05 Trabajo Práctico Nro 5 (CAMPOS VECTORIALES)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 5 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(CAMPOS VECTORIALES) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
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CAMPOS VECTORIALES 
Antes de resolver los ejercicios 1 y 2 del Trabajo Práctico Nro. 5, recordemos que un campo 
vectorial es una función 𝐹: 𝐴 → 𝐵 con 𝐴 y 𝐵 incluidos en ℝ2 o en ℝ3, es decir, cada vector del 
dominio tiene como imagen un vector. 
Ejercicio 1 
En el ítem a de este ejercicio nos dan un campo vectorial definido como 𝐹(𝑥 ; 𝑦) = 𝑥𝑦 𝐼 − 𝑥𝑦2 𝐽 
y nos piden hallar los vectores asociados a los puntos 𝐴 = (0 ; 1), 𝐵 = (1 ; 1) y 𝐶 = (3 ; 2). Como 
en este caso el campo vectorial es una función 𝐹: ℝ2 → ℝ2, se pide hallar las imágenes de los 
vectores 𝐴, 𝐵 y 𝐶, que serán, como anteriormente señalamos, otros vectores. 
𝐹(𝐴) = 𝐹(0 ; 1) = 0 ∙ 1 𝐼 − 0 ∙ 12 𝐽 = 0 𝐼 − 0 𝐽 
𝐹(𝐵) = 𝐹(1 ; 1) = 1 ∙ 1 𝐼 − 1 ∙ 12 𝐽 = 1 𝐼 − 1 𝐽 
𝐹(𝐶) = 𝐹(3 ; 2) = 3 ∙ 2 𝐼 − 3 ∙ 22 𝐽 = 6 𝐼 − 12 𝐽 
En el ítem c nos dan el campo vectorial 𝐹(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = (1 + 𝑥𝑦𝑡) 𝐼 + 𝑦 sen 𝑡 𝐽 y nos piden 
determinar los campos instantáneos para 𝑡 = 0 y 𝑡 =
𝜋
2
, lo que nos queda: 
𝐹(𝑥 ; 𝑦 ; 0) = (1 + 𝑥𝑦 ∙ 0) 𝐼 + 𝑦 sen 0 𝐽 = 1 𝐼 + 0 𝐽 = 𝐼 
𝐹 (𝑥 ; 𝑦 ;
𝜋
2
) = (1 + 𝑥𝑦
𝜋
2
) 𝐼 + 𝑦 sen
𝜋
2
 𝐽 = (1 + 𝑥𝑦
𝜋
2
) 𝐼 + 𝑦 𝐽 
Luego, nos piden calcular el valor de 𝐹 en función de 𝑡 en el punto 𝐴 = (1 ; 2), resultando: 
𝐹(1 ; 2 ; 𝑡) = (1 + 1 ∙ 2 ∙ 𝑡) 𝐼 + 2 ∙ sen 𝑡 𝐽 = (1 + 2𝑡) 𝐼 + 2 sen 𝑡 𝐽 
Luego, nos piden calcular el vector correspondiente al punto 𝐴 = (1 ; 2) en el instante 𝑡 =
𝜋
2
, así: 
𝐹 (1 ; 2 ;
𝜋
2
) = (1 + 1 ∙ 2 ∙
𝜋
2
) 𝐼 + 2 ∙ sen
𝜋
2
 𝐽 = (1 + 𝜋) 𝐼 + 2 𝐽 
Por último, tenemos que hallar las funciones derivadas parciales primeras con respecto a cada 
una de las variables independientes y para ello, vamos a derivar componente a componente 
respecto a cada una de las variables. 
Derivamos a 𝐹(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = (1 + 𝑥𝑦𝑡) 𝐼 + 𝑦 sen 𝑡 𝐽 respecto a 𝑥 y nos queda: 
𝐹𝑥(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = 𝑦𝑡 𝐼 + 0 𝐽 
Derivamos a 𝐹(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = (1 + 𝑥𝑦𝑡) 𝐼 + 𝑦 sen 𝑡 𝐽 respecto a 𝑦 y nos queda: 
𝐹𝑦(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = 𝑥𝑡 𝐼 + sen 𝑡 𝐽 
Derivamos a 𝐹(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = (1 + 𝑥𝑦𝑡) 𝐼 + 𝑦 sen 𝑡 𝐽 respecto a 𝑡 y nos queda: 
𝐹𝑡(𝑥 ; 𝑦 ; 𝑡) = 𝑥𝑦 𝐼 + 𝑦 cos 𝑡 𝐽 
 
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Ejercicio 2 
En el ítem a de este ejercicio nos dan la función 𝐹: ℝ2 → ℝ2, que es un campo vectorial definido 
como 𝐹(𝑥 ; 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) 𝐼 + (𝑥 − 𝑦) 𝐽 y nos piden hallar los puntos del dominio para los cuales 
el campo tiene la dirección del versor 𝐼, luego elegir 3 puntos de ese conjunto y graficar el campo 
vectorial asociado a esos puntos. Veamos: 
Para que el campo tenga la dirección del versor 𝐼, la componente en la dirección 𝐽 tiene que ser 
nula, es decir, valer 0, entonces los puntos (𝑥 ; 𝑦) tienen que cumplir la condición 𝑥 − 𝑦 = 0, es 
decir que los puntos (𝑥 ; 𝑦) para los cuales el campo tiene la dirección del versor 𝐼 cumplen con 
la condición 𝑥 = 𝑦. 
