05 Trabajo Práctico Nro 5 (TRABAJO DE UNA FUERZA Y CAMPOS CONSERVATIVOS)

Vista previa del material en texto

1 
 
Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 5 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(TRABAJO Y CAMPOS CONSERVATIVOS) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
TRABAJO DE UNA FUERZA 
Una forma diferencial 𝑃(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑦 podemos expresarla como el producto escalar 
entre 𝐹 y 𝑑𝑅, siendo 𝐹 = 𝑃(𝑥 ; 𝑦) 𝐼 + 𝑄(𝑥 ; 𝑦) 𝐽 y 𝑑𝑅 = 𝑑𝑥 𝐼 + 𝑑𝑦 
Así, la siguiente integral curvilínea puede reescribirse: 
∫ 𝑃(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑦
𝐶
= ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑅
𝐶
 
Ejercicio 5 
En este ejercicio nos piden expresar las integrales curvilíneas del ejercicio 3 (no corresponden la 
de los ejercicios 1 y 2) mediante la forma vectorial ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑅
𝐶
, donde 𝑑𝑅 = 𝑑𝑥 𝐼 + 𝑑𝑦 y nos piden 
indicar en cada caso el campo vectorial 𝐹 asociado. 
∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦
(1;2)
(0;0)
= ∫ (𝑥𝑦 𝐼 + 2𝑦 𝐽) ∙ (𝑑𝑥 𝐼 + 𝑑𝑦 𝐽)
(1;2)
(0;0)
= ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑅
(1;2)
(0;0)
 
Entonces 𝐹(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥𝑦 𝐼 + 2𝑦 𝐽 y 𝑑𝑅 = 𝑑𝑥 𝐼 + 𝑑𝑦 𝐽 
Podemos dar una interpretación física a la integral curvilínea: el trabajo realizado por una fuerza 
𝐹 al mover una partícula por el camino descripto por la curva 𝐶 desde el punto 𝐴 hasta el punto 
𝐵 se calcula como: 
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑅
𝐵
𝐴
 
Ejercicio 7 
Dado el campo de fuerzas 𝐹(𝑥 ; 𝑦) = √𝑦 𝐼 + (𝑥 − 𝑦) 𝐽, calcular el trabajo realizado por la fuerza 
𝐹 al mover una partícula desde el punto (0 ; 0) al (1 ; 1) a lo largo de la curva 𝑦 = √𝑥3 
𝐶: (𝑥 ; √𝑥3) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 y como 𝑦 = √𝑥3 = 𝑥
3
2 entonces 𝑑𝑦 =
3
2
𝑥
1
2 𝑑𝑥 
∫ √𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦
(1;1)
(0;0)
= ∫ √𝑥
3
2 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑥
3
2)
3
2
𝑥
1
2 𝑑𝑥
1
0
= ∫ 𝑥
3
4 𝑑𝑥 +
3
2
𝑥
3
2 𝑑𝑥
1
0
−
3
2
𝑥2 𝑑𝑥 = 
= (
4
7
𝑥
7
4 +
3
2
2
5
𝑥
5
2 −
3
2
1
3
𝑥3)|
0
1
= (
4
7
𝑥
7
4 +
3
5
𝑥
5
2 −
1
2
𝑥3)|
0
1
= (
4
7
+
3
5
−
1
2
) − 0 =
47
70
 
Entonces: 
∫ √𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦
(1;1)
(0;0)
=
47
70
 
3 
 
Ejercicio 8 
Acá debemos determinar el o los valores de las constantes 𝑎 y 𝑏 que aparecen en la forma 
diferencial Ω para que la misma sea exacta. 
Ω(𝑥 ; 𝑦) = (𝑎𝑥𝑦3 − 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑏𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 
Para ello vamos a recordar que Ω(𝑥 ; 𝑦) = 𝑃(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥 ; 𝑦)𝑑𝑦 es una forma diferencial 
exacta si: 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= (
𝜕𝑃
𝜕𝑥
)
𝑦
 
En este caso: 
𝑃(𝑥 ; 𝑦) = 𝑎𝑥𝑦3 − 𝑦2 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 3𝑎𝑥𝑦2 − 2𝑦 
 
