4 Cálculo de áreas

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CALCULO DE ÁREAS
Recordemos que
Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado {a; b] el área
de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas
verticales x = a y x = b es:

b
a
dx)x(fÁrea
Recordemos también que el área es siempre mayor o igual que cero. Por lo que, buscar el
área de una región en un intervalo dado, a veces, no significa calcular directamente la
integral definida en ese intervalo.
Ejemplo.
Dibujar la gráfica asociada a cada integral definida y calcular el área de la región que queda
delimitada.
a) 
3
1
dx4 b)  
3
0
dx)2x(
Solución
a) 
3
1
dx4
La expresión de la función f, es f(x) = 4. Su gráfica es una recta paralela al eje de
abscisas.
Además, la integral está definida en el intervalo [1; 4] por lo que la región está
limitada por las rectas
x = 1 y x = 4
Por lo que la gráfica de f es la que se muestra.
Como f es positiva en todo el intervalo, calculamos el
área, resolviendo la integral definida.
8
)13(4
x4dx4)x(A 31
3
1



Luego el área de la región es de 8 unidades.
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b)  
3
0
dx)2x(
La función f tiene por fórmula f(x) = x + 2. Su
gráfica es una recta.
Además la región está limitada por las rectas
x = 0 y x = 3.
Al ser f positiva en el intervalo [0; 3]
calculamos el área mediante:
5,10
2
216
2
9
03.23
2
1
x2x
2
1dx)2x()x(A
2
3
0
2
3
0





 





 
Luego el área de la región es A = 10, 5 unidades.
Ejemplo 2
Calcular el área limitada por la curva de f(x) = x, el eje x en el intervalo [-1; 1]
Solución
En este caso es erróneo apresurarse y calcular el área mediante 

1
1
dx.x . Si lo hacemos
obtendríamos que 

1
1
dx.x = 0
Sin embargo, si graficamos la función, observamos
que en el intervalo [-1; 0] la función es negativa.
En este caso, al ser la función identidad (f(x) = x)
simétrica respecto al origen de coordenadas,
podemos calcular el área en el intervalo [0; 1] y
multiplicar por 2.
1
2
1.20
2
1.2
2
0
2
1.2
2
xdx.x2.A
221
10
21
0



 











Luego, el área del la región es A = 1.
Vemos otro ejemplo, en el que si nos apresuramos podemos calcular mal el área.
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Ejemplo 3
Calcular el área de la región limitada por f(x) = x2 – x – 2, el eje de abscisas y las rectas
x = -1 y x = 2.
Solución
Podríamos pensar que A = 


2
1
2 dx)2xx( . Veamos qué pasa si calculamos
directamente esta integral.
6
13
6
7
3
10
2
2
1
3
142
3
8
)1(2)1(
2
1)1(
3
12.22.
2
12.
3
1
x2x
2
1
x
3
1
dx)2xx(
2323
2
1
23
2
1
2





 



 





 




 




 


Al calcular directamente la integral vemos que llegamos a un número negativo,
lo que contradice que debe ser A 0 en ese intervalo.
Para entender lo qué pasó, nos ayudamos
con un gráfico.
Como vemos en el intervalo [-1; 2] la función
es negativa.
Pero si consideramos la función g(x) = -f(x)
en el mismo intervalo, resulta que la gráfica
de g es positiva y simétrica de f respecto al
eje de abscisas.
Por lo que el área de la región es:
6
13
6
13
dx)2xx(
dx)x(gA
2
1
2
2
1











En definitiva, calcular el área de una región en un intervalo, no es simplemente calcular la
integral definida en ese intervalo.
En los siguientes ejemplos, procederemos a calcular el área de una región limitada por la
gráfica de una función y uno o más ejes (rectas horizontales y/o verticales)
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Ejemplo 4. Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones y los
ejes indicados.
a) f(x) = 6x – 6x3 en el intervalo 


 2;
2
1
b) xlny  ; x = e y el eje x
Solución
a) f(x) = 6x – 6x3 en el intervalo



 1;
2
1
Comenzamos por dibujar la región.
Observamos que en el intervalo 


 1;
2
1
la gráfica corta al eje de abscisas en x = 0
y x = 1.
Además en el intervalo 


 0;
2
1 f es negativa, por lo que en este intervalo,
calculamos el área de la región limitada por g(x) = - f(x) y las rectas x =
2
1 ; x = 0
A1 = 


0
2/1
3 dx)x6x6(
Mientras que en el intervalo [0; 1] la función es mayor o igual que cero. En este
intervalo es:
A2 =  
1
0
3 dx)x6x6(
Entonces el área de la región es
A = A1 + A 2 = 


