1er 2016-1

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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 1 
Dadas las funciones 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 y 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución 
 
Para hallar analíticamente el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la 
condición dada para el conjunto. 
 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
2𝑥 − 4 ≥ 𝑥2 − 3𝑥 
2𝑥 − 4 − 𝑥2 + 3𝑥 ≥ 0 
−𝑥2 + 5𝑥 − 4 ≥ 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 4 ≤ 0 
Para resolver la última inecuación podemos trabajar con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −5 y 𝑐 = 4 
𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4
2 ∙ 1
=
5 ± √25 − 16
2
=
5 ± 3
2
 
entonces 
𝑥 = 4 ó 𝑥 = 1 
son las raíces de la función cuadrática ℎ. 
Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 1) 
 
 
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MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 − 5𝑥 + 4 ≤ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 1) ≤ 0 
El producto de los monomios en menor o igual a cero si: 
 Primer caso: 
 𝑥 − 4 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 1 ≥ 0 (𝐀) 
 ⟺ 𝑥 ≤ 4 𝑦 𝑥 ≥ 1 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; 4] ∩ [1; +∞) = [1; 4] 
Luego, el conjunto solución para (A) son los valores de 𝑥 ∈ [1; 4]. 
𝐒𝐨𝐥𝑨 = [𝟏; 𝟒] 
 
 Segundo caso 
 𝑥 − 4 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 1 ≤ 0 (𝐁) 
 ⟺ 𝑥 ≥ 4 𝑦 𝑥 ≤ 1 
 ⟺ 𝑥 ∈ [4; +∞) ∩ (−∞; 1] = ∅ 
No existe ningún valor de 𝑥 que satisface la situación (B) 
𝐒𝐨𝐥𝑩 = ∅ 
 
El conjunto solución de (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 1) ≤ 0 es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 ∪ 𝐒𝐨𝐥𝑩 = [𝟏; 𝟒] ∪ ∅ = [𝟏; 𝟒] 
 
Finalmente, 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ [1; 4] 
 
 
 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 2 
Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 − (𝑏 − 1)𝑥 + 𝑎, determinar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que se cumpla que 
𝑓(0) = 2 y el punto 𝑃 = (2, −4) pertenezca a la gráfica de 𝑓. 
 
Solución 
 
Aplicamos las condiciones dadas: 
𝑓(0) = 03 − 𝑎 ∙ 02 − (𝑏 − 1) ∙ 0 + 𝑎 = 𝑎 
𝑓(0) = 2 
⇒ 𝑎 = 2 
Entonces 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − (𝑏 − 1)𝑥 + 2. 
Como el punto (2; −4) pertenece al gráfico de f : 
𝑓(2) = −4 
23 − 2 ∙ 22 − (𝑏 − 1) ∙ 2 + 2 = −4 
8 − 8 − 2𝑏 + 2 + 2 = −4 
−2𝑏 + 4 = −4 
−2𝑏 = −8 
𝑏 = 4 
Finalmente, 
 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 3 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
4 − 3𝑎2𝑥
5𝑎𝑥 − 2
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −2/5 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒂. Si 𝑓 tiene una asíntota vertical en 
5
2
x sabemos que para ese 
valor se anula el denominador: 
5𝑎 (−
2
5
) − 2 = 0 
−2𝑎 − 2 = 0 
𝑎 = −1 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
 4 − 3𝑥
−5𝑥 − 2
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → −∞ y cuando 𝑥 →
+∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
 4 − 3𝑥
 −5𝑥 − 2
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (
4
𝑥 − 3)
𝑥 (−5 −
2
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(
4
𝑥 − 3)
(−5 −
2
𝑥)
=
3
5
 
 
lim
𝑥→−∞
 
 4 − 3𝑥
 −5𝑥 − 2
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (
4
𝑥
− 3)
𝑥 (−5 −
2
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(
4
𝑥
− 3)
(−5 −
2
𝑥)
=
3
5
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 =
3
5
 
 
 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 4 
Sea 
𝑓(𝑥) =
5𝑥 + 1
𝑥 − 2
 
hallar 𝑓−1(𝑥). 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar determinamos el dominio de la función. 
La función estará bien definida siempre y cuando el denominador sea distinto de cero. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 − 2 ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ 2} = ℝ − {2} 
Para hallar la función inversa planteamos 
𝑓(𝑥) = 𝑦 
y operamos hasta encontrar una expresión de 𝑥 en función de 𝑦: 
 
5𝑥 + 1
𝑥 − 2
= 𝑦 
5𝑥 + 1 = 𝑦 ∙ (𝑥 − 2) 
5𝑥 + 1 = 𝑦𝑥 − 2𝑦 
5𝑥 − 𝑦𝑥 = −2𝑦 − 1 
𝑥(5 − 𝑦) = −2𝑦 − 1 
𝑥 =
−2𝑦 − 1
5 − 𝑦
=
2𝑦 + 1
𝑦 − 5
 
𝑓−1(𝑦) = 𝑥 =
2𝑦 + 1
𝑦 − 5
 
Como el nombre que le demos a la variable no importa 
𝑓−1(𝑥) =
2𝑥 + 1
𝑥 − 5
 
La función inversa estará definida siempre y cuando 𝑥 − 5 ≠ 0. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 − 5 ≠ 0} = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≠ 5} = ℝ − {5} 
 
Entonces, 𝑓: ℝ − {2} → ℝ − {5} es biyectiva y existe la función inversa.
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 5 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
) = √
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida sí y solo sí (𝑥 + 2) (2𝑥 + 1)⁄ ≥ 0 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥) =
√𝑥 + 2
2√𝑥 + 1
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está bien definida sí y solo sí 𝑥 ≥ 0. 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 1 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 9 determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución y comentarios 
Para hallar analíticamente el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la 
condición dada para el conjunto. 
 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
𝑥2 + 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥 + 9 
𝑥2 + 𝑥 + 3 − 2𝑥 − 9 ≥ 0 
𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 
 
Para resolver la última inecuación podemos trabajar con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −1 y 𝑐 = −6 
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2 ∙ 1
=
1 ± √1 + 24
2
=
1 ± 5
2
 
Entonces 
𝑥 = −2 ó 𝑥 = 3 
son las raíces de ℎ. 
 
Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − (−2)) ∙ (𝑥 − 3) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 2 
 
Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) ≥ 0 
Para que el producto de los monomios sea mayor o igual a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
 𝑥 + 2 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 3 ≤ 0 (𝐀) 
 ⟺ 𝑥 ≤ −2 𝑦 𝑥 ≤ 3 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; −2] ∩ (−∞; 3] = (−∞; −2] 
Luego, el conjunto solución para (A) son los valores de 𝑥 ∈ (−∞; −2]. 
𝐒𝐨𝐥𝑨 = (−∞; −𝟐] 
 
 Segundo caso 
 𝑥 + 2 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 3 ≥ 0 (𝐁) 
 ⟺ 𝑥 ≥ −2 𝑦 𝑥 ≥ 3 
 ⟺ 𝑥 ∈ [−2; +∞) ∩ [3; +∞) = [3; +∞) 
Luego, el conjunto solución para (B) son los valores de 𝑥 ∈ [3; +∞). 
𝐒𝐨𝐥𝑩 = [3; +∞) 
 
El conjunto solución de (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) ≥ 0 es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 ∪ 𝐒𝐨𝐥𝑩 = (−∞; −𝟐] ∪ [𝟑; +∞) 
 
Finalmente, 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −𝟐] ∪ [𝟑; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 2 
Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 − (𝑏 + 1)𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑎, determinar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que se cumpla que 
𝑓(0) = 1 y el punto 𝑃 = (−1, −2) pertenezca a la gráfica de 𝑓. 
 
Solución y comentarios 
Aplicamos las condiciones dadas: 
𝑓(0) = 03 − (𝑏 + 1) ∙ 02 − 𝑎 ∙ 0 − 𝑎 = −𝑎 
𝑓(0) = 1 
 ⇒ −𝑎 = 1 ⟺ 𝑎 = −1 
Entonces 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 − (𝑏 + 1) ∙ 𝑥2 + 𝑥 + 1 
Como el punto (−1; −2) pertenece al gráfico de f : 
𝑓(−1) = −2 
−(−1)3 − (𝑏 + 1) ∙ (−1)2 + (−1) + 1 = −2 
1 − (𝑏 + 1) − 1 + 1 = −2 
1 − 𝑏 − 1 = −2 
𝑏 = 2 
Finalmente, 
 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1 
 
 
 
 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 3 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑏 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
1 − 𝑏2𝑥
2𝑏𝑥 + 3
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1/2. 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒃. Si la función 𝑓 tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1/2 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
2𝑏 (
1
2
) + 3 = 0 
𝑏 + 3 = 0 
𝑏 = −3 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
 1 − 9𝑥
−6𝑥 + 3
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 →
−∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
 1 − 9𝑥
 −6𝑥 + 3
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (
1
𝑥 − 9)
𝑥 (−6 +
3
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(
1
𝑥 − 9)
(−6 +
3
𝑥)
=
−9
−6
=
3
2
 
 
lim
𝑥→−∞
 
 1 − 9𝑥
 −6𝑥 + 3
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (
1
𝑥 − 9)
𝑥 (−6 +
3
𝑥
)
= lim
𝑥→−∞
(
1
𝑥 − 9)
(−6 +
3
𝑥
)
=
−9
−6
=
3
2
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 =
3
2
 
 
 
 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 4 
Sea 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
 
hallar 𝑓−1(𝑥). 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar determinamos el dominio de la función. 
La función estará bien definida siempre y cuando el denominadorsea distinto de cero. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 2𝑥 + 1 ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −
1
2
} = ℝ − {−
1
2
} 
Para hallar la función inversa planteamos 
𝑓(𝑥) = 𝑦 
y operamos hasta encontrar una expresión de 𝑥 en función de 𝑦: 
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
= 𝑦 
𝑥 + 2 = 𝑦 ∙ (2𝑥 + 1) 
𝑥 + 2 = 2𝑦𝑥 + 𝑦 
𝑥 − 2𝑦𝑥 = 𝑦 − 2 
𝑥(1 − 2𝑦) = 𝑦 − 2 
𝑥 =
𝑦 − 2
1 − 2𝑦
 
Como el nombre que le demos a la variable no importa 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 2
1 − 2𝑥
 
La función inversa estará definida siempre y cuando 1 − 2𝑥 ≠ 0. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 1 − 2𝑥 ≠ 0} = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≠
1
2
} = ℝ − {
1
2
} 
 
 
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Ejercicio 5 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) = 5 − 3𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 1 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔 
 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(5 − 3𝑥) = √(5 − 3𝑥)2 + 1 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida en todo el conjunto de los números reales. 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (√𝑥2 + 1) = 5 − 3√𝑥2 + 1 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está definida en todo el conjunto de los números reales. 
 
 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 1 
Sea 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
 
hallar 𝑓−1(𝑥). 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar determinamos el dominio de la función. 
La función estará bien definida siempre y cuando el denominador sea distinto de cero. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 2𝑥 + 1 ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −
1
2
} = ℝ − {−
1
2
} 
Para hallar la función inversa planteamos 
𝑓(𝑥) = 𝑦 
y operamos hasta encontrar una expresión de 𝑥 en función de 𝑦: 
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
= 𝑦 
𝑥 + 2 = 𝑦 ∙ (2𝑥 + 1) 
𝑥 + 2 = 2𝑦𝑥 + 𝑦 
𝑥 − 2𝑦𝑥 = 𝑦 − 2 
𝑥(1 − 2𝑦) = 𝑦 − 2 
𝑥 =
𝑦 − 2
1 − 2𝑦
 
Como el nombre que le demos a la variable no importa 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 2
1 − 2𝑥
 
La función inversa estará definida siempre y cuando 1 − 2𝑥 ≠ 0. Entonces, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 1 − 2𝑥 ≠ 0} = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≠
1
2
} = ℝ − {
1
2
} 
 
 
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Ejercicio 2 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) = 5 − 3𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 1 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔 
 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(5 − 3𝑥) = √(5 − 3𝑥)2 + 1 
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida en todo el conjunto de los números reales. 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (√𝑥2 + 1) = 5 − 3√𝑥2 + 1 
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está definida en todo el conjunto de los números reales. 
 
