Rtas (EP TP2)

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Matemática
Material de uso exclusivamente educativo 1
PRÁCTICO 2. FUNCIONES
RESPUESTAS ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
EJERCICIOS DE PARCIALES
Solución y comentarios
a. Encontrar todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje x quiere decir que busquemos los
valores de x para los cuales la función toma el valor cero.
Como datos tenemos la función dada por:
f(x) = 2x3 – 3x2 – 32x – 15
y un cero de la misma en x = -3.
Como la expresión de f es un polinomio de tercer grado, tendrá, a lo sumo 3 raíces. Una de
ellas es x = - 3.
Al ser x = -3 una raíz del polinomio, podemos escribir f en la forma:
f(x) = Q(x)(x + 3)
donde Q(x) es el cociente de la división entre el polinomio dado y x + 3.
Para encontrar otras raíces empleamos la regla de Ruffini. Empezamos buscando el cociente
Q(x) de la división de 2x3 – 3x2 – 32x – 15 por x + 3.
Entonces es: Q(x) = 2x2 -9x – 5
Y f(x) = (x + 3) (2x2 -9x – 5)
- 3
2 -3 -32 -15
-6 27 15
2 -9 -5 0
 Las formas de resolución de los ejercicios pueden no
ser únicas. Si pensás que los podes resolver de otra
manera y no estás seguro consúltanos en los foros.
1. El gráfico de la función f(x) = 2x3 – 3x2 – 32x – 15 corta al eje x en el punto (-3; 0)
a. Encontrá todos los puntos donde el gráfico de f corta al eje x.
b. Hallá los intervalos de positividad y negatividad de f.
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El cociente es un polinomio de segundo grado, por lo que podemos encontrar sus raíces usando
la fórmula resolvente:
a2
ac4bbx
2
2,1

teniendo en cuenta que a = 2; b = -9 y c = -5, reemplazamos:
2.2
)5.(2.4)9()9(
x
2
2,1


Y resolvemos:
4
119
4
1219
4
40819x 2,1



Luego:
2
1
x5x
4
119
x
4
119
x
21
21





Por lo que es: 2x2 -9x – 5 = 



 
2
1
x)5x(2
Encontramos todas las raíces de 2x3 – 3x2 – 32x – 15:
3x;
2
1x;5x 321 
La función f no tiene más ceros pues es su expresión es un polinomio de grado 3 y tiene a lo
sumo tres raíces.
Nota:
Una vez que hallamos los ceros de la función podemos expresarla como producto así;
f(x) = 2x3 – 3x2 – 32x – 15 = 



 
2
1x)5x()3x(2
b) Buscamos ahora los intervalos de positividad y negatividad de la función.
Por ser el polinomio una función continua, podemos decir que entre dos ceros consecutivos la
función tiene un intervalo de positividad o un intervalo de negatividad (consecuencia del
teorema de Bolzano).
Representemos sobre la recta real el dominio de la función (dom f = ) y sus ceros para saber
cuáles son los intervalos que vamos a analizar.
Quedan determinados los intervalos: );5(y5;
2
1
-;
2
1
-3;-;3)-;( 







 .
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Para saber que signo toma la función en cada uno de ellos, tomamos un número que le
pertenezca y reemplazamos en la fórmula de la función.
 En 3)-;( , x = -4 por ejemplo; se tiene que f(-4 ) = - 63
Esto significa que la función toma valores negativos en todo el intervalo. Luego:
3)-;( es un intervalo de negatividad f.
En el intervalo 




2
1-3;- tomamos x = -2 y es f(-2) = 21
Por lo que la función es positiva en el intervalo 





2
1-3;-
En el intervalo 



 5;
2
1- tomamos x = 0 y es f(0) = -15
Por lo que 



 5;
2
1- es un intervalo de negatividad
Y en el intervalo );5(  tomamos x = 6 y es f(6) = 117.
Por lo que el intervalo );5(  es un intervalo de positividad.
Entonces resulta
 













5;
2
1
-)3;(C
;5
2
1-3;-C
Contenidos
involucrados
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a:
 Funciones polinómicas.
 Conjuntos de positividad y negatividad, Ceros de una función.
 Polinomios: Regla de Ruffini, raíces y teorema de Bolzano.
 Intervalos de números reales.
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Solución y comentarios
La función que buscamos tiene la forma f(x) = ax2+ bx + c.
Su gráfica es una parábola, de la que sabemos;
 Corta al eje de ordenadas en 5
 Corta al eje de abscisas en – 3
 Su eje de simetría es la recta x = 1
Que corte al eje de ordenadas en 5, quiere decir que el término independiente es 5 (c = 5).
Por lo que podemos escribir;
f(x) = ax2+ bx + 5.
Que corte al eje de abscisas en -3 significa que una de
los ceros de la función es x = -3.
Como su eje de simetría es x = 1 podemos hallar el otro
cero de la función, pues será el simétrico de - 3 respecto
al eje.
La distancia de – 3 al eje es 4. Entonces el otro cero
está a la derecha del eje a igual distancia del mismo.
Lo buscamos haciendo 1 + 4 = 5
Ahora sabemos que es f(-3) = 0 y f(5) = 0. Usamos estas
igualdades para hallar a y b en la expresión de f.
Para f(-3) = 0, es 0 = a(-3)2 + b(-3) + 5
0 = 9 a – 3b + 5 (1)
Para f(5) = 0 es 0 = a 52 + b. 5 + 5
0 = 25a + 5b + 5 (2)
Con (1) y (2) formamos el sistema de ecuaciones





05b5a25
05b3a9
Y resolvemos escribiendo el sistema en forma equivalente






25
5b5a
9
5b3a
De donde
25
5b5
9
5b3 


Multiplicando por 9 y por 25 a ambos miembros;
25(3b – 5) = 9 (-5b – 5 )
75b – 125 = -45b – 45
2. Hallar la expresión de la función cuadrática cuya gráfica corta al eje de ordenadas en 5, al
eje de abscisas en - 3 y su eje de simetría es x = 1.
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Agrupamos los términos semejantes:
75b + 45 b = - 45 + 125
120 b = 80
3
2
120
80b 
Y reemplazando en
9
5b3a  es:
3
1a
9
3
9
5
3
2
3
a 


Por lo que la fórmula de la función f es;
5x
3
2
x
3
1
)x(f 2 
Podemos verificar que la gráfica de f cumple con las condiciones del problema:
 Corta al eje de ordenadas en 5, pues para x = 0, f(0) = 5
 Para x = - 3, la función vale cero ya que es
0555
3
15
5
3
6
3
9
5)3(
3
2)3(
3
1)3(f 2



 Su eje de simetría es la recta de ecuación x = 1.
Como la ecuación del eje de simetría es
a2
b
 y siendo
3
2
by
3
1
a  tenemos:
1
3
2
3
2
3
12
3
2
a2
b 










Contenidos
involucrados
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a:
 Función cuadrática.
 Parábola: Intersección con los ejes. Eje de simetría
 Ceros de la función cuadrática.
 Sistema de ecuaciones lineales.