Polinomios (Complemento teórico)

Vista previa del material en texto

Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
COMPLEMENTO TEORICO : POLINOMIOS
Definición
Un polinomio de una variable x es una expresión de la forma
P(x) = nn
2
210 xa...xaxaa 
donde:
• x es la variable o indeterminada.
• an, an-1, ..., a2, a1, a0 son números reales y n es un número entero no negativo.
• A an, an-1, ..., a2, a1, a0 se los denomina coeficientes.
• a0 es el término independiente.
• Si an 0, an es el coeficiente principal y n es el grado del polinomio.
Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes reales se lo
denomina IR[x]
Términos semejantes: Dos términos de un polinomio que difieren sólo en sus coeficientes
numéricos se llaman semejantes.
Ejemplo:
En P(x) = -x2 + 3x – 2 + 5x son semejantes los términos 3x y 5x.
Valor numérico de un polinomio.
Es el valor que toma un polinomio al
sustituir la indeterminada x por un cierto
número.
Ejemplo. Si en P(x) = -x2 + 3x – 2 se
hace x = -1 resulta:
P(-1) = -(-1)2 + 3(-1) –2 = -6
Luego P(-1) = -6
Igualdad entre polinomios
Sean P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn y Q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ...+ bnxn dos poli-
nomios, entonces
P(x) = Q(x)  a i = bi para cada i = 0,1, 2, ... , n
Observación:
Para que dos polinomios sean iguales
se debe verificar que sean del mismo
grado y que los coeficientes de los tér-
minos semejantes sean iguales.
Ejemplo
Los polinomios
P(x) = 2x3 + 3x2 + 1
y Q(x) = 2x3 + 3x2 + 0x + 1
son iguales según la definición.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplos
1. Calcular el valor de la constante a para que sean iguales los polinomios
P(x) = 3+ 3x + ax2 y Q(x) = 3+ 3x + 2x2
Para que sean iguales por definición deben tener el mismo grado y ser sus coeficientes igua-
les.
• Se observa que grado de P(x) = grado de Q(x) = 2
• Y debe ser a = 2 ya que los demás coeficientes son iguales.
2. Para P(x) = 3 + ax y Q(x) = a + (a – 3)x no existe ningún valor de a que verifique al mis-
mo tiempo que 3 = a y a = a - 3
Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio cuyos términos son la suma de
los términos del mismo grado de ambos polinomios.
Definición
Se denominan polinomios opuestos a aquellos que tienen opuestos los coeficientes de
los términos semejantes.
Así, el opuesto de P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn
es –P(x) = -(a0 + a1x + a2x
2 + ...+ anx
n ) = -a0 - a1x - a2x
2 - ...- anx
n
Definición
La diferencia entre P(x) y Q(x) es el polinomio que se obtiene sumando a P(x) el opuesto
de Q(x).
P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
El grado del polinomio suma es menor o igual que el grado del polinomio de mayor grado.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplo.
Siendo P(x) = 3x5 - 2x2 + 4x –1 y Q(x) = 2x4 -5x2 + 5x –1,
es
P(x) + Q(x) = (3x5 - 2x2 + 4x –1) + (2x4 -5x2 + 5x –1)
= 3x5 + 2x4 -3x2 + 9x –2
y
P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
= (3x5 - 2x2 + 4x –1) + [– (2x4 - 5x2 + 5x –1)]
= (3x5 - 2x2 + 4x –1) + (- 2x4 + 5x2 - 5x +1)
= 3x5- 2x4 + 3x2 – x
Multiplicación de un polinomio por un número real
El producto de un número real k por el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ...+ anx
n es el
polinomio A(x) = kP(x) = k a0 + k a1x + k a2x
2 + ...+ k anx
n.
Ejemplo:
Dado P(x) = -3x3 + 5 x –3 y el número real k = -2 hallar k P(x)
kP(x) = (-2) (-3x3 + 5 x –3)
= (-2) (-3x3) + (-2) 5x + (-2) (-3)
= 6 x3 –10 x +6
Producto de polinomios
El producto de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada
término de uno de ellos por cada término del otro y sumando los términos semejantes si los
hubiera.