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Ejercicio 3 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 9 determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución y comentarios 
Para hallar analíticamente el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la 
condición dada para el conjunto. 
 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
𝑥2 + 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥 + 9 
𝑥2 + 𝑥 + 3 − 2𝑥 − 9 ≥ 0 
𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 
 
Para resolver la última inecuación podemos trabajar con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −1 y 𝑐 = −6 
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2 ∙ 1
=
1 ± √1 + 24
2
=
1 ± 5
2
 
Entonces 
𝑥 = −2 ó 𝑥 = 3 
son las raíces de ℎ. 
 
Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − (−2)) ∙ (𝑥 − 3) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) 
 
 
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Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) ≥ 0 
Para que el producto de los monomios sea mayor o igual a cero hay dos posibilidades: 
 Primer caso: 
 𝑥 + 2 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 3 ≤ 0 (𝐀) 
 ⟺ 𝑥 ≤ −2 𝑦 𝑥 ≤ 3 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; −2] ∩ (−∞; 3] = (−∞; −2] 
Luego, el conjunto solución para (A) son los valores de 𝑥 ∈ (−∞; −2]. 
𝐒𝐨𝐥𝑨 = (−∞; −𝟐] 
 
 Segundo caso 
 𝑥 + 2 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 3 ≥ 0 (𝐁) 
 ⟺ 𝑥 ≥ −2 𝑦 𝑥 ≥ 3 
 ⟺ 𝑥 ∈ [−2; +∞) ∩ [3; +∞) = [3; +∞) 
Luego, el conjunto solución para (B) son los valores de 𝑥 ∈ [3; +∞). 
𝐒𝐨𝐥𝑩 = [3; +∞) 
 
El conjunto solución de (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 3) ≥ 0 es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 ∪ 𝐒𝐨𝐥𝑩 = (−∞; −𝟐] ∪ [𝟑; +∞) 
 
Finalmente, 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −𝟐] ∪ [𝟑; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 4 
Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 − (𝑏 + 1)𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑎, determinar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que se cumpla que 
𝑓(0) = 1 y el punto 𝑃 = (−1, −2) pertenezca a la gráfica de 𝑓. 
 
Solución y comentarios 
 
Aplicamos las condiciones dadas: 
𝑓(0) = 03 − (𝑏 + 1) ∙ 02 − 𝑎 ∙ 0 − 𝑎 = −𝑎 
𝑓(0) = 1 
 ⇒ −𝑎 = 1 ⟺ 𝑎 = −1 
Entonces 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 − (𝑏 + 1) ∙ 𝑥2 + 𝑥 + 1 
Como el punto (−1; −2) pertenece al gráfico de f : 
𝑓(−1) = −2 
−(−1)3 − (𝑏 + 1) ∙ (−1)2 + (−1) + 1 = −2 
1 − (𝑏 + 1) − 1 + 1 = −2 
1 − 𝑏 − 1 = −2 
𝑏 = 2 
Finalmente, 
 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Primer Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 5 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑏 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
1 − 𝑏2𝑥
2𝑏𝑥 + 3
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1/2. 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒃. Si la función 𝑓 tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1/2 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
2𝑏 (
1
2
) + 3 = 0 
𝑏 + 3 = 0 
𝑏 = −3 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
 1 − 9𝑥
−6𝑥 + 3
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 →
−∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
 1 − 9𝑥
 −6𝑥 + 3
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (
1
𝑥 − 9)
𝑥 (−6 +
3
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(
1
𝑥 − 9)
(−6 +
3
𝑥)
=
−9
−6
=
3
2
 
 
lim
𝑥→−∞
 
 1 − 9𝑥
 −6𝑥 + 3
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (
1
𝑥 − 9)
𝑥 (−6 +
3
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(
1
𝑥 − 9)
(−6 +
3
𝑥)
=
−9
−6
=
3
2
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 =
3
2
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 1 
Encontrar analíticamente el punto medio entre los puntos 𝐴 = (2; 1) y 𝐵 = (−2; 3). Representar 
gráficamente los tres puntos. 
 
Solución 
 
Sea 𝑀 = (𝑥; 𝑦) las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 
 𝐴 = (2; 1) y 𝐵 = (−2; 3). 
La abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de sus extremos, en este caso el 
promedio de las abscisas de los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Procediendo de manera similar se encuentra la ordenada del punto. 
𝑥 =
2 + (−2)
2
= 0 
𝑦 =
1 + 3
2
= 2 
 
El punto medio es 𝑃 = (0; 2) 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 − 8 y 
𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 2 
 
Solución 
 
Para hallar el ó los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de 𝑥 que 
cumplen: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
2(𝑥 − 3)2 − 8 = −2𝑥 − 2 
2(𝑥2 + 2 ∙ (−3) ∙ 𝑥 + (−3)2) − 8 + 2𝑥 + 2 = 0 
2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥2 − 12𝑥 + 18 + 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
Para resolver la última ecuación (cuadrática) usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −5 y 𝑐 = 6 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
=
5 ± √1
2
=
5 ± 1
2
 
entonces 
𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 2 
 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones que llamaremos 𝑃 y 𝑄. 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥1 = 3. El valor de la ordenada 𝑦1 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦1 = −2(3) − 2 = −8 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = 2. El valor de la ordenada 𝑦2 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦2 = −2(2) − 2 = −6 
 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃 = (3; −8) 𝑦 𝑄 = (2; −6) 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
4 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 3 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
3 −
1
2 𝑥
2𝑎𝑥 − 4
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1 
 
Solución y comentarios 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒂. Si la función f tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
2𝑎(−1) − 4 = 0 
−2𝑎 − 4 = 0 
𝑎 = −2 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
3 −
1
2 𝑥
−4𝑥 − 4
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → −∞ y cuando 
𝑥 → +∞. 
 
lim
𝑥→−∞
 
3 −
1
2
𝑥
−4𝑥 − 4
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (
3
𝑥 −
1
2)
𝑥 (−4 −
4
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(
3
𝑥 −
1
2)
(−4 −
4
𝑥)
=
−
1
2
−4
=
1
8
 
 
lim
𝑥→+∞
 
3 −
1
2
𝑥
−4𝑥 − 4
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (
3
𝑥 −
1
2)
𝑥 (−4 −
4
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(
3
𝑥 −
1
2)
(−4 −
4
𝑥)
=
−
1
2
−4
=
1
8
 
 
 
Luego la ecuaciónde la asíntota horizontal es 
𝑦 =
1
8
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
5 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 4 
Resolver la inecuación: |3 − 2𝑥| > 5 y representar gráficamente la solución. 
 
