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Modalidad virtual
Matemática
Unidad 3
ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCION RACIONAL
 Temas de la unidad
Estudio de funciones. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Composición. Función
inversa. Operaciones con funciones reales.
Noción de límite. Asíntotas.
Funciones racionales: dominio, ceros. Descomposición en fracciones simples.
 Bibliografía obligatoria
AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia
S.R.L., 1995; Capítulo V. Introducción al estudio de funciones. .
Práctico 3: Introducción al estudio de funciones.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
Practico 3. Introducción al estudio de funciones 2
PRACTICO 3. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE FUNCIONES.
1. Si f(x) = x + 5 y g(x) =
2
3x
a. Encontrá la fórmula de gf y da su dominio.
b. Calculá fg(2) y fg(-3)
2. Sean f: dada por f(x) = 3(x-1)
g: dada por g(x) = x3
a. Hallá la fórmula y el dominio de:
a.1. g f a.2. f g
b. Calculá:
b.1. g f(2) b.2. f g(-2)
b.3. g f( 3 ) b.4. f g( 3 )
b.5. f g(- 3 ) b.6. gf(- 3 )
3. Dadas las funciones:
g1(x) = x – 2 g2(x) = x + 2
g3(x) = -2x g4 (x) =
2
1
- x
a. A partir del gráfico de f(x) = x2, hacé los gráficos de:
a.1. f g1 a.2. f g2 a.3. f g3 a.4. f g4
a.5. g1f a.6. g2 f a.7 g3 f a.8. g4 f
b. Hallá las mismas composiciones para x)x(f 
c. Calculá el dominio de estas funciones.
4. Una piedra se arroja a un liquido y se forman círculos cuyo radio se incrementa en función
del tiempo t según la fórmula r(t) = 4t. Sabiendo que el área de cada círculo es A(r) = r2:
a. Hallar una función que exprese el área de cada círculo conocido el tiempo.
b. Calcular el área de un círculo transcurridos 5 segundos de ser arrojada la piedra.
5. Un globo esférico se infla con gas. El radio del globo aumenta a razón de 1,5 m/seg.
Expresar el volumen del globo como una función del tiempo t (en segundos)
 CAPITULO V
INTRODUCCION
AL ESTUDIO DE
FUNCIONES
Composición de
funciones
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 3
6. Se pone un recipiente con agua al fuego.
La función que da la variación de la temperatura del agua
(en ºC) con respecto al tiempo t (en minutos) es:
T(t) = 36 + 8t, para 0 t10.
a. Calculá para qué instante t la temperatura del agua es
de 76ºC.
b. Da la función que permite, dada una temperatura
cualquiera, calcular el tiempo transcurrido desde que se
pone a hervir el agua.
7.Graficá la función definida por la fórmula:
5|x|si8
5x0si|1-2x|
0x5-si2x
)x(f









a. Hallá el dominio de f.
b. Calculá f(-1), f(10); f(3).
c. Hallá x tal que f(x) = 1.
d. Decidí para qué valores de x es -3<f(x) <3.
8. Dibujá cada una de las siguientes funciones y hallá, gráfica y analíticamente, las soluciones
de f(x) = b.
a. f(x) = 3x + 2 b = -1
b. f(x) = x3 b = -8
c. f(x) = -(x-4)2 b = -6
d. f(x) = x b =
4
1
e.
1-x
1
f(x) b = 2
f.
1-x
1x
)x(f

 b = 0
g.






0x1-x
0x2|x|
f(x) b = -1
h.