Ejemplo:
Si P(x) = x2 – x - 1 y Q(x) = x3 – 3x2 + 2 es
P(x) Q(x) = (x2 – x - 1) (x3 – 3x2 + 2)
= (x2 – x - 1) x3 + (x2 – x - 1) (–3x2) + (x2 – x - 1) 2
= x5 – x4 – x3 –3x4 + 3x3 + 3x + 2x2 – 2x – 2
= x5 – 4x4 +2x3 +2x2 + x -2
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Observar que:
• El resultado se obtiene de aplicar la propiedad distributiva y sumar los términos semejantes.
• El grado del polinomio producto siempre es igual a la suma de los grados de los polinomios
dados.
Propiedades de las operaciones entre polinomios
La suma de polinomios verifica las propiedades:
• Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
• Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
• Existe elemento neutro: polinomio nulo.
• Cada polinomio tiene un opuesto
El producto de polinomios verifica las propiedades:
• Asociativa: [P(x) Q(x)] R(x) = P(x) [Q(x) R(x)]
• Conmutativa : [P(x) Q(x)] = Q(x) P(x)
• Existe elemento neutro: el 1 considerado como polinomio de grado 0.
• No existe inverso multiplicativo: dado un polinomio cualquiera no existe otro que multipli-
cado por aquél de 1.
Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x) Q(x) + P(x) R(x)
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Para recordar
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
Porque:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= a a + a b + b a + b b
= a2 + 2 a b + b2
Ejemplo.
(6 x + 2)2 = (6x + 2 ) (6x+2)
= 6x6x + 26x + 6x2 + 22
= 36x2 + 4 6x + 4
= 36x2 + 24 x + 4
Cuadrado
de un
binomio
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
Porque:
(a - b)2 = (a - b) (a - b)
= aa + ab - ba + (-b)(- b)
= a2 - 2 a b + b2
Ejemplo.
(6 x - 2)2= (6x - 2 )(6x - 2)
= 6x6x +(-2)6x+ 6x(-2) + (-2)(-2)
= 36x2 - 4 6x + 4
= 36x2 - 24 x + 4
Diferencia
de
cuadrados
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Porque:
(a + b) (a - b) = aa - ab + ba - bb
= a2 - b2
Ejemplo.
(4x + 1)(4x - 1) = 4x4x + 4x (-1)+1.4x+1 (-1)
= 16 x2 – 4x + 4x -1
= 16 x2 – 1
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
División de polinomios
Dividir un polinomio P(x) (dividendo) entre otro polinomio D(x) (divisor) es encontrar otros dos
polinomios C(x) llamado cociente entero y R(x) llamado resto, de forma que se verifique que:
P(x) = D(x) · C(x) + R(x)
siendo el grado del resto menor que el grado del divisor.
• Cuando el resto del polinomio es nulo se dice que la división es exacta y que el polinomio
P(X) es divisible por D(x)
Ejemplo 1. A(x) = 10 x – 3 y B(x) = x – 1
10 x – 3 x – 1 10 x – 3 x – 1 10 x – 3 x – 1
10 - 10 + 10
10x – 1 -10x + 1
-2
Se obtiene dividiendo
10x por x
Se multiplica 10 por x-1 En lugar de restar se suma
el opuesto
Observar que: 10 x – 3 = 10 (x – 1) + (-2)
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplo 2.
Hallar P(x) : Q(x) si P(x) = 2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3
Q(x) = x2 – x + 1
2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3 x2 – x + 1
+ 2 x3 –x2 –8x -9
-2x5 + 2x4 – 2x3
-x4 - 7x3 –2x2 + x + 3
+
x4 - x3 + x2
- 8x3 - x2 + x + 3
+
8x3 - 8x2 + 8x
- 9x2 + 9x + 3
+
9x2 - 9x + 9
12
Para realizar la división se procede
del siguiente modo:
• Se ordenan los polinomios se-
gún potencias decrecientes, y si
fuera necesario se completa el
dividendo.
• Se divide el monomio de mayor
grado del dividendo por el de
mayor grado del divisor.
• Se multiplica el término obtenido
por el divisor y se resta este
producto del dividendo (cam-
biando de signo los coeficientes
y sumando).
• Se reitera el procedimiento has-
ta que el resto sea el polinomio
nulo o un polinomio de menor
grado que el divisor.
