Rtas (EP TP6)

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Matemática 
PRÁCTICO 6. INTEGRALES 
 
RESPUESTAS EJERCICIOS DE PARCIALES 
 
 
• Las formas de resolución de los ejercicios pueden no ser únicas. 
Si pensás que los podes resolver de otra manera y no estás 
seguro consúltanos en los foros. 
 
 
 
1. Resolvé las siguientes integrales usando el método que creas necesario. 
a. ∫
−
dx
x2
xln 3 b. dxxe x3∫ −
 
 
Solución y comentarios 
 
a) En la primera integral usamos el método de sustitución: 
La escribimos de la siguiente forma: 
dx
x).x(ln
1
2
1dx
x2
xln
3
3
∫ ∫=
−
 
 
Si hacemos la sustitución 
ln x = u es 
x
1 dx = du 
Por lo que es: 
du
u
1
2
1dx
x).x(ln
1
2
1dx
x2
xln
33
3
∫∫ ∫ ==
−
 
Y podemos integrar en forma inmediata la última expresión: 
Cu
2
1
2
1
duu
2
1du
u
1
2
1
2
3
3
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
=
−
−∫∫
 
Como es ln x = u, reemplazando y operando; 
C)x(ln
4
1dx
x2
xln 23 +−= −
−
∫ 
Material de uso exclusivamente educativo 
 
 
 
Matemática 
b) La segunda integral dxxe x3 la resolvemos por partes: ∫ −
Hagamos: 
u = x → u’ = 1 
v’ = e-3x → v = dxe x3∫ −
Para integrar esta expresión sustituimos -3x por t 
 t = -3x 
dt = -3dx 
 dxdt
3
1
=− 
Por lo que es: 
v = = dxe x3∫ − dte3
1 t∫− = x3e3
1 −− + C 
Luego es 
x3x3
x3x3
x3x3x3
e
9
1)e
3
1(x
dx)e
3
1)e
3
1(x
dx)e
3
1)e
3
1(xdxxe
−−
−−
−−−
−−=
+−=
−−−=
∫
∫∫
 
 
 
 
2. Encontrá k ∈ ℜ, k>0, para que el área de la región encerrada entre x = 0; x = k, el 
gráfico de f(x)= x + 4 y el eje x sea igual a 24. 
 
Solución y comentarios 
 
Para darnos una idea de la región, la graficamos: 
Como la grafica de f(x) = x+ 4 queda por encima del eje x en ese intervalo, 
el área está dada por: 
∫ +
k
0
dx)4x( 
 
La calculamos: 
 
k
0
2k
0
x4x
2
1dx)4x( +=+∫ 
Reemplazando: 
k4k
2
10k4k
2
1x4x
2
1 22
k
0
2 +=−+=+ 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
 
 
 
Matemática 
Pero esta área tiene que ser igual a 24, luego: 
 
24k4k
2
1 2 =+ 
Igualando a cero, es 
024k4k
2
1 2 =−+ 
Cuyas raíces son: k1 = 4 y k2 = -7. 
Como el k que buscamos es mayor que cero, entonces la solución, para que el área de la región 
sea 24 es k = 4. 
 
 
 
3. Usando integrales, encontrá k ∈ ℜ+, para que el 
área de la región limitada por las rectas x = 0; x = k, 
y = 0 y las gráficas de f(x)= x + 4 y g(x) = –x +6 sea 
igual a 15. 
 
 
Solución y comentarios. 
Para hallar el área debemos buscar la intersección de las funciones f y g 
Hacemos: 
x + 4 = - x + 6 
De donde: 
2x = 2 
x = 1. 
La recta x = 1 nos divide la región en dos subregiones. 
El área de la región es igual a la suma de las áreas de las dos 
subregiones. 
A = A1 + A2 
• El área 1 (A1) está determinada por la función f(x) = x+ 4, el eje x, 
y las rectas x = 0; x = 1. 
• El área 2 (A2) está determinada por las rectas g(x) = -x + 6, el eje 
x y las rectas x = 1; x = k. 
 Entonces el área es: 
 
∫∫ +−++
k
1
1
0
dx)6x(dx)4x(
 
Integramos: 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+−++ ∫∫
k
1
2
1
0
2k
1
1
0
x6x
2
1x4x
2
1dx)6x(dx)4x( 
Material de uso exclusivamente educativo 
 
 
 
Matemática 
Y reemplazamos por los límites de integración, aplicando la regla de Barow: 
1k6k
2
1
6
2
1
2
9k6k
2
1
6
2
1k6k
2
1
2
9
61
2
1k6k
2
1041
2
1
2
2
2
222
−+−=
−+++−=
−++−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+−+=
 
Igualamos el área a 15 
 
151k6k
2
1 2 =−+− 
 
Y escribimos: 
016k6k
2
1
0151k6k
2
1
2
2
=−+−
=−−+−
 
 
Resolviendo la ecuación hallamos: k1 = 4 y k2 = 8. 
 
Para k = 4 la región se corresponde con el enunciado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para k = 8 la región es la del gráfico siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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