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Modalidad virtual
Matemática
Unidad 2
FUNCIONES
Las funciones lineal, cuadrática y polinómica
 Temas de la unidad
Funciones. Las funciones lineal, cuadrática y polinómica. Definición y ejemplos. Dominio, codominio,
imagen. Rectas en el plano. Gráfico de una función lineal. Intersección de rectas. Resolución de
sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas. Paralelismo y perpendicularidad de rectas en el
plano. Determinación de ceros, vértice y eje de una parábola. Intersección de curvas. Resolución de
problemas prácticos que involucren ecuaciones de segundo grado. Polinomios: algoritmo de división.
Teorema del resto. Factorización. Noción de continuidad. Localización de raíces.
 Bibliografía obligatoria
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,
1995; Capítulo 2, FUNCIONES.
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,
1995; Capítulo 3, FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS.
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,
1995; Capítulo 3, FUNCIONES POLINOMICAS.
 Práctico 2: Funciones
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Practico 2. Funciones 2
PRACTICO 2. FUNCIONES
1. En una ciudad se tomaron mediciones de la temperatura a lo largo
de un día del mes de julio. La gráfica muestra los registros de las
mismas.
a. De acuerdo a la información de la gráfica, completá la tabla:
b. Indicá las temperaturas máximas y mínimas del día.
c. ¿Entre qué horas se mantiene constante?
d. ¿Entre qué horas aumenta? ¿Y disminuye?
e. ¿Puede saberse con certeza cuál fue la medición de la temperatura a las 17 horas? ¿Por qué?
2. Indicá cuáles de los gráficos dados a continuación representan una función IRIR:f  .
 CAPITULO II
FUNCIONES
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Hora
Te
m
p
er
a
tu
ra
(º
C
)
Hora del día 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Temperatura (ºC)
a. b. c d
e. f . g.
h.
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Practico 2. Funciones 3
3. Indicá cuál o cuáles de las siguientes gráficas puede representar una función con dominio en el
conjunto {x/ 2 x 6} y cuyo conjunto de imágenes es {y/ -1 y4}.
4. La gráfica representa la función f
a. Decidí si es verdadero o falso que:
a.1. f(0) = f(3) = 0
a.2. f(-1) = 0
a.3. f(– 2) + f(0) = f(– 3)
b. Ubicá todos los puntos (x,(fx)), tales que f(x)=2.
c. Situá en el eje todos los valores de x para los que f(x) = 0
d. ¿En qué intervalos es f(x) > 0?
5. Sea
1x
x
f(x)