Solución y comentarios 
 
Buscamos el conjunto 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |3 − 2𝑥| > 5 } 
|3 − 2𝑥| > 5 ⟺ 3 − 2𝑥 > 5 ∨ 3 − 2𝑥 < −5 
 
 3 − 2𝑥 > 5 ⟺ −2𝑥 > 2 ⟺ −𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 < −1 
⟺ 𝒙 ∈ (−∞; −𝟏) 
 3 − 2𝑥 < −5 ⟺ −2𝑥 < −8 ⟺ −𝑥 < −4 ⟺ 𝑥 > 4 
⟺ 𝒙 ∈ (𝟒; +∞) 
Luego 
𝑺 = (−∞; −𝟏) ∪ (𝟒; +∞) 
 
 
Representación gráfica: 
 
 
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6 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 1 
 
Ejercicio 5 
Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por 
𝑔(𝑥) = √2𝑥 y 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 4 
Encontrar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓 y indicando su dominio. 
 
Solución y comentarios 
 
Primero vamos a hallar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(9𝑥2 − 4) = √2(9𝑥2 − 4) 
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida si 
2(9𝑥2 − 4) ≥ 0 ⟺ (9𝑥2 − 4) ≥ 0 ⟺ 9𝑥2 ≥ 4 ⟺ 𝑥2 ≥
4
9
 
⟺ |𝑥| ≥ √
4
9
=
2
3
 ⟺ 𝑥 ≥ 
2
3
 ∨ 𝑥 ≤ − 
2
3
 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = (−∞; −
2
3
] ∪ [
2
3
; +∞) 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 1 
Encontrar analíticamente el punto medio entre los puntos 𝐴 = (−1; 5) y 𝐵 = (−3; −1). Representar 
gráficamente los tres puntos. 
 
Solución y comentarios 
 
Sea 𝑀 = (𝑥; 𝑦) las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 
 𝐴 = (−1; 5) y 𝐵 = (−3; −1). 
La abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de sus extremos, en este caso el 
promedio de las abscisas de los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Procediendo de manera similar se encuentra la ordenada del punto. 
𝑥 =
−1 + (−3)
2
= −
4
2
= −2 
𝑦 =
5 + (−1)
2
= 2 
 
El punto medio es 𝑃 = (−2; 2) 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 2 
Hallar analíticamente los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 3)2 − 2 y 
𝑔(𝑥) = −4𝑥 − 14 
 
Solución y comentarios 
 
Para hallar el ó los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de 𝑥 que cumplen: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
2(𝑥 + 3)2 − 2 = −4𝑥 − 14 
2(𝑥2 + 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 + (3)2) − 2 + 4𝑥 + 14 = 0 
2(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 4𝑥 + 12 = 0 
2𝑥2 + 12𝑥 + 18 + 4𝑥 + 12 = 0 
2𝑥2 + 16𝑥 + 30 = 0 
𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 
Para resolver la última ecuación (cuadrática) usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = 8 y 𝑐 = 15 
𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−8 ± √82 − 4 ∙ 1 ∙ 15
2 ∙ 1
=
−8 ± √4
2
=
−8 ± 2
2
 
entonces 
𝑥1 = −5 𝑦 𝑥2 = −3 
 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones que llamaremos 𝑄 y 𝑃. 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥1 = −5. El valor de la ordenada 𝑦1 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦1 = −4(−5) − 14 = 6 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −3. El valor de la ordenada 𝑦2 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦2 = −4(−3) − 14 = −2 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑄 = (−5; 6) 𝑦 𝑃 = (−3; −2) 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 3 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 1
5 − 2𝑎𝑥
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 5/4. 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒂. Si la función 𝑓 tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 5/4 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
 
5 − 2𝑎(5/4) = 0 
−𝑎
5
2
= −5 
𝑎 = 2 
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → −∞ y cuando 
𝑥 → +∞. 
 
lim
𝑥→−∞
 
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (3 +
1
𝑥
)
𝑥 (
5
𝑥 − 4)
= lim
𝑥→−∞
(3 +
1
𝑥
)
(
5
𝑥 − 4)
= −
3
4
 
 
lim
𝑥→+∞
 
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (3 +
1
𝑥)
𝑥 (
5
𝑥 − 4)
= lim
𝑥→+∞
(3 +
1
𝑥)
(
5
𝑥 − 4)
= −
3
4
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 = −
3
4
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
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MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 4 
Resolver la inecuación: |2 − 4𝑥| > 6 y representar gráficamente la solución. 
 
Solución y comentarios 
 
Buscamos el conjunto 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |2 − 4𝑥| > 6 } 
|2 − 4𝑥| > 6 ⟺ 2 − 4𝑥 > 6 ∨ 2 − 4𝑥 < −6 
 
 2 − 4𝑥 > 6 ⟺ −4𝑥 > 4 ⟺ −𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 < −1 
⟺ 𝒙 ∈ (−∞; −𝟏) 
 2 − 4𝑥 < −6 ⟺ −4𝑥 < −8 ⟺ −𝑥 < −2 ⟺ 𝑥 > 2 
⟺ 𝒙 ∈ (𝟐; +∞) 
Luego 
𝑺 = (−∞; −𝟏) ∪ (𝟐; +∞) 
 
 
Representación gráfica: 
 
 
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Ejercicio 5 
Dadas las funciones f y g definidas por: 𝑔(𝑥) = √3𝑥 y 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 9, encontrar la fórmula de (𝑔 ∘ 𝑓) 
indicando su dominio. 
 