Elegimos los puntos 𝐴 = (1 ; 1), 𝐶 = (−1 ; −1) y 𝐸 = (2 ; 2), entonces los vectores asociados al 
campo son: 
𝐹(𝐴) = 𝐹(1 ; 1) = 2 𝐼 
𝐹(𝐶) = 𝐹(−1 ; −1) = −2 𝐼 
𝐹(𝐸) = 𝐹(2 ; 2) = 4 𝐼 
La representación gráfica resulta: 
Siendo 𝑢 = 𝐹(𝐴) = 𝐹(1 ; 1) = 2 𝐼, 𝑤 = 𝐹(𝐸) = 𝐹(2 ; 2) = 4 𝐼 y 𝑣 = 𝐹(𝐶) = 𝐹(−1 ; −1) =
−2 𝐼 los vectores graficados con origen en cada punto elegido. 
La anterior forma de representación es la que vieron en la Clase Teórica-Práctica y es la que vamos 
a adoptar. 
En el ítem b nos dan la función 𝐹: ℝ2 → ℝ2 que es un campo vectorial definido como 𝐹(𝑥 ; 𝑦) =
2𝑦 𝐼 − 2𝑥 𝐽 y nos piden mostrar que el vector 𝐹(𝑥 ; 𝑦) es perpendicular al vector (𝑥 ; 𝑦) y que su 
módulo es igual a dos veces el módulo del vector (𝑥 ; 𝑦). Además, debemos usar la anterior 
información para graficar los vectores de 𝐹 en los puntos de una circunferencia de centro (0 ; 0) 
y radio 1, y además, generalizar para otros radios. 
Primero, para mostrar que son vectores perpendiculares probamos que el producto escalar entre 
ellos es cero: 
4 
 
𝐹(𝑥 ; 𝑦) ∙ (𝑥 ; 𝑦) = (2𝑦 ; −2𝑥) ∙ (𝑥 ; 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 = 0 
Ahora calculamos el módulo: 
|𝐹(𝑥 ; 𝑦)| = √(2𝑦)2 + (−2𝑥)2 = √4𝑦2 + 4𝑥2 = √4(𝑦2 + 𝑥2) = √4 √𝑦2 + 𝑥2 = 2|(𝑥 ; 𝑦)| 
Lo cual deja evidencia de que son vectores perpendiculares y que el módulo de 𝐹(𝑥 ; 𝑦) es el 
doble del módulo de (𝑥 ; 𝑦) 
Ahora buscamos campos vectoriales asociados a los puntos ubicados sobre la circunferencia de 
radio 1, así, elegimos los puntos 𝐴 = (1 ; 0), 𝐵 = (−1 ; 0), 𝐷 = (0 ; 1) y 𝐺 = (−1 ; 0) entonces 
los vectores asociados al campo son: 
𝐹(𝐴) = 𝐹(1 ; 0) = −2 𝐽 
𝐹(𝐵) = 𝐹(−1 ; 0) = 2 𝐽 
𝐹(𝐷) = 𝐹(0 ; 1) = 2 𝐼 
𝐹(𝐺) = 𝐹(0 ; −1) = −2 𝐼 
La representación gráfica resulta: 
Siendo 𝑢 = 𝐹(𝐴) = 𝐹(1 ; 0) = −2 𝐽, 𝑤 = 𝐹(𝐵) = 𝐹(−1 ; 0) = 2 𝐽, 𝑣 = 𝐹(𝐷) = 𝐹(0 ; 1) = 2 𝐼 
y 𝑎 = 𝐹(𝐺) = 𝐹(0 ; −1) = −2 𝐼 los vectores graficados con origen en los puntos elegidos. 
Vemos que los puntos de la circunferencia de radio 1 tienen asociados a puntos ubicados sobre 
la circunferencia de radio √5, dado que el radio se determina por Pitágoras, 12 + 22 = 𝑟2 y esto 
se puede generalizar de la siguiente manera: los puntos de una circunferencia de radio 𝑟 tienen 
asociados a los puntos ubicados sobre la circunferencia de radio √5𝑟