El resultado es:
C(x) = 2 x3 –x2 –8x –9
R(x) = 12
Se puede comprobar que:
P (x) = Q(x) · C(x) + R(x)
2x5 – 3x4 – 5x3 –2x2 + x + 3 = (x2 – x + 1) · (2 x3 –x2 –8x –9) + 12
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
División de un polinomio por un binomio de la forma (x- a): Regla de Ruffini
Si el dividendo P(x) es de grado n y el divisor es de grado 1, esto es, Q(x)= x – a, el cociente
C(x) es de grado n -1 y el resto R(x) es el polinomio nulo o bien un polinomio de grado cero.
Ejemplo:
P(x) = x3 –2x +1
Q(x) = x – 2
x3 + 0x2 –2x +1 x - 2
+ x2 + 2x +2
-x3 + 2x2
2x2 –2x +1
+
-2x2 +4x
2x + 1
+
-2x + 4
5
Al efectuar P(x) : Q(x) es
C(x) = x2 + 2x +2
R(x) = 5
• El grado de P(x) es 3.
• El grado de C(x) es 3 – 1 = 2.
• R(x)= 5 es un polinomio de grado cero.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: FuncionesLa regla de Ruffini permite obtener el resto y los coeficientes del polinomio cociente sin efectuar la
división. Para ello se procede del siguiente modo:
• En una tabla se colocan arriba los coeficien-
tes del dividendo ya ordenado y completo.
En el ángulo izquierdo se escribe el valor de
a, en este caso a = 2.
1 0 -2 1
2
• El primer coeficiente del cociente es el pri-
mero del dividendo. 1 0 -2 12
1
• El segundo coeficiente se obtiene multipli-
cando el anterior por 2 y ubicándolo debajo
del segundo coeficiente, se lo suma a éste.
1 0 -2 1
2 2
1 2
• Los restantes coeficientes se obtienen de
manera similar, multiplicando el anterior por
2 y sumando este producto al correspon-
diente de la primera.
1 0 -2 1
2 2 4 4
1 2 2 5
Los números 1, 2 y 2 son los coeficientes del polinomio cociente C(x) y 5 es el resto de la di-
visión entre P(x) y Q(x).
• Entonces es C(x) = x2 + 2x + 2 y R(x) = 5
Ejemplo
Hallar el polinomio cociente y el resto de la división de:
P(x) = x2 + 3x –1 por Q(x) = x + 1
Para aplicar la regla de Ruffini conviene observar que x + 1 = x – (-1) por lo que a = -1.
1 3 -1
-1 -1 -2
1 2 -3
Entonces es:
C(x) = x + 2 y R(x) = -3
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Teorema del resto
El valor que toma un polinomio P(x) para x = a, es decir P(a), coincide con el resto de la di-
visión de P(x) por x – a.
El teorema enunciado permite hallar el resto de la división entre dos polinomios sin realizar la
operación.
Por ejemplo:
1. El resto de la división de P(x) = x2 + 3x –1 por Q(x) = x + 1
es:
P(-1) = (-1)2 +3(-1) –1 = - 3
2. El resto de la división de P(x) = x2 + 2x + 5 por Q(x) = x – 2
es:
P(2) = 22 + 2 . 2 + 5 = 13
Divisibilidad de la suma o diferencia de dos potencias de igual grado por la suma o dife-
rencia de sus bases
Primer caso: (xn + an) : (x - a)
Aplicando nuevamente el teorema del resto, para x = -(-a) es:
R(x) = an + an = 2an.
Como a≠0, esto no es posible. 
Así, la suma de dos potencias de igual exponente nunca es divisible por la diferencia de sus
bases.
Segundo caso: (xn + an) : (x + a)
Para que la división sea exacta debe ser el resto igual a cero. Aplicando el teorema del resto
es:
R(x) = (-a)n + an = 0 si (-a)n = an
Esto solo se cumple si n es impar.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Tercer caso: (xn - an) : (x + a)
Aplicando el teorema del resto, para x = -a es:
R(x) = (-a)n - an = 0 si (-a)n = an
Esto solo se cumple si n es par.
Cuarto caso: (xn - an) : (x - a)
Aplicando el teorema del resto, para x = a es:
R(x) = an - an = 0
Esto se cumple para todo n.
• Por ejemplo, el resto de dividir (x5 + 1):(x + 1) es cero ya que la potencia n del divididendo
x5 + 1, es n = 5.