Solución y comentarios 
Primero vamos a hallar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(9𝑥2 − 4) = √3(4𝑥2 − 9) 
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida si 
3(4𝑥2 − 9) ≥ 0 ⟺ (4𝑥2 − 9) ≥ 0 ⟺ 4𝑥2 ≥ 9 ⟺ 𝑥2 ≥
9
4
 
⟺ |𝑥| ≥ √
9
4
=
3
2
 ⟺ 𝑥 ≥ 
3
2
 ∨ 𝑥 ≤ − 
3
2
 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = (−∞; −
3
2
] ∪ [
3
2
; +∞) 
 
 
 
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Ejercicio 1 
Resolver la inecuación: |3 − 2𝑥| > 5 y representar gráficamente la solución. 
 
Solución y comentarios 
 
Buscamos el conjunto 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |3 − 2𝑥| > 5 } 
|3 − 2𝑥| > 5 ⟺ 3 − 2𝑥 > 5 ∨ 3 − 2𝑥 < −5 
 
 3 − 2𝑥 > 5 ⟺ −2𝑥 > 2 ⟺ −𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 < −1 
⟺ 𝒙 ∈ (−∞; −𝟏) 
 3 − 2𝑥 < −5 ⟺ −2𝑥 < −8 ⟺ −𝑥 < −4 ⟺ 𝑥 > 4 
⟺ 𝒙 ∈ (𝟒; +∞) 
Luego 
𝑺 = (−∞; −𝟏) ∪ (𝟒; +∞) 
 
 
Representación gráfica: 
 
 
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Ejercicio 2 
Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por 
𝑔(𝑥) = √2𝑥 y 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 4 
Encontrar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓 y indicando su dominio. 
 
Solución y comentarios 
 
Primero vamos a hallar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(9𝑥2 − 4) = √2(9𝑥2 − 4) 
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida si 
2(9𝑥2 − 4) ≥ 0 ⟺ (9𝑥2 − 4) ≥ 0 ⟺ 9𝑥2 ≥ 4 ⟺ 𝑥2 ≥
4
9
 
⟺ |𝑥| ≥ √
4
9
=
2
3
 ⟺ 𝑥 ≥ 
2
3
 ∨ 𝑥 ≤ − 
2
3
 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = (−∞; −
2
3
] ∪ [
2
3
; +∞) 
 
__________________________________________________________________________ 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 3 
Encontrar analíticamente el punto medio entre los puntos 𝐴 = (2; 1) y 𝐵 = (−2; 3). Representar 
gráficamente los tres puntos. 
 
Solución y comentarios 
 
Sea 𝑀 = (𝑥; 𝑦) las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 
 𝐴 = (2; 1) y 𝐵 = (−2; 3). 
La abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de sus extremos, en este caso el 
promedio de las abscisas de los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Procediendo de manera similar se encuentra la ordenada del punto. 
𝑥 =
2 + (−2)
2
= 0 
𝑦 =
1 + 3
2
= 2 
 
El punto medio es 𝑃 = (0; 2) 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 3)2 − 8 y 
𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 2 
 
Solución y comentarios 
 
Para hallar el ó los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de 𝑥 que 
cumplen: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
2(𝑥 − 3)2 − 8 = −2𝑥 − 2 
2(𝑥2 + 2 ∙ (−3) ∙ 𝑥 + (−3)2) − 8 + 2𝑥 + 2 = 0 
2(𝑥2 − 6𝑥 + 9) + 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥2 − 12𝑥 + 18 + 2𝑥 − 6 = 0 
2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
Para resolver la última ecuación (cuadrática) usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −5 y 𝑐 = 6 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
=
5 ± √1
2
=
5 ± 1
2
 
entonces 
𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 2 
 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones que llamaremos 𝑃 y 𝑄. 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥1 = 3. El valor de la ordenada 𝑦1 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦1 = −2(3) − 2 = −8 
 
 
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El otro punto tiene por abscisa 𝑥2= 2. El valor de la ordenada 𝑦2 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦2 = −2(2) − 2 = −6 
 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 
𝑃 = (3; −8) 𝑦 𝑄 = (2; −6) 
 
 
 
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Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 5 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
3 −
1
2 𝑥
2𝑎𝑥 − 4
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒂. Si la función f tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −1 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
2𝑎(−1) − 4 = 0 
−2𝑎 − 4 = 0 
𝑎 = −2 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
3 −
1
2 𝑥
−4𝑥 − 4
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → −∞ y cuando 
𝑥 → +∞. 
 
lim
𝑥→−∞
 
3 −
1
2 𝑥
−4𝑥 − 4
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (
3
𝑥 −
1
2)
𝑥 (−4 −
4
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(
3
𝑥 −
1
2)
(−4 −
4
𝑥)
=
−
1
2
−4
=
1
8
 
 
lim
𝑥→+∞
 
3 −
1
2 𝑥
−4𝑥 − 4
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (
3
𝑥 −
1
2)
𝑥 (−4 −
4
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(
3
𝑥 −
1
2)
(−4 −
4
𝑥)
=
−
1
2
−4
=
1
8
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 =
1
8
 
 
__________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 1 
Resolver la inecuación: |2 − 4𝑥| > 6 y representar gráficamente la solución. 
 
Solución y comentarios 
 
Buscamos el conjunto 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |2 − 4𝑥| > 6 } 
|2 − 4𝑥| > 6 ⟺ 2 − 4𝑥 > 6 ∨ 2 − 4𝑥 < −6 
 
 2 − 4𝑥 > 6 ⟺ −4𝑥 > 4 ⟺ −𝑥 > 1 ⟺ 𝑥 < −1 
⟺ 𝒙 ∈ (−∞; −𝟏) 
 2 − 4𝑥 < −6 ⟺ −4𝑥 < −8 ⟺ −𝑥 < −2 ⟺ 𝑥 > 2 
⟺ 𝒙 ∈ (𝟐; +∞) 
Luego 
𝑺 = (−∞; −𝟏) ∪ (𝟐; +∞) 
 
 
Representación gráfica: 
 
 
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2 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 4 
 
Ejercicio 2 
Dadas las funciones f y g definidas por: 𝑔(𝑥) = √3𝑥 y 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 9, encontrar la fórmula de (𝑔 ∘ 𝑓) 
indicando su dominio. 
 