𝑄(𝑥 ; 𝑦) = 𝑏𝑥2𝑦2 − 2𝑥𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑥
)
𝑦
= 2𝑏𝑥𝑦2 − 2𝑦 
Igualamos las derivadas parciales: 
3𝑎𝑥𝑦2 − 2𝑦 = 2𝑏𝑥𝑦2 − 2𝑦 
3𝑎 = 2𝑏 
𝑎 =
2
3
𝑏 ∀ 𝑏 ∈ ℝ 
Ejercicio 9 
En este ejercicio se pide que la integral curvilínea por cualquier camino cerrado de cero, eso 
sucede si la forma diferencial que se integra es exacta, por lo tanto, es similar al anterior y se lo 
dejamos para que practiquen cómo resolver este tipo de problemas. 
 
4 
 
CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS 
Ejercicio 10 
En este ejercicio nos piden determinar cuáles de los campos que nos presentan son 
conservativos. Veamos el ítem b para introducir la idea de cómo determinarlo: 
𝐹(𝑥 ; 𝑦) = (sen 𝑥 + 𝑦) 𝐼 + (𝑥𝑦 + 1) 𝐽 
𝑃(𝑥 ; 𝑦) = sen 𝑥 + 𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 1 
 
𝑄(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥𝑦 + 1 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑥
)
𝑦
= 𝑦 
Como las derivadas parciales resultan no ser iguales, entonces 𝐹 no es un campo conservativo. 
Ejercicio 11 
Vamos a calcular algunas integrales curvilíneas verificando previamente que las formas 
diferenciales son exactas y eligiendo el camino más conveniente de ser necesario. 
 a) 
∫ (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦
(3;0)
(0;5)
 
Primero probemos si es exacta: 
𝑃(𝑥 ; 𝑦) = (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 𝑥3𝑒𝑥𝑦 + (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦𝑥 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 𝑥3𝑒𝑥𝑦 + 3𝑥3𝑒𝑥𝑦 + 𝑥4𝑦𝑒𝑥𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑦
)
𝑥
= 4𝑥3𝑒𝑥𝑦 + 𝑥4𝑦𝑒𝑥𝑦 
 𝑄(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥4𝑒𝑥𝑦 
(
𝜕𝑃
𝜕𝑥
)
𝑦
= 4𝑥3𝑒𝑥𝑦 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦𝑦 
Como las derivadas parciales coinciden, entonces decimos que la forma diferencial es exacta, y 
cuando la forma diferencial es exacta, el resultado de la integral curvilínea es independiente del 
camino elegido, por lo tanto, para resolver la integral de una manera fácil podemos elegir un 
camino que conste de rectas verticales y horizontales para que una de las variables sea constante, 
si se puede que sea cero. En este caso podemos movernos por lo ejes de la siguiente manera: 
Partimos del punto (0 ; 5) hasta el punto (0 ; 0) por el camino vertical dado por 𝑥 = 0, luego, del 
punto (0 ; 0) nos movemos al punto (3 ; 0) por el camino horizontal dado por 𝑦 = 0 
5 
 
Vemos que no solo logramos movernos por dos caminos rectos de manera tal de que una de las 
variables se mantenga constante a medida que nos movemos por un camino sino que logramos 
que sea cero. 
Representemos gráficamente el camino: 
𝐶1: (0 ; 𝑦) para 5 ≥ 𝑦 ≥ 0 y como 𝑥 = 0 entonces 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦 
𝐶2: (𝑥 ; 0) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 y como 𝑦 = 0 entonces 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑥 
𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 
∫ (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
(3;0)
(0;5)
= ∫ (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶1
+ ∫(3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶2
 
∫(3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶1
= ∫(3 ∙ 02 + 03𝑦)𝑒0∙𝑦 ∙ 0 𝑑𝑦 + 04𝑒0∙𝑦 𝑑𝑦
0
5
= 0 
∫(3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝐶2
= ∫(3𝑥2 + 𝑥3 ∙ 0)𝑒𝑥∙0 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥∙0 ∙ 0 𝑑𝑥
3
0
= ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥
3
0
= 
= 𝑥3|0
3 = 33 = 27 
Entonces: 
∫ (3𝑥2 + 𝑥3𝑦)𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
(3;0)
(0;5)
27