a. Da el dominio de f.
b. Decidí si el punto 




2
1
1;A pertenece a la gráfica de f.
c. ¿Para qué valores de x es f(x) = -2?
d. ¿Es cierto que -1 pertenece al dominio de f?
6. Para la función graficada se pide:
a. Dominio e Imagen.
b. C0; C+ y C-.
c. Intervalos de crecimiento.
d. Intervalos de decrecimiento.
e. Máximos y mínimos locales.
y y y y
x x xx
a. b. c. d.
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Practico 2. Funciones 4
7. Dibujá una función g que verifique cada una de las siguientes condiciones:
a. Su dominio son los números reales.
b. Es constante para los x menores que -1 y pasa por el punto (-3; -2).
c. Decrece en el intervalo (-1; 2) y además pasa por los puntos (-1; -2) y (2; -3)
d. Para los x mayores que 2, tiene raíces en 3 y 5; además g(4) = 1.
8. a. Graficá las siguientes funciones:
f1(x) = x f2(x) = 2x
f4(x) = - x f5(x) = -3x
f(x)7 = 2x f8(x) = 2x + 1 f9(x) = 2x – 1
b. Compará las gráficas dibujadas. ¿Qué conclusiones sacás?
9. En el conjunto de los números reales se define la relación f(x) = x + 2
a. Hallá f(5); f(0); f(90)
b. Si f(a) = 5; f(b) = 1 y f(c) = 201; hallar a, b y c.
c. Graficá f.
10. Da la expresión de cada una de las funciones lineales cuyas gráficas son:
 CAPITULO III
FUNCIONES
LINEALES
Y CUADRATICAS
Funciones Lineales
x
2
1)x(f 3 
x
3
1)x(f6 
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Practico 2. Funciones 5
11. a. Encontrá en cada caso, una función lineal f que satisfaga:
a.1. f(2) = 3 y f(4) = 0
a.2. f(-1) = 3 y f(1) = 3
a.3. f(0) = -2 y f(2) = 0
b. Graficá las funciones encontradas.
c. Hallá gráfica y analíticamente, la intersección con los ejes.
12. Hallá las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones indicadas y graficálas:
a. Pasa por (2; 4) y (5; 0)
b. Tiene pendiente
3
1
 y ordenada al origen –1
c. Todos sus puntos tienen abscisa –2
d. Todos sus puntos tienen ordenada -5
13. Representá las siguientes rectas. En cada caso, da la pendiente y ordenada al origen.
a. y = 5 x –3
b. y = -3 x + 2
c. x - 5 = - y
d. y – 1 = x
e. - y = -3 x –3
f. y - x - 4 = 0
14. Dada la función f tal que 1x
3
1
(x)f  se pide:
a. Representála.
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Practico 2. Funciones 6
b. Indicá cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de f.
P = (0; 0) Q = (3; 0) R = 





6
1-;
2
1- S = 




 2;
2
3
c. Hallá a tal que f(a)= -3.
15. Encontrá en cada caso, las rectas que satisfacen:
a. Tiene pendiente -3 y pasa por el punto (0; 3).
b. Tiene pendiente
2
1 y ordenada al origen -3.
c. De pendiente m = -5 y pasa por el origen de coordenadas.
d. Su pendiente es m = 0 y pasa por (3; -5).
16. Decidí, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a. Si f(x) = -3x + 2 entonces 