Solución y comentarios 
Primero vamos a hallar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(9𝑥2 − 4) = √3(4𝑥2 − 9) 
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida si 
3(4𝑥2 − 9) ≥ 0 ⟺ (4𝑥2 − 9) ≥ 0 ⟺ 4𝑥2 ≥ 9 ⟺ 𝑥2 ≥
9
4
 
⟺ |𝑥| ≥ √
9
4
=
3
2
 ⟺ 𝑥 ≥ 
3
2
 ∨ 𝑥 ≤ − 
3
2
 
Entonces, 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = (−∞; −
3
2
] ∪ [
3
2
; +∞) 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
3 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Segundo Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 3 
Encontrar analíticamente el punto medio entre los puntos 𝐴 = (−1; 5) y 𝐵 = (−3; −1). Representar 
gráficamente los tres puntos. 
 
Solución y comentarios 
 
Sea 𝑀 = (𝑥; 𝑦) las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 
 𝐴 = (−1; 5) y 𝐵 = (−3; −1). 
La abscisa del punto medio de un segmento es el promedio de las abscisas de sus extremos, en este caso el 
promedio de las abscisas de los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Procediendo de manera similar se encuentra la ordenada del punto. 
𝑥 =
−1 + (−3)
2
= −
4
2
= −2 
𝑦 =
5 + (−1)
2
= 2 
 
El punto medio es 𝑃 = (−2; 2) 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 4 
Hallar analíticamente los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 3)2 − 2 y 
𝑔(𝑥) = −4𝑥 − 14 
 
Solución y comentarios 
 
Para hallar el ó los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de 𝑥 que 
cumplen: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
2(𝑥 + 3)2 − 2 = −4𝑥 − 14 
2(𝑥2 + 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 + (3)2) − 2 + 4𝑥 + 14 = 0 
2(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 4𝑥 + 12 = 0 
2𝑥2 + 12𝑥 + 18 + 4𝑥 + 12 = 0 
2𝑥2 + 16𝑥 + 30 = 0 
𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 
Para resolver la última ecuación (cuadrática) usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = 8 y 𝑐 = 15 
𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−8 ± √82 − 4 ∙ 1 ∙ 15
2 ∙ 1
=
−8 ± √4
2
=
−8 ± 2
2
 
entonces 
𝑥1 = −5 𝑦 𝑥2 = −3 
 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones que llamaremos 𝑄 y 𝑃. 
Uno de ellos tiene por abscisa 𝑥1 = −5. El valor de la ordenada 𝑦1 lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: 
𝑦1 = −4(−5) − 14 = 6 
El otro punto tiene por abscisa 𝑥2 = −3. El valor de la ordenada 𝑦2 lo hallamos reemplazando dicho valor 
en cualquiera de las dos funciones: 
 
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𝑦2 = −4(−3) − 14 = −2 
 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funcionesson: 
𝑄 = (−5; 6) 𝑦 𝑃 = (−3; −2) 
 
 
 
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Ejercicio 5 
Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la función 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 1
5 − 2𝑎𝑥
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 5/4. 
 
Solución y comentarios 
 
En primer lugar hallaremos el valor de 𝒂. Si la función 𝑓 tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 5/4 sabemos que 
para ese valor se anula el denominador: 
 
5 − 2𝑎(5/4) = 0 
−𝑎
5
2
= −5 
𝑎 = 2 
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → −∞ y cuando 
𝑥 → +∞. 
 
lim
𝑥→−∞
 
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (3 +
1
𝑥
)
𝑥 (
5
𝑥 − 4)
= lim
𝑥→−∞
(3 +
1
𝑥
)
(
5
𝑥 − 4)
= −
3
4
 
 
lim
𝑥→+∞
 
3𝑥 + 1
5 − 4𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (3 +
1
𝑥)
𝑥 (
5
𝑥 − 4)
= lim
𝑥→+∞
(3 +
1
𝑥)
(
5
𝑥 − 4)
= −
3
4
 
 
 
Luego la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 = −
3
4
 
 
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Ejercicio 1 
Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7 y sabiendo que 𝑓(𝑎 − 2) = 5. ¿Cuál es el valor de 𝑎? 
 
Solución 
 
Aplicamos la condición dada: 
 
𝑓(𝑎 − 2) = 5 ⟺ 3(𝑎 − 2) + 7 = 5 ⟺ 3𝑎 − 6 + 7 = 5 ⟺ 3𝑎 + 1 = 5 
⟺ 3𝑎 = 4 ⟺ 𝑎 =
4
3
 
 
El valor buscado es: 
𝑎 =
4
3
 
 
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Ejercicio 2 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1, determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 tal que: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución 
 
Para hallar el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la condición dada para 
el conjunto. 
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 
𝑥2 − 2 ≤ 2𝑥 + 1 
𝑥2 − 2 − 2𝑥 − 1 ≤ 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0 
 
Para resolver la última inecuación trabajamos con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −2 y 𝑐 = −3 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
 
entonces 
𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 
son las raíces de ℎ. 
 