0
2/1
3 dx)x6x6( + 
1
0
3 dx)x6x6(
Calculamos entonces el área:
A = 


0
2/1
3 dx)x6x6( + 
1
0
3 dx)x6x6(
1
0
42
0
2/1
42
1
0
3
0
2/1
3
x
4
1
6x
2
1
6x
4
1
6x
2
1
6
dx)x6x6(dx)x6x6(A




 



 




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32
69
2
3
32
21
x
4
6x3x
4
6x3
1
0
42
0
2/1
42











 




 

Luego el área de la región es A =
32
69 unidades de área (aproximadamente 2, 15625
unidades de área)
b) xlny  ; x = 1; x = e y el eje x
Comenzamos por graficar la región.
La función f(x) = ln x es no negativa en el intervalo [1; e] por lo que el área de la
región es:

e
1
dxxlnA
Ya hemos visto que para resolver la integral  dxxln se usa el método de
integración por partes (ver anexo) y además que es
 dxxln = x ln x – x + C
Luego podemos escribir:
 e
1
e
1
xxlnxdxxlnA 
Sustituyendo:
1
)10()e1.e(
)11ln1()eelne(A



Por lo que el área de la región es
A = 1
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Ejemplo 5
Calcular el área limitada por el eje x y la gráfica de







0x62x
0x4x
)x(f
2
Solución
Representemos la región
Para hallar los puntos de intersección de f (x) con el eje x (y = 0) se intersecan cada una de
las funciones que son parte de la definición de f(x) y se toman los valores de x que
corresponden a 0x  o x < 0 respectivamente.
1. 2x2x2x4x04x 22 
Se descarta 2x  pues no es 0x 
2. 8x4x62x62x62x062x 
Se descarta 4x  pues no es x < 0.
Por lo tanto:       


0
8
2
0
2 dx4x0dx62x0A
Como la función valor absoluto no es integrable directamente se descompone la
integral en dos partes.
Si
 
8x62x62x62x2x2x
2x2x02x2x


Si
4x62x62x62x
2x2x02x2x


Resulta entonces,
       

 

2
8
0
2
2
0
2 dx4xdx4xdx8xA
       

 

2
8
0
2
2
0
2 dx4xdx4xdx8xA
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



























2
0
3
0
2
2
2
8
2
x4
3
xx4
2
xx8
2
xA
























































04
3
0
24
3
2
)2(4
2
)2(
04
2
0
)8(8
2
)8(
)2(8
2
)2(
A
332
222
3
1008
3
8826432162A 
Luego es:
3
100A 
Observación
Para calcular el área de la región limitada por curvas o segmentos de rectas es posible
dividir a la región en dos (o más) sectores, cada uno de los cuales tiene por medida del área
Ay A. Por lo tanto puede calcularse el área total mediante una suma de integrales
definidas (área de cada sector) y por la propiedad de aditividad del área tendremos el área
de la región total.
Además, en el caso de que la función sea simétrica respecto del origen de coordenadas o
del eje de ordenadas y, es posible calcular el área de la región cuya área es Ay multiplicar
por dos siempre que el intervalo de integración sea también simétrico:[-a; a].
A continuación calcularemos el área de regiones limitadas por las gráficas de dos o más
funciones.
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
El cálculo del área de un recintolimitado por dos curvas
como las que muestra la figura puede pensarse como la
diferencia de dos áreas.
La primera corresponde al área del recinto limitado por la
curva que está por encima (y=g(x)), el eje x y las rectas x
= a, x = b y la segunda es el área del recinto limitado por
la curva que está por debajo (y=f(x)), el eje x y las rectas
x = a, x = b.
  
b
a
dx)x(f)x(gA
Obsérvese que )x(g está por encima de )x(f , y es por eso que la diferencia en la integral
es )x(f)x(g  .
Ejemplo 6
Calcular el área de las regiones limitadas por las gráficas de las funciones indicadas.
a) xy  ; x2y  y eje y.
b) senxy  , xcosy  y eje y
c) 1xy  e x2y 
Solución
a) xy  ; x2y  y eje y .
Calculamos la intersección de ambas gráficas igualando las funciones:
 2)x2(xx2x  044x4xx4x4x 22
4x1x04x5x2  pero 4x  no es solución.
Por lo que el intervalo en que está definida la región es [0; 1].
Hacemos el gráfico de la región. Vemos
que en ese intervalo, la recta queda por
encima de la gráfica de x .
Por lo que el área es:
  
1
0
dx)x)x2(A
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La calculamos
 
6
5
6
4
6
3
6
12
0
3
20.
2
10.2
3
2
2
12
0
1
x
3
2x
2
1x2dx)x)x2(A
2
3
2
2
3
2
1
0