Lo verificamos haciendo R(-1).
R(-1) = (-1)5 + 1 = -1 + 1 = 0
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ceros de un polinomio
Definición. Dado un polinomio P(x), todo valor de x que satisface P(x) = 0 se denomina cero
o raíz de P(x).
Ejemplo 1.
Si P(x) = x4 – 1, es x = 1 un cero o raíz de
P(x) porque P(1) = 14 –1 = 1 – 1 = 0
Ejemplo 2.
Si P(x) = x4 – 1, x = 2 no es un cero de P(x)
porque P(2) = 24 –1 = 15 0
Ejemplo 3. Hallar las raíces de P(x) = -2 x +1
Como las raíces del polinomio son los valores de x para los que este se hace cero, para
encontrarlas es necesario resolver la ecuación P(x) = 0.
Esto es -2x + 1 = 0, igualdad que es cierta si x =
2
1
Entonces, el polinomio P(x) = -2x + 1, tiene una única raíz o cero que es: x =
2
1 .
Para verificarlo, se calcula 




2
1P . Así es: 011-1
2
12-
2
1P 








Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Propiedad de las raíces de un polinomio
Si a es raíz de un polinomio P(x), entonces x - a divide a P(x)
Llamando C(x) al polinomio cociente se tiene que:
P(x) = C(x) (x-a) ya que R = P(a) = 0
Es decir el polinomio dividendo puede escribirse como producto del divisor y el cociente.
Ejemplo:
Si P(x) = x2 – x - 12 se verifica que 4 es una raíz de P(x) ya que:
P(4) = 42 – 4 – 12 = 0.
Vemos que x – 4 divide a x2 – x - 12.
1 -1 -12
4 4 12
1 3 0
C(x) = x + 3 y R = 0.
Se puede escribir entonces x2 – x - 12 = (x + 3) (x - 4)
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Puede suceder que C(x) tenga más raíces. Si las tiene, estas también son raíces de P(x) pues
cuando se anula C(x) también se anula P(x).
Ejemplo. Hallar las raíces de P(x) = x3 – 3x2 +2x
Igualando P(x) a cero, se tiene x3 – 3x2 + 2x = 0.
Por distributividad de la multiplicación respecto a la suma de polinomios es,
x3 – 3x2 + 2x = x (x2 – 3x + 2).
Reemplazando en la igualdad anterior:
x (x2 – 3x + 2) = 0
Si el producto entre los polinomios es cero, resulta que alguno de los dos polinomios es cero.
Así: x = 0 ó x2 – 3x + 2 = 0
Ya se tiene un cero del polinomio; x = 0.
Para encontrar si tiene otros ceros es necesario resolver la ecuación cuadrática x2 – 3x + 2 = 0.
Considerando que:
a2
ac4bb,x
2
21
 y siendo a = 1; b = -3 y c = 2
reemplazando se obtiene x1 = 1 y x2 = 2.
Por lo tanto el polinomio dado, P(x) = x3 – 3x2 +2x de grado tres tiene tres raíces:
x = 0 ; x1 = 1 y x2 = 2
Y es P(x) = x3 – 3x2 +2x = x (x -1) (x-2)
Luego: x; x - 1 y x- 2 dividen a P(x)
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Existen polinomios con coeficientes reales que no tienen raíces reales
Ejemplo
El polinomio P(x) = x2 + 1 no tiene raíces reales ya que no existe ningún número real que ve-
rifique que P(x) = 0.
Porque si P(x) = 0 debe ser x2 + 1 = 0, y x2 = - 1.
Pero x2 0 para todo número real.
Por lo tanto x2 + 1 1 para todo x en IR.
El siguiente teorema, permite anticipar cuántas raíces es esperable tenga un polinomio con
coeficientes reales.
Teorema Fundamental del Álgebra
Todo polinomio de grado n con coeficientes reales tiene como máximo n raíces reales.
Aplicamos el teorema en el siguiente ejemplo:
Sabiendo que P(x) = 3x3 – 4x2 –3x + 4 es divisible por x – 1; hallar todas las raíces del mismo.
Al ser P un polinomio de grado 3 (n = 3) es esperable hallar cuanto mucho 3 raíces reales.
Al ser P(x) divisible por x – 1, es x = 1 raíz de P.