 
 
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Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − (−1)) = (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) 
Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) ≤ 0 
El producto de los monomios es menor o igual a cero si: 
 Primer caso: 
 𝑥 − 3 ≤ 0 𝑦 𝑥 + 1 ≥ 0 (𝐀) 
⟺ 𝑥 ≤ 3 𝑦 𝑥 ≥ −1 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; 3] ∩ [−1; +∞) = [−1; 3] 
 
Luego, el conjunto solución para el caso (A) es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 = [−1; 3] 
 Segundo caso 
 𝑥 − 3 ≥ 0 𝑦 𝑥 + 1 ≤ 0 (𝐁) 
⟺ 𝑥 ≥ 3 𝑦 𝑥 ≤ −1 
 ⟺ 𝑥 ∈ [3; +∞) ∩ (−∞; −1] = ∅ 
Luego, el conjunto solución para el caso (B) es: 
 𝐒𝐨𝐥𝑩 = ∅ 
 
El conjunto solución de (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) ≤ 0 es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 ∪ 𝐒𝐨𝐥𝑩 = [−1; 3] ∪ ∅ = [−1; 3] 
 
Finalmente, 
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ [−1; 3] 
 
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Ejercicio 3 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
3𝑎 − 𝑥
 𝑦 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 
hallar el valor de 𝑎 ∈ ℝ para que ℎ(−1) = 2 siendo ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
 
Solución y comentarios 
 
Primero vamos a hallar la forma explícita de la función ℎ: 
ℎ (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
2
3𝑎 − 𝑥
) =
1
2
3𝑎 − 𝑥
= 1:
2
3𝑎 − 𝑥
=
3𝑎 − 𝑥
2
 
Aplicamos la condición dada: 
ℎ(−1) = 2 
3 ∙ 𝑎 − (−1)
2
= 2 
3 ∙ 𝑎 + 1
2
= 2 
3𝑎 + 1 = 4 
3𝑎 = 3 
𝑎 = 1 
 
El valor buscado es: 
𝑎 = 1 
 
 
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Ejercicio 4 
Hallar, si existe, la asíntota horizontal de la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥 − 1
− 3 
 
Solución y comentarios 
 
Modificamos la expresión algebraica de 𝑓: 
𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥 − 1
− 3 =
𝑥 − 3(2𝑥 − 1)
2𝑥 − 1
=
𝑥 − 6𝑥 + 3
2𝑥 − 1
=
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
 
 
Parahallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → +∞ y cuando 
𝑥 → −∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (−5 +
3
𝑥)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(−5 +
3
𝑥)
(2 −
1
𝑥)
= −
5
2
 
 
lim
𝑥→−∞
 
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (−5 +
3
𝑥
)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(−5 +
3
𝑥
)
(2 −
1
𝑥)
= −
5
2
 
 
 
Luego, la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 = −
5
2
 
 
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Ejercicio 5 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 1 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔. 
 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
) = √
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
+ 1 = √
𝑥 + 3 + 2𝑥 − 1
2𝑥 − 1
= √
3𝑥 + 2
2𝑥 − 1
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida sí y solo sí (3𝑥 + 2) (2𝑥 − 1)⁄ ≥ 0 
 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥 + 1) =
√𝑥 + 1 + 3
2√𝑥 + 1 − 1
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está bien definida sí y solo sí 𝑥 + 1 ≥ 0 y 2√𝑥 + 1 − 1 ≠ 0. 
 
 
 
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Ejercicio 1 
Dada 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 3 y sabiendo que 𝑓(𝑎 − 1) = 7. ¿Cuál es el valor de 𝑎? 
 
Solución y comentarios 
 
Aplicamos la condición dada: 
 
𝑓(𝑎 − 1) = 7 ⟺ 5(𝑎 − 1) + 3 = 7 ⟺ 5𝑎 − 5 + 3 = 7 ⟺ 5𝑎 − 2 = 7 
⟺ 5𝑎 = 9 ⟺ 𝑎 =
9
5
 
 
El valor buscado es: 
𝑎 =
9
5
 
 
 
 
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Ejercicio 2 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 y 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3, determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 tal que: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución y comentarios 
 
Para hallar el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la condición dada para 
el conjunto. 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
𝑥2 + 2𝑥 − 1 ≥ −𝑥 + 3 
𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 𝑥 − 3 ≥ 0 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 ≥ 0 
Para resolver la última inecuación podemos trabajar con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = 3 y 𝑐 = −4 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−3 ± √32 − 4 ∙ 1 ∙ (−4)
2 ∙ 1
=
−3 ± √9 + 16
2
=
−3 ± 5
2
 
entonces 
𝑥 = −4 ó 𝑥 = 1 son las raíces de ℎ. 
 
Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = (𝑥 − (−4)) ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 1) 
 
 
 
 
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Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 + 3𝑥 − 4 ≥ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
(𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 1) ≥ 0 
 
El producto de los monomios es mayor o igual a cero si: 
 Primer caso: 
 𝑥 + 4 ≤ 0 𝑦 𝑥 − 1 ≤ 0 (𝐀) 
⟺ 𝑥 ≤ −4 𝑦 𝑥 ≤ 1 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞; −4] ∩ (−∞; 1] 
Luego, el conjunto solución para el caso (A) es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 = (−∞; −4] 
 
 Segundo caso 
 𝑥 + 4 ≥ 0 𝑦 𝑥 − 1 ≥ 0 (𝐁) 
⟺ 𝑥 ≥ −4 𝑦 𝑥 ≥ 1 
 ⟺ 𝑥 ∈ [−4; +∞) ∩ [1; +∞) = [1; +∞) 
Luego, el conjunto solución para el caso (B) es: 
 𝐒𝐨𝐥𝑩 = [1; +∞) 
 
El conjunto solución de (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 1) ≥ 0 es: 
𝐒𝐨𝐥𝑨 ∪ 𝐒𝐨𝐥𝑩 = (−∞; −4] ∪ [1; +∞) 
 
Finalmente, 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −4] ∪ [1; +∞) 
 
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Ejercicio 3 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
𝑏𝑥
3 − 𝑥
 𝑦 𝑔(𝑥) =
1
2𝑥
 
hallar el valor de 𝑏 ∈ ℝ para que ℎ(−2) = 1/2 siendo ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
 
Solución y comentarios 
 
Primero vamos a hallar la forma explícita de la función ℎ: 
ℎ (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
𝑏𝑥
3 − 𝑥
) =
1
2 (
𝑏𝑥
3 − 𝑥)
= 1:
2𝑏𝑥
3 − 𝑥
=
3 − 𝑥
2𝑏𝑥
 
Para que la función ℎ esté bien definida, 𝑥 ≠ 0 y 𝑏 ≠ 0 
Aplicamos la condición dada: 
ℎ(−2) =
1
2
 
