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Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 1 INTEGRAL DEFINIDA En esta sección vamos a trabajar con el concepto de integral definida. Si bien su cálculo está muy ligado con la integral indefinida, su origen y desarrollo son anteriores y se encuentran estrechamente relacionados con la noción de área. Es este camino el que usaremos para introducir su definición. Ejemplo 1. Consideremos la función f dada por f(x) = x y sea A(x) para x > 0, el área encerrada entre la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x. Utilizando la fórmula que nos da el área del triángulo, tenemos 2 x)x(A 2 Observamos que en este caso A’(x) = x = f(x) Esto es, el área A es una primitiva de f. En particular si b = 3, es A(2) = 5,4 2 3 2 Ejemplo 2 Consideremos ahora la función dada por 1x 2 1 )x(f y consideremos A(x) siendo x > -2, el área encerrada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa el valor x. El área de la región es: 1x 2 1 )2x( 2 1 )x(A De donde operando obtenemos; 1x 4 x)x(A 2 Aquí también encontramos que el área es una primitiva de f, es decir: x(f1x 2 11x 4 x)x('A '2 En los dos ejemplos, vemos que el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y una recta vertical de abscisa x, es una primitiva de f. A(x) = F(x) es decir A’(x) = f(x) Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 2 En los ejemplos anteriores, el área A, la calculamos simplemente aplicando la fórmula que da el área de un triángulo, pues la gráfica de f era una recta. Podemos ahora preguntarnos, si podemos calcular el área cuando la gráfica de la función no es una recta. El siguiente teorema nos da la respuesta. Terorema fundamental del cálculo Consideremos una función continua y positiva f: [a; b] . Para cada x [a; b], definimos A(x) como el área comprendida entre el gráfico de f y el eje de abscisas en el intervalo [a; b] Gráficamente, En estas condiciones podemos enunciar el siguiente teorema: La función A(x) es una primitiva de f. Es decir )x(f)x(A' Definción de integral definida Definimos la integral definida mediante el número A b a dx)x(fA Donde a “a” y “b” se los llama límites de integración. Nos planteamos ahora el problema de calcular la integral definida. Nos ayudamos con un ejemplo. Ejemplo 3. Calculemos el área que encierra la función f(x) = x, las rectas x = 1 y x = 3 y el eje de abscisas. Vimos en el ejemplo 1, que el área encerrada por f(x) = x, el eje de abscisas y la recta vertical que tiene por abscisa x es 2 x )x(A 2 Si la recta vertical es x = 3 tenemos el siguiente gráfico: Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 3 El área la calculamos reemplazando en A(x) por x = 3. 5,4 2 3 )3(A 2 Si a este triángulo le restamos el triángulo en rojo, obtenemos el trapecio del que partimos. Y podemos también calcular el área de este triángulo, haciendo x = 1 5,0 2 1)1(A 2 De este modo el área del trapecio es: A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4 Es decir que el área limitada por f(x) = x y el eje x en el intervalo [1; 3] es el incremento de la función A al pasar de x = 2 a x = 4. Si recordamos que el área de la región es una primitiva de la función f este es, A(x) = F(x) podemos escribir: F(3) – F(1) = A(3) – A(1) = 4, 5 – 0,5 = 4 Si generalizamos para un intervalo [a; b] tendremos: A = F(a) – F(b) Como además dijimos que A = b a dx)x(f Tendremos que el área del trapecio en el intervalo [a; b] es A = b a )a(F)b(Fdx)x(f Generalizamos, lo hecho en el ejemplo, mediante la siguiente regla, que nos permite calcular la integral definida en un intervalo [a; b] Regla de Barrow Si )x(F es una primitiva de la función continua )x(f , se verifica que: b a )a(F)b(Fdx)x(f Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 4 Usamos la regla de Barrow en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Calcular 2 1 dxx Solución: Ya sabemos que una primitiva de x es 2 x )x(F 2 Luego por la regla de Barrow, podemos escribir: 2 1 dxx = F(2) – F(–1) = 2 3 2 1 2 2 22 Al aplicar la regla de Barrow es conveniente la siguiente notación. b a b a )a(F)b(F)x(Fdx)x(f Propiedades de la integral definida 1. El factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida. b a dx)x(f.a b a dx)x(f.a 2. La integral definida de la suma algebraica de dos o más funciones es igual a la suma algebraica de las integrales definidas de cada una de las funciones sumandos. b a dx)).x(g)x(f( b a dx)x(f b a dx)x(g 3. Si se invierten los límites de integración, la integral definida cambia de signo. a b dx)x(f b a dx)x(f 4. Si f está definida para x = a entonces, a a dx)x(f 0 5. Para tres números arbitrarios a, b y c se verifica la igualdad: b a dx)x(f c a dx)x(f b c dx)x(f 6. Si en el segmento [a, b] se verifica que )x(g)x(f , entonces: b a dx)x(f b a dx)x(g Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 5 Para calcular las integrales definidas se procede en forma similar a las integrales indefinidas. Ejemplo 5 Calcular las siguientes integrales definidas. a) 3 2 2 dx)5x6( b) 0 dx)senx1( c) 8 1 32 dx1xx Solución Resolvemos las integrales aplicando la regla de Barrow. a) 3 2 2 dx)5x6( 45)1016()1554( )2(5 3 )2(63.5 3 3.6 x5 3 x6dx)5x6( 33 3 2 3 3 2 2 Luego, 3 2 2 dx)5x6( 45 b) 0 dx)senx1( 21)1( )0cos0()cos()xcosx(dx)senx1( 0 0 Resulta: 0 dx)senx1( = 2 c) 8 1 32 dx1xx Comencemos tratando de escribir el integrando de otra manera. 23 7 3 1 232 xx)1x(x)1x(x Por lo que es 8 1 32 dx1xx 8 1 23 7 dxxx Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 6 8 1 33 10 8 1 33 10 x 3 1x 10 3 3 x 3 10 x 30 4097 30 103.3512.103072.3 3 1 10 3 3 512 10 3072 3 1 10 3 3 512 10 1024.3 1. 3 11. 10 38 3 12 10 3 1 3 11 10 38 3 18 10 3 310 33 1033 10 Luego; 30 4097dx1xx 8 1 32 Ejemplo 6 Sabiendo que 3 1 5 3 5 0 3dx)x(fy1dx)x(f;6dx)x(f calcular; a) 1 0 dx)x(f b) 3 1 dx)x(f3 c) 5 3 4 0 dx)x(f 2 1dx)x(f Solución En este ejercicio, interesa que usemos las propiedades de la integral definida. Consideremos el intervalo en que está definida la integral y la información que tenemos sobre ella en ese intervalo. Nos ayudamos con un gráfico: Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 7 Si usamos la propiedad 5, podemos escribir 5 3 3 1 1 0 5 0 dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f De esta suma, sólo nos falta conocer la integral en el intervalo [0; 1]. La calculamos. a) 1 0 dx)x(f Si reemplazamos los datos que tenemos en la suma, nos queda: 31dx)x(f6 1 0 Con lo que es: 1 0 1 0 dx)x(f2dx)x(f316 b) 3 1 dx)x(f3 Ya que el factor constante se puede extraer fuera del signo de la integral definida, podemos escribir: 3 1 3 1 dx)x(f3dx)x(f3 Conocemos que la integral 3 1 1dx)x(f es: 3 1 3 1 