 3
2;-C
b. Existe una función lineal g que verifica g (4) – g (1) = 4 y g (-2) =
2
1
c. Existe una función lineal cuya gráfica contiene todos los puntos de la forma (3; y), siendo y un
número real.
17. Sean f y g funciones lineales tales que:
a. La gráfica de f es la recta de pendiente 1 que pasa por P=(1; 0)
b. La gráfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1).
Determiná analíticamente el conjunto A ={ x/f(x) = g(x)}
18. En cada uno de los siguientes casos, f y g son funciones lineales.
Determiná analíticamente el conjunto A ={ x/f(x) g(x)}.
a. f(x) = -2x + 3 g(x) = x
b. 4x-2g(x)5x
2
1f(x) 
c. f(x) = - x + 2 g(x) = -x – 1
d. 1-x
3
1
g(x)1-3x-)x(f 
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Practico 2. Funciones 7
19. La función que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, está dada por
x
14
1)x(f  , donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en
el cuerpo, medido en litros.
a. Graficá la función.
b. ¿Cuántos litros de sangre tiene una persona cuyo peso es de 58 kilos? ¿Y de 46 kilos?
c. Determiná el peso de las siguientes personas si se sabe que poseen:
c.1. 3 litros de sangre.
c.2. 36 dl
c.3. 2.500cc
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Practico 2. Funciones 8
20. Beber cerveza hace que el alcohol en la sangre aumente, lo cual puede resultar muy peligroso.
A medida que transcurre el tiempo, el nivel de alcohol en la sangre va disminuyendo. La tabla
muestra los valores obtenidos después de que una persona bebió cerveza.
Tiempo ( horas) 1 2 3 4 5 6 7
Alcohol en la sangre
( mg/ml)
90 75 60 45 30 15 0
a. Graficá de acuerdo con la tabla. (Considerá el tiempo en horas con 0 t 7)
b. Escribí la fórmula de una función que describa la relación que muestra la tabla.
21. Pablo trabaja durante 10 días repartiendo publicidad. Le pagan $12 diarios.
a. Elaborá una tabla que refleje el número de días trabajados, n, y el dinero ganado, g , en
pesos.
b. Hacé una representación gráfica con los valores de la tabla.
c. Si en lugar de trabajar 10 días trabajara 20, ¿ganaría el doble?
d. Buscá una expresión algebraica que relacione el número de días, n, con el dinero ganado, g.
22. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfría. Si la temperatura a nivel de
la tierra es de 20 ºC y a 1 km de altura es 10 ºC:
a. Escribí la relación entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe una
relación lineal.
b. Dibujá el gráfico.
c. Determiná la temperatura a 3 km de altura.
23. El ingreso total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado porr(x) = 450x y sus
costos mensuales totales están dados por c(x) = 380 x + 3500.
¿Cuántos niños se necesitan inscribir para llegar al punto de equilibrio?
(Punto de equilibrio quiere decir que los ingresos igualan a los costos).
24. Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto.
Por otra parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad.
a. ¿Cuántas unidades es necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total?
b. ¿Cuál es ese valor?
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Practico 2. Funciones 9
25. Graficá en el mismo sistema de ejes, las siguientes funciones:
a. f1(x) = x
2 f2(x) = -x
2 f3(x) = 2x
2 f4(x) =
2x
2
1
b. g1(x) = x
2 g2(x) = x
2 + 1 g3(x) = x
2 – 1
c. h1(x) = x2 h2(x) = (x –1)2 h3(x) = (x +1)2
d. k1(x) = x
2 k2(x) = (x – 2)
2 k3(x) = (x –2)
2 + 3
26. Para cada uno de los siguientes gráficos de funciones cuadráticas, da dominio, imagen y la
fórmula que la caracteriza.
27. La gráfica corresponde a una función cuadrática cuya ecuación es de la forma
f(x) = ax2 + bx + c, (a 0)
Respecto a la función f, ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son correctas?
Justificá las respuestas.
a. a < 0
b. f(2) > 1
c. c = -5
d. f(-5) = f(0)
e. f(1) = 1
f. f(-2) = f(1)
28. Decidí en cada caso si los puntos indicados pertenecen al gráfico de la función.
a. f(x) = x2 –1; A = (0; -1) y B = (1; 0)
b. g(x) = 2x
2
1 ; A = (1;
2
1 ) y B = (0; 0)
c. h(x) = x2 –2x + 1; A = (0; 1) y B = (-2; 7)
12
3 -1 1
3
5
3
18
a. b. c.
 CAPITULO III
FUNCIONES LINEALES
Y CUADRATICAS
Funciones cuadráticas
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Practico 2. Funciones 10
29. Determiná para las funciones que se indican:
a. C0; C+ y C-
b. Los valores máximos y mínimos relativos.
c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
i. f(x) = -x2 -2x + 1 ii. g(x) = 2 x (x-3) iii. h(x) = (x -1)2 + 3
30. Decidí, justificando, cuáles de los gráficos corresponden a las funciones:
a. f(x) = 2x
4
1 b. g(x) = (x-1)2 c. m(x) = 3x2 – 1 d. p(x) = x2 - x e. t(x) = –2x2 + 3
31. En cada caso, determiná la función cuadrática que verifica:
a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imágenes es el intervalo [-2; +)
b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4.
c. Im f = [-5; +); C+ = (-; -2) U (8; +)
d. Toma su valor máximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Además C0= {-3; 1}
32. Hallá analítica y gráficamente las intersecciones de los gráficos de los siguientes pares de
funciones:
a. f(x) = 2x2 + 4x + 10; g(x) = -2x +1
b. f(x) =3(x - 2)(x + 5); g(x) = 3(x + 4)
c. f(x) = -x2 + 4x – 4; g(x) es la función lineal que verifica que g(1) = 7 y g(-1) = 5.
Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3
Gráfico 4 Gráfico 5
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Practico 2. Funciones 11
33. Una empresa determina que en la fabricación de x unidades de un producto, el costo (en miles de
pesos) viene dado por C(x) = x2 + 2x + 5.
Se desea saber el número máximo de unidades que deben fabricarse para que el costo no
supere los 20 mil pesos.
34. La función de demanda para un producto es p(q) = 1000 - 2q, donde p es el precio (en pesos) por
unidad cuando q unidades son demandas por los consumidores.
Encontrá el nivel de producción que maximice el ingreso del productor y determinar ese ingreso.
(Ingreso total = precio x cantidad)
35. Durante un choque la fuerza F (en Newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo de
acuerdo con la expresión F(t) = 87t – 21t2, donde t está en segundos.
Se desea saber:
a. ¿En qué dominio es válida esta función?
b. ¿Para qué valor de t es máxima la fuerza? ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza?
36. Un grupo de biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas alimentadas con una dieta
que contenía un 10% de proteínas. Al variar el porcentaje de proteínas (p), el grupo de biólogos
estimó que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata fue:
100p020;2pp
50
1
-)p(f 2 
a. Graficá la función.
b. Calculá f(20) y f(45)
c. Encontrá el peso máximo ganado y cuál fue ese peso.
37. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y la
demanda de un determinado artículo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
La oferta quedó caracterizada por la función p(q) = 1/30 q2 + 24 en la que q representa las
unidades del artículo y p el precio por unidad.
La demanda tiene un comportamiento lineal, siendo la máxima demanda de 120 unidades, y por
cada aumento en 10 unidades el precio disminuye en $6
Se pide:
a. Hallar la función que caracteriza la demanda.
b. Representar gráficamente la función de oferta y demanda, en el mismo sistema de ejes.
c. Hallar analíticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el precio
para el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).
d. Hallar la expresión analítica de la función ingreso considerando la demanda.
e. Hallar el máximo ingreso.
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Practico 2. Funciones 12
38. Miguel quiere alcanzar un colectivo en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el
tiempo en cada caso son Mv = 400 t y Cv = 500 + 30 t
2 donde M y C representan la velocidad de
Miguel y el colectivo respectivamente, y t el tiempo medido en segundos.
a. Representar ambas gráficas.
b. ¿Puede Miguel alcanzar el colectivo? ¿En qué momento?
39. Un alambre de 10 cm de longitud se corta en dos trozos a una distancia x de uno de sus
extremos. Con uno de los trozos se arma un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero.
a. Expresá el área total encerrada por ambas figuras como una función de x.
b. ¿Dentro de qué dominio queda definida esta función?
40. Graficá en un mismo sistema de coordenadas las funciones f,
g y h indicadas, explicitando dominio y conjunto de
imágenes:
a. f(x) = x2 ; g(x) = x4; h(x) = x6
b. f(x) = x3 + 3; g(x) = (x+3)3; h (x) = -2(x+3)3 -1
c. f(x) = x4 + 4 ; g(x) = (x+4)4; h(x) = 2(x+4)4 + 2
41. Dada f(x) = 6x -9 + 2x5- 4x3 -3x4-6x2
a. Calculá f(1) ; f(-1); f(0); 2(f ) y 