3 − (−2)
2𝑏(−2)
=
1
2
 
5
−4𝑏
=
1
2
 
−
4
5
𝑏 = 2 
𝑏 = 2: −
4
5
 
𝑏 = −
5
2
 
 
El valor buscado es: 
𝑏 = −
5
2
 
 
 
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Ejercicio 4 
Hallar, si existe, la asíntota horizontal de la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥
3𝑥 + 1
− 5 
 
Solución y comentarios 
 
Modificamos la expresiónalgebraica de la función 𝑓: 
𝑓(𝑥) =
𝑥
3𝑥 + 1
− 5 =
𝑥 − 5 ∙ (3𝑥 + 1)
3𝑥 + 1
=
𝑥 − 15𝑥 − 5
3𝑥 + 1
=
−14𝑥 − 5
 3𝑥 + 1
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
−14𝑥 − 5
 3𝑥 + 1
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → +∞ y cuando 
𝑥 → −∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
−14𝑥 − 5
 3𝑥 + 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (−14 −
5
𝑥)
𝑥 (3 +
1
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(−14 −
5
𝑥)
(3 +
1
𝑥)
= −
14
3
 
 
lim
𝑥→−∞
 
−14𝑥 − 5
 3𝑥 + 1
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (−14 −
5
𝑥
)
𝑥 (3 +
1
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(−14 −
5
𝑥
)
(3 +
1
𝑥)
= −
14
3
 
 
 
Luego, la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 = −
14
3
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
6 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 2 
 
Ejercicio 5 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) = 5 − 3𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 1 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔. 
 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(5 − 3𝑥) = √(5 − 3𝑥)2 + 1 = √25 − 30𝑥 + 9𝑥2 + 1 
(𝑔 ∘ 𝑓) (𝑥) = √26 − 30𝑥 + 9𝑥2 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida en el conjunto de los números reales. 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (√𝑥2 + 1) = 5 − 3√𝑥2 + 1 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está bien definida en el conjunto de los números reales. 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 1 
Hallar, si existe, la asíntota horizontal de la función 
𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥 − 1
− 3 
 
Solución y comentarios 
 
Modificamos la expresión algebraica de 𝑓: 
𝑓(𝑥) =
𝑥
2𝑥 − 1
− 3 =
𝑥 − 3(2𝑥 − 1)
2𝑥 − 1
=
𝑥 − 6𝑥 + 3
2𝑥 − 1
=
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
 
Entonces 
𝑓(𝑥) =
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
 
 
Para hallar la asíntota horizontal vemos si existe límite finito de la función cuando 𝑥 → +∞ y cuando 
𝑥 → −∞. 
 
lim
𝑥→+∞
 
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥 (−5 +
3
𝑥)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥→+∞
(−5 +
3
𝑥)
(2 −
1
𝑥)
= −
5
2
 
 
lim
𝑥→−∞
 
−5𝑥 + 3
 2𝑥 − 1
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (−5 +
3
𝑥)
𝑥 (2 −
1
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
(−5 +
3
𝑥)
(2 −
1
𝑥)
= −
5
2
 
 
 
Luego, la ecuación de la asíntota horizontal es 
𝑦 = −
5
2
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
2 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 2 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 1 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔. 
 
Solución y comentarios 
 
Vamos a hallar 𝑔 ∘ 𝑓: 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
) = √
𝑥 + 3
2𝑥 − 1
+ 1 = √
𝑥 + 3 + 2𝑥 − 1
2𝑥 − 1
= √
3𝑥 + 2
2𝑥 − 1
 
La función 𝑔 ∘ 𝑓 está bien definida sí y solo sí (3𝑥 + 2) (2𝑥 − 1)⁄ ≥ 0 
 
 
Vamos a hallar 𝑓 ∘ 𝑔: 
(𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥 + 1) =
√𝑥 + 1 + 3
2√𝑥 + 1 − 1
 
La función 𝑓 ∘ 𝑔 está bien definida sí y solo sí 𝑥 + 1 ≥ 0 y 2√𝑥 + 1 − 1 ≠ 0. 
 
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3 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 3 
Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7 y sabiendo que 𝑓(𝑎 − 2) = 5. ¿Cuál es el valor de 𝑎? 
 
Solución y comentarios 
 
Aplicamos la condición dada: 
 
𝑓(𝑎 − 2) = 5 ⟺ 3(𝑎 − 2) + 7 = 5 ⟺ 3𝑎 − 6 + 7 = 5 ⟺ 3𝑎 + 1 = 5 
⟺ 3𝑎 = 4 ⟺ 𝑎 =
4
3
 
 
El valor buscado es: 
𝑎 =
4
3
 
 
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4 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 3 
 
Ejercicio 4 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1, determinar analíticamente el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 tal que: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)} 
 
Solución y comentarios 
 
Para hallar el conjunto 𝐴 lo que debemos hacer es armar la inecuación que resulta de la condición dada para 
el conjunto. 
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 
𝑥2 − 2 ≤ 2𝑥 + 1 
𝑥2 − 2 − 2𝑥 − 1 ≤ 0 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0 
 
Para resolver la última inecuación trabajamos con la función cuadrática asociada a ella. 
Sea 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
la función cuadrática asociada. 
Analizaremos cuales son los valores para los cuales esta función se anula, para luego poder analizar los 
conjuntos de positividad y negatividad de ℎ. 
Para hallar los ceros (o raíces) de ℎ usamos la fórmula 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
siendo 
𝑎 = 1, 𝑏 = −2 y 𝑐 = −3 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥1,2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−3)
2 ∙ 1
=
2 ± √4 + 12
2
=
2 ± 4
2
 
entonces 
𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 
son las raíces de ℎ. 
 
 
 
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5 
 
MATEMÁTICA 
 
RESPUESTAS AL PRIMER PARCIAL 
Primer Cuatrimestre 2016 - Tercer Turno - Tema 3 
 
Por lo tanto podemos escribir 
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 − (−1)) = (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) 
Ahora retomamos la resolución de nuestro problema original: hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0 
que es equivalente a hallar los valores de 𝑥 ∈ 𝑅 para los cuales 
(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) ≤ 0 
El producto de los monomios es menor o igual