Además se puede escribir P(x) = C1(x). (x-1), donde C1(x) es el polinomio cociente.
Si C1(x) tiene más raíces, éstas también lo serán de P(x) pues cuando se anula C(x) tam-
bién se anula P(x). Es necesario hallar C1(x).
Efectuamos la división P(x) : (x -1) usando la regla de Ruffini:
3 -4 -3 4
1 3 -1 -4
3 -1 -4 0
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Obtenemos C1(x) = 3x
2 – x – 4 y el resto de la división es cero.
Entonces es P(x) = (3x2 – x – 4) (x -1)
Vemos si C1(x) tiene otras raíces, resolviendo la ecuación cuadrática 3x2 – x – 4= 0.
Considerando que:
a2
ac4bb,x
2
21
 y siendo a = 3; b = -1 y c = -4 reemplazando se obtiene
x1 = 3
4 y x2 = -1.
Y es C1(x) = 3 (x - 3
4 ) (x -1).
Resulta entonces P(x) = 3 (x -
3
4 ) (x -1) ( x -1) siendo sus raíces: x1 = 3
4 ; x2 = -1; x3 = 1.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Factorización de un polinomio
Si un polinomio P(x) = anxn + an-1x
n-1+...+ a1x + a0, de grado n, tiene n raíces reales x1; x2; ...; xn
entonces puede escribirse como producto en la forma:
P(x) = an (x – x1) (x-x2) ... (x – xn)
En el ejemplo anterior, P(x) = 3x3 – 4x2 –3x + 4 polinomio de grado tres, tenía raíces:
x1 = 3
4 ; x2 = -1; x3 = 1
Su factorización es:
1)-(x1)(x
3
4
-x3P(x) 




Ejemplo 1
Sabiendo que x1 = 5; x2 = 3 y x3 = -1 son ceros del polinomio P(x) = x
3 - 7x2 + 7x + 15,
a. Verificar que lo son.
b. Escribir P(x) factorizado.
a. Para verificar que x1 = 5; x2 = 3 y x3 = -1 son ceros de P se debe reemplazar cada uno de
ellos en el polinomio. Hacemos:
P(5) = 53 -7· 52 + 7· 5 + 15 = 125 – 175 + 35 + 15 = 0
P(3) = 33 -7· 32 + 7· 3 + 15 = 27 – 63 + 21 + 15 = 0
P(-1) = (-1)3 - 7· (-1)2 + 7 · (-1) + 15 = -1 - 7 -7 +15 = 0
b. P(x) = (x -5) (x - 3) (x –(1))
= (x -5) (x - 3) (x +1)
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplo 2
El polinomio P(x) = x4 + x3 -16x2– 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen x1= 3;
x2 = - 2 y x3 = 2.
Hallar la cuarta raíz y escribir a P como producto.
Observamos que:
P(x) = a (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x – p)
Al ser a = 1, resulta:
P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x – x4)
Para encontrar x4 dividimos a P por x – 3; al cociente por x + 2 y al nuevo cociente por x – 2.
Al dividir P por x – 3; se tiene C1(x) = x
3 + 4x2 – 4x – 16
Al dividir C1 por x + 2, es C2(x) = x2 – 2x – 8
Y dividiendo C2 por x – 2 es C3(x) = x + 4
Así P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x + 4 )
Entonces la cuarta raíz es x4 = -4 ya que este valor anula el último cociente y la factorización de
P es P(x) = (x – 3) (x + 2) (x – 2) (x + 4 ).
Ejemplo 3
Reconstruir el polinomio de grado 3 cuyas raíces son: -1;
2
3 y 4
El polinomio de grado 3 es de la forma:
4)-(x
2
3-x1)+(xa=P(x) 




 .
Aplicando propiedad distributiva:




 6x
4
1
-x
2
9
-xa=P(x) 23
Al no conocerse el valor de a, se puede afirmar que existen infinitos polinomios que cumplen
las condiciones del problema.
Verifique que 




 6x
4
1-x
2
9-xa=P(x) 23 se anula para: -1;
2
3 y 4.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
En algunos casos, al buscar las raíces de un polinomio, puede ocurrir que una de ellas se repi-
ta. Por ejemplo, en el polinomio de segundo grado dado por:
P(x) = 2x2 - 20x + 50
sus raíces son x1 = x2 = 5.
