Claves de corrección Modelos ejercicios de 1er parcial-1

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Matemática 
 
EJERCICIOS DE REPASO 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
 
 
1. Hallar analíticamente todos los valores de � ∈ ℝ para que la distancia entre los puntos � = (4�; −4) 
y � = (3; 3�) sea igual a 5. 
Respuesta: 
La distancia entre dos puntos � = (
�; 
�) y � = (��; ��) se calcula mediante la fórmula: 
�(�; �) = �(
� − ��)� + �
� − ��� 
Por lo tanto, para que la distancia entre los puntos � y � sea igual a 5, debe cumplirse que: 
�(4� − 3)� + �(−4) − 3��� = 5 
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad 
(4� − 3)� + �(−4) − 3��� = 25 
Desarrollando los cuadrados y operando algebraicamente (16�� − 24� + 9) + (16 + 24� + 9��) = 25 16�� − 24� + 9 + 16 + 24� + 9�� = 25 25�� + 25 = 25 25(�� + 1) = 25 �� + 1 = 1 �� = 0 ⟺ � = 0 
Existe un único valor de k para el cual la distancia entre los puntos es igual a 5 y es � = 0 . 
 
2. Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones: 
�( ) = � − 3 − 3 � !( ) = −2 − 1 
"#$%&#$'(: 
Para hallar los valores de las abscisas de los puntos de intersección se buscan los valores de x que cumplen �( ) = !( ) ⟺ � − 3 − 3 = −2 − 1 � − 3 − 3 + 2 + 1 = 0 � − − 2 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula 
 
 
 
 = −� ± √�� − 4
,2
 
siendo 
 = 1; � = −1 y , = −2. 
 .,� = −(−1) ± 0(−1)� − 4 ∙ 1 ∙ (−2) =2 ∙ 1 = 1 ± √92 = 1 ± 32 
Entonces . = 2 � � = −1 
Existen dos puntos donde se cruzan las funciones �( ) � !( ). 
Uno de ellos tiene por abscisa = 2. El valor de la ordenada lo hallamos reemplazando dicho valor en 
cualquiera de las dos funciones: !(2) = −2 ∙ 2 − 1 = −5 
El otro punto tiene por abscisa � = −1 . El valor de la ordenada es !(−1) = −2 ∙ (−1) − 1 = 1 
Por lo tanto los puntos donde se cruzan las funciones son: 3. = (2; −5) � 3� = (−1; 1) 
 
3. Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que �( ) > !( ) siendo 
�( ) = − � + � !( ) = � − − 2 
Respuesta: 
 �( ) > !( ) ⇔ − � + > � − − 2 
Entonces, − � + > � − − 2 − � + − � + + 2 > 0 −2 � + 2 + 2 > 0 (dividimos ambos lados por (−2)) � − − 1 < 0 (al dividir por un nro negativo cambia el sentido de la desigualdad) 
Vamos a encontrar los ceros de la función cuadrática � − − 1 para poder escribirla en 
forma factorizada. 
Para encontrar los ceros usamos la fórmula 
 .,� = −� ± √�� − 4
,2
 
siendo 
 = 1; � = −1 y , = −1. 
 .,� = −(−1) ± 0(−1)� − 4 ∙ 1 ∙ (−1)2 ∙ 1 = 1 ± √52 
Entonces 
 . = 1 − √52 y � = 1 + √52 
 
 
 
 
Por lo tanto podemos escribir 
 � − − 1 = H − I1 − √52 JK ∙ H − I1 + √52 JK 
 
Volviendo a nuestro problema, debemos buscar los valores de x que cumplen con la desigualdad � − − 1 < 0 
Reemplazando la función cuadrática por su forma factorizada 
H − I1 − √52 JK ∙ H − I1 + √52 JK < 0 
Para que el producto de los monomios sea menor a cero hay dos posibilidades: 
• Primer caso: 
 − I1 − √52 J < 0 � − I1 + √52 J > 0 (L) 
⟺ < I1 − √52 J � > I1 + √52 J 
⟺ ∈ I−∞; 1 − √52 J ∩ I1 + √52 ; +∞J 
Pero 
I−∞; 1 − √52 J ∩ I1 + √52 ; +∞J = ∅ 
Es decir, no hay ningún valor de x que cumpla con la condición (A). 
• Segundo caso 
 − I1 − √52 J > 0 � − I1 + √52 J < 0 (P) 
⟺ > I1 − √52 J � < I1 + √52 J 
⟺ ∈ I1 − √52 ; +∞J ∩ I−∞; 1 + √52 J = I1 − √52 ; 1 + √52 J 
Luego, la condición (B) se cumple si 
 ∈ I1 − √52 ; 1 + √52 J 
 