dx)x(f3dx)x(f3 = 3.1 = 3 c) 5 3 4 0 dx)x(f 2 1dx)x(f Reescribimos la integral, utilizando propiedades: 5 3 3 1 1 0 5 3 4 0 dx)x(fdx)x(f 2 1dx)x(fdx)x(f 2 1dx)x(f De este modo podemos usar los datos del problema y el resultado del ítem a). Luego: 2 9 2 33)12( 2 13dx)x(f 2 1dx)x(f 5 3 4 0 Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 8 Cambio devariable en integrales definidas. Recordemos que dada dx)x('g).)x(g(f , si F es una primitiva de f, y ))x(g(F es una primitiva de )x('g).)x(g(f entonces es: dx)x('g).)x(g(f = F(g(x)) + C Recordemos además que para resolver este tipo de integrales, recurrimos al método de sustitución o cambio de variables. Nuestro problema consiste ahora en calcular la integral definida b a dx)x('g).)x(g(f prestando atención a los límites de integración. Vamos a ver que podemos hacerlo de dos maneras: La primera consiste en calcular la integral definida dx)x('g).)x(g(f = F(g(x)) + C Y evaluarla en los límites de integración, con lo que es: ))a(g(F))b(g(Fdx)x('g).)x(g(f b a La segunda, consiste en cambiar los límites de integración. En este caso, al hacer la sustitución u = g(x) y du = g’(x) dx, también se cambian los límites de integración teniendo en cuenta: o Si x = a; es u = g(a) o Si x = b; es u = g(b) Por lo que resulta: ))a(g(F))b(g(Fdu)u(fdx)x('g).)x(g(f )b(g )a(g b a El siguiente ejemplo lo resolvemos utilizando las dos formas. Ejemplo 7 Calcular dx)2x(x 5 3 2 32 Solución. Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 9 Si usamos la primera forma, debemos calcular la integral indefinida y luego evaluarla en los limites de integración: Entonces calculamos: dx)2x(x 532 Haciendo u = x3 + 2 es du = 3x2 dx; 2x 3 du dx Por lo que: Cu 18 1Cu 6 1. 3 1duu 3 1dx)2x(x 665532 Volviendo a la variable x, C)2x( 18 1dx)2x(x 63532 Así; dx)2x(x 5 3 2 32 = 3 2 63 )2x( 18 1 18 594776665 )46656594823321( 18 1 ))6(29( 18 1 )2)2(( 18 1 )23( 18 1 66 6363 Luego: 18 594776665dx)2x(x 3 2 532 Si usamos la segunda forma, hacemos el cambio de variables y cambiamos los límites de integración. 3 2 532 )2x(x Haciendo u = x3 + 2 es du = 3x2dx; dxx 3 du 2 , y además: Si x = 3; u = 33 + 2 = 29 Si x = -2; u = (-2)3+ 2 = - 6 Por lo que es: Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 10 18 594776665 ))6(29( 18 1 u 18 1 duu 3 1 )2x(x 66 29 6 6 29 6 5 3 2 532 Luego: 18 594776665)2x(x 3 2 532 Como se ve, cualquiera sea la forma que elegimos, llegaremos al mismo resultado. Si se elige la segunda forma de resolución, hay que ser cuidadosos y hacer la sustitución de los límites de integración. Si esto no se hace, el ejercicio está mal resuelto. Ejemplo 8: Calcular 2/ 4/ dyyctg Solución: Comencemos rescribiendo el integrando 2/ 4/ 2/ 4/ dy seny ycos dyyctg De este modo podemos hacer la sustitución u = sen y ; du = cos y dy Lo resolvemos de las dos formas: En la primera, comenzamos calculando la integral indefinida y después evaluamos en los límites de integración: Culndu u 1 dy seny ycos Por lo que es: C)senyln(dy seny ycos Luego es; 2/ 4/ 2/ 4/ dy seny ycosdyyctg 2/ 4/ )senyln( Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 11 2ln 2 1 2ln0 2 2 ln1ln 4 senln 2 senln 2 1 Por lo que 2ln 2 1 dyyctg 2/ 4/ Resolvemos 2/ 4/ 2/ 4/ dy seny ycosdyyctg por la segunda forma. Esto es, haciendo la sustitución u = sen y ; du = cos y dy, lo que implica reemplazar los limites