-1xx
-1xx)x(f
2
b = 1
9. Calculá la función inversa, graficá y da su dominio.
a. f:  f(x) = -x + 2
b. f: [0; +)  [0; +) f(x) = x2
c. f: -{1} -{1}
1-x
1x
)x(f


 CAPITULO V
INTRODUCCION
AL ESTUDIO DE
FUNCIONES
Función inversa
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 4
10. Decidí, cuál de las siguientes, es la función inversa de la función lineal f que satisface f(5) = 1
y f(-4) = -2.
a. f-1(x) = 2x + 5
b.
3
2-
3
x)x(f 1 
c. f-1(x) = 2x - 5
d. f-1(x) = 3x + 2
11. Si f(x) = 3x + 2a, determiná a de modo que f(a2) = f-1(a + 2)
12. Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento en las
funciones graficadas
13. Indicá los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
2-xf(x).d4xf(x).c
1x
3
1-f(x).b32xf(x)a.
32 

14. a. Dibujá una función que sea creciente en el intervalo [-2; 10].
Para esa función,
b ¿Cómo es 3f?
c. ¿Y – f?
15. Se tiene la siguiente tabla donde figuran los precios de
calzados deportivos y sus correspondientes demandas
semanales en un comercio.
Si la función de demanda es lineal:
a. Hallar la ley de demanda.
b. ¿Cuál sería la demanda si el precio fuera de $150?
c. Hallar el precio para una demanda de 50 pares de calzado.
d. Determinar si la demanda crece o decrece de acuerdo con el precio.
Precio (en
pesos)
Cantidad
demandada
100 300
200 100
 CAPITULO V
INTRODUCCION
AL ESTUDIO DE
FUNCIONES
Funciones monótonas
a. b.
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 5
16. a. Dibujá una función continua que verifique simultáneamente las siguientes condiciones:
 f(0) = 3
 f(-1) = f(5) = f(8) = f(10) = 0
 Alcanza máximos locales en x = 2 y en x = 9,5 y es f(2) = 5 y f(9,5) = 7
 Alcanza un mínimo local en 6 y es f(6) = -4
b. Para la función dibujada, da:
b.1. Intervalos de positividad y negatividad
b.2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
17. En cada una de las siguientes gráficas indicá si existen
)x(flimy)x(flim
xx 
 CAPITULO V
INTRODUCCION
AL ESTUDIO DE
FUNCIONES
Asíntotas
a. b.
c. d.
f.e.
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 6
18. Calcular los siguientes límites.
4x
1xlimj.
7x
2xlimi.
1x
xlim.h
3x
1x3xlim.g
x
x-2
2
1limf.
3
1
x
5x
2
1
lime.
3x
2x
limd.
x
10
lim.c
x
3lim.b
x
1lima.
2x2
3
x
2-x3
2
x
x-x
x-x
2xx











 










19. a. La gráfica de la función
4x
4)x(f
2 
 es la siguiente:
Indicá:
)x(flíma.8.)x(flíma.7
)x(flíma.6.)x(flíma.5.
)x(flím.4.a)x(flím.3.a
)x(flím.2.a)x(flíma.1.
xx
2x2x
0x0x
2x2x







b. Para la siguiente gráfica indicá:
)x(flímb.6.)x(flímb.5.
)x(flímb.4.)x(flímb.3.
)x(flímb.2.)x(flímb.1
xx
0x0x
2x2x





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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 7
20. Para cada gráfico da los límites que se indican.
)x(flim);x(flim.f
)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.e
f(x)lím);x(flim);x(flimd.
)x(flim);x(flim.c
)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.b
)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.a
xx
0x0x1x1x
0x0x0x
xx
2x2xxx
2x2xxx










a. b.
c.
d.
e.
f.
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 8
21. Dibujá el gráfico de una función f que verifique:




)x(flím1)x(flím)x(flím-)x(flím.b
2-)x(flím2-)x(flím)x(flím)x(flím.a
xx0x0x
xx2x2x
22. Calculá los siguientes límites
6
1
x
1límf.
6
1
x
1lím.e
2
1
x
1lím.d
2
1
x
1lím.c
3x
1límb.
3x
1líma.
20x20x
2
1x
2
1x
3x3x












23. En cada caso, decidí si es posible que exista una función f que cumpla con las condiciones
dadas. Si lo es dibujá una gráfica posible.
a. 2)x(flim
0x