Luego, �( ) > !( ) ⇔ ∈ Q.R√S� ; .T√S� U 
 
 
 
 
Vamos a encontrar otra manera de escribir la función cuadrática � − − 1 utilizando el método para 
completar cuadrados 
 � − − 1 = ( � − − 1) = V � − 2 ∙ 12 − 1W = I � − 2 ∙ 12 + V12W
� − V12W
� − 1J = 
= IV − 12W
� − V12W
� − 1J = IV − 12W
� − 54J = V − 12W
� − 54 
Resumiendo 
 � − − 1 = V − 12W
� − 54 
Entonces 
− � + + 1 > 0 ⟺ V − 12W
� − 54 < 0 
V − 12W
� < 54 
 XY − 12XY < √52 
− √52 < − 12 < √52 
− √52 + 12 < < √52 + 12 1 − √52 < < 1 + √52 ⇔ ∈ I1 − √52 ; 1 + √52 J 
Luego, 
�( ) > !( ) ⇔ ∈ I1 − √52 ; 1 + √52 J 
 
4. Hallar las coordenadas del mínimo de la función �( ) = � + − 12 
Respuesta: 
 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor mínimo en el 
vértice. 
Si la expresión de la parábola es �( ) = Z � + [ + \ , la abscisa del vértice la calculamos como: 
 ]é^_`ab = −[2Z 
En nuestra función tenemos que Z = 1 � [ = 1, entonces 
 ]é^_`ab = −12 ∙ 1 = − 12 
 
 
 
 
Para encontrar la ordenada del vértice evaluamos la función en el ]é^_`ab 
�( ]é^_`ab) = V− 12W
� + V− 12W − 12 = 14 − 12 − 12 = − 494 
Entonces, el mínimo de la función se encuentra en el punto 
� = V− 12 ; − 494 W 
 
5. Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función: 
�( ) = − 54 − 
Respuesta: 
 
La función �( ) < 0 ⇔ ( − 5 > 0 � 4 − < 0) c de ( − 5 < 0 � 4 − > 0 ) 
• − 5 > 0 � 4 − < 0 ⇔ > 5 � > 4 ⇔ > 5 ⇔ ∈ (5; +∞) 
• − 5 < 0 � 4 − > 0 ⇔ < 5 � < 4 ⇔ < 4 ⇔ ∈ (−∞; 4) 
El conjunto de negatividad de la función es el intervalo (−∞; 4) ∪ (5; +∞) 
 
6. Hallar 
 para que la función definida por ( ) = � − 
 + 5 alcance un mínimo en (2; 1). 
Respuesta: 
Como la función es una parábola con las ramas hacia arriba, sabemos que alcanza el valor míniimo en el 
vértice. 
Si la expresión de la parábola es �( ) = Z � + [ + \ , la abscisa del vértice la calculamos como: 
 ]é^_`ab = −[2Z 
En nuestra función tenemos que Z = 1 � [ = −
, entonces 
 ]é^_`ab = −(−
)2 ∙ 1 = 
2 
Por otro lado, ]é^_`ab = 2 (la abscisa del vértice es la misma que la del míhemo) 
Entonces 
2 = 2 ⇔ 
 = 4 
 
7. Encontrar el valor “a” de manera que las funciones �( ) y !( ) tengan exactamente un solo punto de 
intersección, siendo: �( ) = � − + 4 !( ) = + 
 
 
 
 
Respuesta: 
Primero debemos plantear la ecuación �( ) = !( ) para hallar el valor de i del punto de intersección 
. �( ) = !( ) � − + 4 = + 
 � − − + 4 − 
 = 0 � − 2 + (4 − 
) = 0 
La ecuación cuadrática la resolvemos usando la fórmula 
 .,� = −(−2) ± 0(−2)� − 4 ∙ (1) ∙ (4 − 
)2 ∙ 1 = 4 ± 04 − 4(4 − 
)2 
 