de integración. Si 1 2 senu; 2 x Si 2 2 4 senu; 4 x Luego, 1 2/2 1 2/2 2/ 4/ 2/ 4/ ulndu u 1 dy seny ycos dyyctg 2ln 2 1 2ln0 2 2 ln1ln 2 1 Por lo que 2ln 2 1dyyctg 2/ 4/ Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 12 El método de integración por partes y la integral definida. Para integrar una función expresada como producto de otras dos, y donde no podemos aplicar el método de sustitución,usamos el método de integración por partes. En el caso de las integrales definidas también podemos hacerlo, prestando nuevamente atención a los límites de integración. b a a b b a dx)x(v)x('u)x(v.)x(udx)x('v)x(u Resolvemos algunos ejemplos. Ejemplo 9 Calcular 1 0 x dx.e).2x( Solución Usando el método de partes, buscamos una primitiva. Elegimos, u = x + 2, por lo que es du = dx dv = exdx , por lo que es xx edxev Calculamos ahora la integral definida: 10x 1 0 x 1 0 1 0 x1 0 xx ee).2x( dxee).2x(dx.e).2x( Y ahora sustituimos por los límites de integración = (1 + 2) e1 – (0 + 2) e0 – (e1 – e0) = 3e – 2 – e + 1 = 2e – 1 Por lo que es: 1 0 x 1e2dx.e).2x( Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 13 Ejemplo 10. Calcular dx x xln 2 1 2 Solución Escribamos la integral de esta manera: dxxln x 1dx x xln 2 1 2 2 1 2 Luego buscamos la primitiva de dx x xln 2 utilizando el método de partes, y una vez que la hallamos, reemplazamos por los límites de integración. Vimos que en las funciones que contienen logaritmos, nos conviene llamar u a la función logaritmo. Luego: u = ln x, es du = dx x 1 dv = dx x 1 2 entonces x 1xdx x 1v 1 2 Entonces, buscamos la primitiva de la función y evaluamos. )1x(ln x 1 x 1 x xln dx x 1 x xln dx x 1 x 1 x xlndxxln x 1dx x xln 22 Y volviendo a la integral definida: 2 1 2ln 2 1 1 2 12ln 2 1 1)12(ln 2 1 )11(ln 1 1)12(ln 2 1)1x(ln x 1dx x xln 2 1 2 1 2 Luego: Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 14 2 12ln 2 1dx x xln 2 1 2 Observación: en este ejemplo, preferimos calcular la integral indefinida y luego aplicar la regla de Barrow al resultado de la misma. Ejemplo 11. Calcular 1 0 dxarcsenx Solución Nuevamente utilizamos el método de integración por partes. Primero vamos a buscar una primitiva y luego reemplazamos por los límites de integración. Como conocemos la derivada de arcsenx, a esta función la llamamos u. Hacemos: u = arcsenx, por lo que du = 2x1 1 dx dv = dx; por lo que es v = xdx Luego tenemos; dxx1 xarcsenx.xdxarcsenx 2 (1) Observemos que en el segundo miembro, la integral no es inmediata, nos conviene resolverla por sustitución. Luego, en dxx1 x 2 hacemos; t = 1 – x2 , por lo que es dt = -2xdx; dxx 2 dt Sustituyendo en la integral, Ct Ct2. 2 1 Ct 1 2 1 1. 2 1 dtt 2 1 dt t 1 2 1 dx x1 x 2 1 1 2 1 2 1 2 Volviendo a la variable x, es: Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - Integral Definida 15 Cx1dx x1 x 2 2 Ahora, en la integral indefinida que dejamos en (1) reemplazamos, 2 2 x1arcsenx.x )x1(arcsenx.xdxarcsenx Ya tenemos una primitiva, ahora podemos escribir: 1 0 2 1 0 )x1arcsenx.x(dxarcsenx Y sustituimos, 1 0 dxarcsenx = (1. arcsen1 + 11 ) – (0. arcsen 0 + 01 ) (arcsen1 quiere decir el ángulo cuyo seno es 1. En el dominio de la función, esto ocurre si el ángulo es 2 y arcsen 0 es el ángulo cuyo seno es cero, esto ocurre si el ángulo es cero) 1 0 dxarcsenx = 1 2
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