)x(flim
0x 
= 3 1)0(f 
b. )x(flímf(-3)yDom3-y)x(flím)x(flím
3x
f
3x3x 

c. 5f(2)y3)x(flím)x(flím
2x2x


24. Hallá, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones.
a.
4x
1
)x(f 2 
 b. 1
2x
1
)x(f 


c.
5x3
1x2
)x(f


 d.
3x
x2x5
)x(f
2



e.
1x
1x
)x(f 2 

 f. 1
)2x(
2
)x(f 2 

25. a. Calculá el valor de a para que la recta x= 5 sea una asíntota de la función
ax
3x
f(x)


 .
b. Decidí si la función tiene otras asíntotas. En caso afirmativo, hallarlas.
26. De una función f(x) sabemos que tiene una asíntota horizontal y dos verticales. ¿Cuál de
las siguientes puede ser? Justificá la respuesta.
3-x
1xc.
4x
1xb.
4x
32xa.
2
22
2 




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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 9
27. Dibujá el gráfico de las siguientes funciones y analizá para cada una dominio, conjunto de
imágenes, ceros e intervalos de positividad y negatividad.
1-
x
1h(x)c.
1-x
1g(x)b.
x
1f(x)a.
28. Dada
1-x
x)x(f  se pide:
a. Graficar f.
b. Indicar dominio e imagen de f.
c. Escribir ceros, asíntotas, intervalos de positividad y negatividad de f.
29. a. Encontrá
f(x)
1
h(x)y
x
1
f)x(g 



 sabiendo que
53x
1-x
)x(f


b. Graficá las funciones f, g y h.
c. Indicá dominio de cada una de ellas.
d. Analizá ceros, positividad y negatividad.
e. Calculá: f(2), h(2), g(2)
f. Hallá a, b y c que verifiquen
2
-1
h(c);
2
-1
g(b);
2
-1
)a(f 
30. a. Dada f:-{-4}  tal que
4x
1-2x
)x(f

 decidí, justificando si 1 y 2 pertenecen a Im f.
b. Sea g:-{2}  tal que
2-x
1
)x(g  ¿para qué valores del dominio es g(x) < 2?
¿Y mayor que 2?
31. Hallar dominio, imagen y asíntotas de la función h = f g si 3-2xg(x)y
1-x
1f(x)  .
32. Dadas
3
2x
)x(gy
x
4
)x(f

 ,
a. Hallar las funciones gf y f g.
b. Dar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de dichas funciones.
33. En un tanque con agua se vierte cloro y agua de manera que la concentración de cloro en
el tanque en función del tiempo está dada por:
300t5
t2
)t(C


a. ¿Qué ocurre con la concentración de cloro en el tanque cuando ha pasado mucho
tiempo?
b. Graficar aproximadamente la función C(t).
c. ¿Qué porción de la gráfica tiene sentido en el contexto del problema?
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Practico 3. Introducción al estudio de funciones 10
34. Suponer que durante un programa nacional de vacunación contra la gripe el Ministerio de
Salud Pública encontró que el costo de vacunar al x% de la población se puede aproximar
por la función C (costo en millones de pesos)
x200
x150)x(C


a. Graficar aproximadamente la función C(x) y especifica que porción de la grafica tiene
sentido en el contexto del problema.
b. ¿Cuánto cuesta vacunar al 50% de la población?
c. ¿Qué porcentaje de la población se ha vacunado cuando se llevan gastados 100
millones de pesos?
35. Para estudiar la velocidad a la cual los animales aprenden, se desarrolló un experimento
mediante el cual una rata fue enviada repetidamente a través de un laberinto de
laboratorio. Suponiendo que el tiempo requerido por la rata para salir del laberinto en el
intento número n está aproximada por la función
n
123)n(T 
a. Indicá el dominio de T(n).
b. ¿Qué ocurre con el tiempo que tarda la rata en salir del laberinto cuando n se hace muy
grande?
36. En una reserva ecológica se introducen 50 ciervos. Se cree que el número de ciervos
crecerá siguiendo el modelo
t04,01
)t35(10)t(N

 donde t es el tiempo en años.
a. Calculá el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años.
b. ¿A qué valor tenderá la población cuando t tiende a infinito?