2
3
f
b. ¿En qué caso puede afirmarse que se encontró un cero de la función?
42. Indicá cuáles de los números 1, -1, 2, -2 son ceros de las siguientes funciones:
f(x) = x3 – 7x -6 g(x) = x3- 6x2 -4x + 24 h(x) = x4 -2x3 -11x2 + 12x
43. Para cada una de las siguientes funciones, hallá C0.
Justificá que se han encontrado todos los ceros.
f1(x) = x
3 – 4x2 + 4x f2(x) = x
5 – 9x3
f3(x) = x4 -2x2 + 1 f4(x) = -2 (x-3) (x2 -1) (x2 +1)
f5(x) = x
3 - 6x2 + x - 6 f6(x) = -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
 CAPITULO IV
FUNCIONES
POLINOMICAS
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Practico 2. Funciones 13
44. a. La función f(x) = x4 + x3 -16x2 – 4x + 48 tiene cuatro raíces de las cuales se conocen x1= 3;
x2 = - 2 y x3 = 2. Halla la cuarta raíz y escribí a f como producto.
b. Hallá a para que la función f(x) = x4 - 3x3 -2x2 +12x + a corte al eje x en x = 1.
c. Dada g(x) = 2x5 – 3x4 -11x3 + 6x2, hallá todas sus raíces sabiendo que x= 3 es una de ellas.
d. Encontrá todas las raíces reales de h(x) = x4 + x3 -18x2 -16x + 32, sabiendo que el polinomio es
divisible por x2 -16.
e. Siendo f(x) = x3 – 2x2 + (3 – a) x + (a – 2); determiná a para que f(2) = f(1) = 0
45. Encontrá:
a. Una función polinómica f de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 




