4), tal que
5
c2 + 1
=
∫ 4
−1
1
x2 + 1
dx
(b) (3 pts) Sea f : R2 → R la función definida por
f(x, y) =
{
x3−y2
x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)
0, si (x, y) = (0, 0),
entonces fx(0, 0) no existe.
(c) (3 pts) Si la ecuación x2y − zx3 + z2 = 0 define impĺıcitamente a x
como función de z y de y, entonces
dx
dz
=
x3 − 2z
2xy − 3x2z
(d) (3 pts) Si
f(x, y) =
ey
2
x1/3
,
entonces el diferencial de f en el punto (27, 1) es:
df =
e
3
· (3−4dx+ 2dy)
Respuesta:
(a) Aplicando el TVM para integrales, se tiene
5f(c) =
∫ 4
−1
1
x2 + 1
dx
5
c2 + 1
=
1
2
· [log(17)− log(2)] = B
2
c =
√
10
B
− 1
La afirmación es Verdadera.
(b) Tomemos
3
limh→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= limh→0
(0+h)3
(0+h)2 − 0
h
= limh→0
h
h
= 1
Por lo tanto, la afirmación es Falsa.
(c) Por el teorema de la función impĺıcita sabemos que:
dx
dz
= −
∂f
∂z
∂f
∂x
Luego,
∂f
∂z
= −x3 + 2z
∂f
∂x
= 2xy − 3x2z
Finalmente,
dx
dz
=
x3 − 2z
2xy − 3x2z
Conclúımos que la afirmación es Verdadera.
(d) Sea df = fx(27, 1)dx+ fy(27, 1)dy. Se tiene que
fx = e
y2 x
−4/3
3
=⇒ fx(27, 1) =
−e
3 · 34
fy = x
−1/3 · ey
2
· 2y =⇒ fy(27, 1) =
2e
3
Finalmente,
df =
−e
3 · 34
dx+
2e
3
dy
=
e
3
(2dy − 3−4dx)
Por lo tanto, la afirmación es Falsa.
4
3. Pregunta 3 (6 pts) :
(a) (3 pts) Indique si puede aplicar el Teorema del Valor Medio del Cálcu-
lo Integral para la integral ∫ 5
1
1 + x
x
dx.
De poder hacerlo, determine los c ∈ R que lo cumplen.
(b) (3 pts) Sea
g(x) =
∫ x
1
xet
2
dt.
Calcule g′′(x).
Respuesta:
(a) Por el TVM para integrales tenemos que:
∫ 5
1
1 + x
x
dx = 4f(c)∫ 5
1
1
x
dx+
∫ 5
1
dx =
4(1 + c)
c
log(x)|x=5x=1 + x|x=5x=1 =
4(1 + c)
c
Luego de algo de álgebra se tendrá que:
c =
4
log(5)
≈ 2,48 ∈ [1, 5]
(b) Tenemos que
g(x) =
∫ x
1
xet
2
dt = x
∫ x
1
et
2
dt
Si definimos h(x) =
∫ x
1
et
2
dt, se tiene
g(x) = xh(x)
g′(x) = h(x) + xh′(x)
g′′(x) = h′(x) + h′(x) + xh′′(x),
5
donde por el Teorema Fundamental del Cálculo, como f(t) = et
2
es
continua en todo el dominio, tendremos que h′(x) =
(∫ x
1
et
2
dt
)′
=
ex
2
, luego
g′′(x) = ex
2
+ ex
2
+ xex
2
2x
g′′(1) = 2e+ 2e
= 4e
4. Pregunta 4 (9 pts) :
Calcule las siguientes integrales:
(a) (3 pts) ∫
log(x)√
x
dx
(b) (3 pts) ∫
3x2 − x+ 2
(x2 + 1)(x− 1)
(c) (3 pts) ∫
xe−x
2
dx
Respuesta:
(a) Integrando por partes se tiene∫
log(x)√
x
dx = 2
√
x(log(x)− 2)
(b) Integrando por fracciones parciales se tiene∫
3x2 − x+ 2
(x2 + 1)(x− 1)
= 2log(x− 1) + 1
2
log(1 + x2)
(c) Aplicando la sustitución u = −x2 con du = −2xdx se tiene∫
xe−x
2
dx =
−e−x2
2
5. Pregunta 5 (9 pts) :
(a) (3 pts) Una función de costos conjuntos está definida en forma impĺıci-
ta por la ecuación
6
c+
√
c = 12 + qA
√
p+ q2B ,
donde c es el costo en dólares de producir qA unidades del producto
A y qB unidades del producto B. Determine los costos marginales
con respecto a qA cuando qA = 6 y qB = 4.
(b) (3 pts) Calcular el excedente del consumidor y del productor si la
demanda está dada por
p = 1100− q2
y la oferta por
p = 300 + q2.
(c) (3 pts) Sea P una función de producción descrita por:
P = f(l, k) = 0,54l2 − 0,02l3 + 1,89k2 − 0,09k3
donde l y k son las cantidades de trabajo y capital respectivamente
y P es la cantidad producida. Encontrar los valores de l y k que
maximizan P .
Respuesta:
(a) Podemos derivar ambos lados de la ecuación en función de qA, de lo
cual se tiene
∂c
∂qA
+
1
2
√
c
∂c
∂qA
=
√
p+ q2B
Despejando ∂c∂qA se tiene que
∂c
∂qA
=
√
p+ q2B
1 + 1
2
√
c
Para encontrar el valor de c en el caso en que qA = 6 y qB = 4, luego
de un poco de álgebra no tan tediosa se tiene que
c̄ =
24(1 +
√
p+ 16− 1±
√
(24(1 +
√
p+ 16− 1)2 − 576(1 +
√
p+ 16)2)
2
Finalmente, se tendrá que
∂c(4, 6)
∂qA
=
√
p+ 16
1 + 1
2
√
c̄
7
(b) Igualando las curvas de oferta y demanda se tiene
1100− q2 = 300 + q2
con lo cual se tiene que el equilibrio está en el punto (q∗, p∗) =
(20, 700).
Con esto, definimos el excedente del consumidor como:
EC =
∫ 20
0
(1100− q2)− (700)dq = 16000
3
Finalmente, definimos el excedente del productor como:
EP =
∫ 20
0
[700− (300 + q2)dq] = 16000
3
(c) Las condiciones de primer orden del problema de maximización sin
restricciones son:
∂f(l, k)
∂l
= 1,08l − 0,06l2 = 0
∂f(l, k)
∂k
= 3,78k − 0,27k2 = 0
Realizando el álgebra correspondiente, se tendrá que existen 4 puntos
que cumplen las CPOs:
(l1, k1) = (0, 0); (l1, k2) = (0, 14); (l2, k1) = (18, 0)∧ (l2, k2) = (18, 14)
Las condiciones de segundo orden vienen dadas por el Hessiano, el
cual se describe por:
H(l, k) =
(
1,08− 0,12l 0
0 3,78− 0,54k
)
definamos D1 = 1,08 − 0,12l y D2 = (1,08 − 0,12l)(3,78 − 0,54k).
Si evaluamos los 4 candidatos a máximo descritos anteriormente en
D1 y D2, según la definición para matrices semi-definidas negativas
tenemos que el punto que maximiza f(l, k) es (l2, k2) = (18, 14).
8