Su factorización es:
P(x) = 2( x – 5) (x – 5)
= 2 (x – 5)2
En este caso se dice que 5 es una raíz doble o de multiplicidad 2.
En general, se dice que si una raíz se repite k veces es de multiplicidad k
Por ejemplo:
• En P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2, sus raíces son x1 = -7 y x2= 5, la primera con multiplicidad 3
y la segunda con multiplicidad 2.
• En T(x) = 3(x -1)3 (x2 + 1), su única raíz real es x = 1 con multiplicidad 3.
Ejemplo.
Hallar un polinomio de grado 4, sabiendo que:
• P(1) = P(2) = P(3) = 0
• 2 es una raíz doble
• P(-1) = -1
El polinomio buscado es de la forma P(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2x2 + a1 x + a0
Como se conocen sus raíces, y al ser 2 una raíz doble se puede escribir:
P(x) = a (x -1) (x – 2)2 (x – 3)
Además P(-1) es:
P(-1) = a ((-1) -1) ((-1) – 2)2 ((-1) – 3)
= a (-2) (-3)2 (-4)
= 72 a
Y como P(-1) = -1 resulta:
-1 = 72 a
Por lo tanto:
72
1a 
Luego:
P(x) = )3x()2x)(1x(
72
1 2 
O bien:
6
1
x
18
7
x
72
23
x
9
1
x
72
1
)x(P 234 
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplo:
Escribir como producto el polinomio P(x) = x3 - 19x + 30 sabiendo que 2 es una raíz del
mismo.
Al ser P un polinomio de grado 3 es esperable encontrar a lo sumo tres raíces reales.
Como 2 es una raíz de P, se puede escribir:
P(x) = (x – 2) C(x)
Donde C(x) es el cociente de la división entre P(x) y x – 2. Hallamos el cociente aplicando el
teorema del resto.
1 0 -19 30
2 2 4 -30
1 2 -15 0
Así C(x) es:
C(x) = x2 + 2x -15
Y:
P(x) = (x – 2)( x2 + 2x -15)
Vemos si x2 + 2x -15 = 0 para algún número real.
Al ser esta una ecuación de segundo grado, mediante la formula resolverte, hallamos:
x1 = -5 y x2 = 3
Tenemos entonces:
P(x) = x3 - 19x + 30 = (x – 2) (x – (-5)) (x – 3)
= (x – 2) ( x + 5) (x – 3)
Determinación de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros
Dado un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1+...+ a1x + a0, en el que a0; a1; a2; ...; an son coeficien-
tes enteros, para determinar sus raíces racionales se ensayan soluciones de la forma
q
pr 
donde p es un divisor de a0 y q es un divisor de an.
Nociones básicas de Matemática – Módulo 3: Funciones
Ejemplo
Si P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3
Los divisores de a0 = 3 son: -1; 1; 2; -2; 3; -3.
Los divisores de a3 = 2 son -1; 1; -2 y 2.
Las soluciones posibles son: 3;3;
2
3;
2
3;
2
1;
2
1;2;2;1;1 
Probamos para estos valores si se anula el polinomio.
• P(1) = 2·13 + 3·12 - 8·1 + 3 = 2 + 3 – 8 + 3 = 0.
Entonces es P(1) = 0 y por lo tanto es una raíz racional de P.
• P(-1) = 2·(-1)3 + 3·(-1)2 - 8·(-1) + 3 = -2 + 3 + 8 + 3 = 12.
Entonces -1 no es raíz de P.
• P(2) = 2·23 + 3·22 - 8·2 + 3 = 16 + 12 – 16 + 3 = 15.
Entonces 2 no es raíz de P.
• P(2) = 2·(-2)3 + 3·(-2)2 - 8·(-2) + 3 = -16 + 12 + 16 + 3 = 15.
Entonces -2 no es raíz de P.
• 034
4
3
8
2
3
2
1
8
2
1
3
2
1
2
2
1
P
23

















Entonces
2
1
es raíz de P.
• Análogamente se muestra que 3;
2
3
;
2
3
;
2
1
;  no son raíces de P
• Y que -3 es otra raíz racional del polinomio.
• Luego P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 3 tiene tres raíces racionales que son: 1;
2
1 y -3.