 0;
3
1
¿Es única?
b. Una función polinómica g de grado 3 cuyo gráfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 



 0;
3
1
, que
además verifique g(1) = 8
46. En cada uno de los siguientes casos, encontrá los intervalos de positividad y de negatividad de f.
a. C0 = {-1; 1}, f(-2) = 1; f(0) = 3 y f(2) = -3
b. f(1) = f(3) = f(-2) = 0; f(-5)= -10,
2
1
2
3f 




 , f(2) = -1 f(0) = -1 y f(5)= 100.
47. Para las siguientes funciones
f1(x) = 3x2 – x3 f2(x) = (x2 -1) (x2 +1) f3(x) = -2(x -1) (x-3)(x2- 4)
a. Encontrá todos los puntos donde la gráfica corta al eje x.
b. Analizá intervalos de positividad y negatividad.
c. Hacé un gráfico aproximado de f.
48. Si fx) = -2(x-1)2(x+2)( x-4)(x+5)
a. Determiná, justificando, el signo de f(x) en los siguientes intervalos:
(-; -5); (-5; -2); (-2; 1);(1; 4) y (4; +).
b. Hacé un gráfico posible de f.
49. Usá el teorema de Bolzano y sus consecuencias para aproximar con error menor que
100
1
, un
cero de f en el intervalo indicado.
a. f(x) = x3 -3x2 +3, en el intervalo (0; 2 ).
b. f(x) = x4 -2x2 -5, en el intervalo (0; 2).
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Practico 2. Funciones 14
50. Un meteorólogo encuentra que la temperatura G (en ºC) durante un día frío de invierno estuvo
dada por G(t) = 0,05 t ( t – 12) (t-24) donde t es el tiempo ( en horas) y t = 0 corresponde a las 6
de la mañana.
a. Graficá la curva
b. ¿A qué hora la temperatura fue de 0º C? ¿Entre qué horas la temperatura fue superior a los
0ºC? ¿Entre qué horas estuvo por debajo de 0º C?
51. Dos móviles se desplazan siguiendo las ecuaciones: e1(t) = t
3-t2 +1 y e2(t) = 6t -5, donde e es el
espacio (en kilómetros) y t el tiempo (en horas).
Luego de una hora de iniciado el recorrido, los dos móviles se encuentran por primera vez.
¿Se encontrarán en algún otro momento? En caso afirmativo, ¿a cuántos kilómetros de iniciado el
recorrido?
52. Suponiendo que el costo (en pesos) de producir x unidades de un cierto producto está dado por
la función
5x2x
6
1)x(C 3 
a. ¿Qué significado tiene para esta función el término independiente?
b. ¿Cuál es el costo de producir 10 unidades?
c. ¿Cuántas unidades fueron producidas cuando el costo fue de 53$?
53. La velocidad en pies sobre segundo (ft/seg) de un trasbordador espacial luego de t segundos de
haber partido está dada por la función polinómica:
t110t20t)t(v 23 
a. ¿Cuál es la velocidad del trasbordador luego de 10 segundos de haber partido?
b. Graficá la velocidad en función del tiempo.