Luego es A =
6
5
b) senxy  , xcosy  y eje y
Calculamos la intersección de las dos curvas:
4
x1arctgx1tgx1
xcos
senxxcossenx 
Y graficamos la región
Luego:
 
4/
0
dx)senxx(cosA

4/
0)xcossenx(A

 
12)10(
2
2
2
2
0cos0sen
4
cos
4
sen






  
Luego es 12A 
c) 1xy  e x2y 
Comencemos por graficar la región.
Para hallar a y b igualamos ambas
funciones:
x21x 
Recordamos que:
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|x + 1| |x|
x + 1 0 x + 1 < 0 x 0 x < 0
x -1 
|x+1| = x+1
x < -1 
|x+1| = -(x+1)
x 0 
|x| = x
x < 0 
|x| = -x
Entonces para resolver la ecuación debemos plantearnos los siguientes casos:
1. x -1  |x+1| = x+1 y x 0  |x| = x
2. x-1  |x+1| = x+1 y x < 0  |x| = -x
3. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x 0  |x| = x
4. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x < 0  |x| = -x
Resolvemos:
1. x -1  |x+1| = x+1 y x 0  |x| = x.
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x -1 y x 0  x 0  x [0; +)
Luego:
|x+1| = 2 - |x|  x + 1 = 2 – x 2x = 2 -1  x =
2
1
Como x =
2
1 [0; +) es una solución de la ecuación.
2. x-1  |x+1| = x+1 y x < 0  |x| = -x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x -1 y x < 0  -1 x < 0  x [-1;0)
Luego:
|x+1| = 2 - |x|  x + 1 = 2 – (– x)  x + 1 = 2 + x  1 = 2
Concluimos que en el intervalo [-1;0) la ecuación no tiene solución.
3. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x 0  |x| = x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x < -1 y x 0
Pero, no existe ningún número real que cumpla simultáneamente ambas
condiciones.
4. x < -1  |x+1| = -(x+1) y x < 0  |x| = -x
En este caso, los números reales que satisfagan la ecuación deben ser:
x < -1 y x < 0  x (; -1)
Luego:
|x+1| = 2 - |x|  -(x+1) = 2 - (-x)  -x -1 = 2 +x  2x = -3  x =
2
3
Como x =
2
3 (; -1) entonces es solución de la ecuación.
Luego, encontramos: a =
2
3 y b =
2
1
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Por lo tanto se divide al recinto en
tres:
 el primero desde
1xa
2
3x  ,
 el segundo desde
0xa1x 
 y el último de
2
1xa0x  .
Resulta entonces:
                

 

1
2/3
0
1
2/1
0
dx1xx2dx1xx2dx1xx2A
  

 

1
2/3
0
1
2/1
0
dx)1xx2(dx)1xx2(dx)1xx2(
  

 

1
2/3
0
1
2/1
0
dx)x21(dx1dx)x23(
2/1
0
20
1
1
2/3
2 )xx(x)xx3(  






 



 
4
1
2
1
))1(0(
4
9
2
9
)13(

4
1
1
4
9
2
2
3
A 
Luego el área de la región es;
2
3A 
El siguiente ejemplo, se resuelve en forma similar a las anteriores. Interesa ver que no
necesariamente la curva superior es la misma en todo el intervalo de integración.
Ejemplo 7
Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f(x) = 3x3 – x2 – 10x y
g(x) = -x2 + 2x
Solución
Comencemos buscando la intersección de las curvas. Resolvemos la ecuación:
3x3 – x2 – 10x = – x2 + 2x
Igualando a cero:
3x3 – x2 – 10x + x2 – 2x = 0  3x3 – 12 x = 0
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Podemos escribir:
3x (x2 – 4) = 0
De donde es:
x = 0; x = 2; x = -2
Así las curvas se cortan en x = 0; x = 2 y x = -2
Al hacer el gráfico de la región, vemos
que
 g(x) f(x) en [-2; 0]
 f(x) g(x) en [0; 2]
Por lo que, para calcular el área,
necesitamos dos integrales,
 una en [-2; 0] y
 otra en [0; 2].
Planteamos:
 


0
2
2
0
dx))x(f)x(g(dx))x(g)x(f(A
Sustituyendo por f(x) y g(x);
   dx)x10xx3()2x(dx)2x()x10xx3(A
2
0
232
0
2
223  

dx)x12x3(dx)x12x3(A
2
0
3
0
2
3  

 
241212
)2412(2412
02.6)2(
4
3
)2(6)2(
4
3
0
x6x
4
3x6x
4
3A
2424
2
0
24
0
2
24






 



 




 



 

Por lo que el área de la región es A = 24.