Como el enunciado nos pide que se crucen en un solo punto, el término dentro de la raíz cuadrada debe ser 
nulo. Es decir, 4 − 4(4 − 
) = 0 4 − 16 + 4
 = 0 4
 − 12 = 0 
 = 3 
El valor de “
” de manera que las funciones tienen un solo punto de intersección es j = k 
 
8. Dada la función �( ) = ��RS�T. hallar la función inversa �R.( ) e indicar el dominio de ambas 
funciones. 
Respuesta: 
 
El dominio de la función “�” son todos los valores de para los cuales no se anula el denominador. Debe 
ocurrir entonces que + 1 ≠ 0, es decir, ≠ −1. 
Luego, mcn(�) = o ∈ p q
r stu ≠ −1v = p − o−1v 
Ahora vamos a calcular la función inversa 
� = 2 − 5 + 1 ( + 1)� = 2 − 5 � + � = 2 − 5 � − 2 = −� − 5 (� − 2) = −� − 5 
 = −� − 5� − 2 
 = � + 52 − � 
La función inversa de “�” es: 
�R.( ) = + 52 − 
 
 
 
El dominio de la función “�R.” son todos los valores de para los cuales no se anula el denominador. Debe 
ocurrir entonces que 2 − ≠ 0, es decir, ≠ 2. 
Luego,mcn(�R.) = o ∈ p q
r stu ≠ 2v = p − o2v 
 
9. El consumo de oxígeno (en milímetros por minuto) para una persona que camina a “ ” kilómetros por 
hora está dado por la función �( ) = 2 w + 10 � + 5 + 20, mientras que el consumo de oxígeno 
para una persona que corre a “ ” kilómetros por hora está dado por la función !( ) = w − 2 + 38. 
Se sabe que cuando “ = 1” el consumo de oxígeno es idéntico. ¿Existen otros valores de “ ” para los 
cuales el consumo de oxígeno es el mismo? 
 
Respuesta: 
 
Los valores de “x” que hacen que ambas personas tengan el mismo consumo de oxígeno son aquellos valores 
para los cuales �( ) = !( ) . Entonces, 
. �( ) = !( ) 2 w + 10 � + 5 + 20 = w − 2 + 38 2 w + 10 � + 5 + 20 − w + 2 − 38 = 0 w + 10 � + 7 − 18 = 0 z{|j{}ó~ � 
Es decir, todos los valores de “ ”que son solución de la z{|j{}ó~ � serán aquellos donde ambas personas 
tienen el mismo consumo de oxígeno. 
Como se sabe que en “ = 1” el consumo de oxígeno es idéntico, tenemos que = 1 satisface la z{|j{}ó~ �. Entonces podemos dividir la z{|j{}ó~ � por ( − 1) 
 
 1 10 7 -18 
1 1 11 18 
 1 11 18 0 
 
Por lo tanto, podemos escribir la ecuación A como: ( − 1)( � + 11 + 18) = 0 z{|j{}ó~ � 
Los otros valores en donde el consumo de oxígeno es el mismo son aquellos en donde se anula i� + ��i + ��. Para hallar las raíces de la cuadrática usamos la fórmula 
 .,� = −(11) ± 0(11)� − 4 ∙ (1) ∙ (18)2 ∙ 1 = −11 ± √121 − 722 = −11 ± √492 = −11 ± 72 
 
Entonces, = −9 o = −2. Como ambos valores son negativos, y deben representar una distancia en 
kilómetros, el único valor para el cual el consumo de oxígeno es el mismo es para = 1. 
 
10. Representar en el plano el siguiente conjunto: � = o( , �) ∈ p� q
r stu: � − 1 > 0 ; 3 − 1 < −2 + 4v 
Respuesta: 
 
Debemos hallar cuales son los puntos del plano que cumplen ambas desigualdades. 
 
 
 
De la primer desigualdad podemos despejar cuales son los posibles valores para la coordenada “�” de los puntos 
ya que � − 1 > 0 ⟺ � > 1 
De la segunda desigualdad podemos despejar cuales son los posibles valores para la coordenada “ ” de los 
puntos ya que 3 − 1 < −2 + 4 ⟺ 3 + 2 < 4 + 1 ⟺ 5 < 5 ⟺ < 1 
Entonces, el conjunto A lo podemos expresar como � = o( , �) ∈ p� q
r stu: � > 1 ; < 1v 
 
El conjunto A es la zona rayada del gráfico.