WILLIAM NARANJO GUTIERREZ 24-02-2016

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ESTRATEGIAS COGNITIVAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE SE
MODELAN POR MEDIO DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON
DOS INCOGNITAS

WILIAM NARANJO GUTIERREZ

Trabajo de grado como requisito para optar al título de Magíster en Educación

Director
JUAN PABLO PEREZ PERDOMO
Magíster en Matemática Aplicada
Candidato a doctor en enseñanza de las ciencias

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
IBAGUÉ
2015
2

AGRADECIMIENTO

Dedicado especialmente a DIOS porque nos dio sabiduría y perseverancia, que nos llevó
a cumplir esta meta. A mis padres por su apoyo incondicional y a mis Hijos Valeri, Nicolás
por su paciencia y comprensión que me vieron en el procedo de lograr uno de mis
sueños, por sus esfuerzos, cariño y apoyo.

A mi director de trabajo de grado Juan Pablo Pérez por su orientación, paciencia, apoyo,
dedicación y por ayudar a culminar.

Gracias a todas aquellas personas que siempre estuvieron para brindarnos toda su
ayuda, que portaron con sus experiencias en nuestra formación para los retos de la vida,
a cada uno de ellos le dedico este trabajo de grado.

TABLA DE CONENIDO

INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 10
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ........................................................................... 11
1.1. PREGUNTA GENERADORA .................................................................................... 11
1.2. OBJETIVO GENERAL ................................................................................................ 11
1.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................... 11

2. ANTECEDENTES .............................................................................................................. 12

3. MARCO TEORICO. ........................................................................................................... 16
3.1. TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES. .................................................... 16
3.1.1. Situación. ............................................................................................................... 16
3.1.2. Esquemas.............................................................................................................. 17
3.1.3. Invariantes Operatorios ....................................................................................... 18
3.1.4. Campos Conceptuales ........................................................................................ 18
3.1.5. Concepto. .............................................................................................................. 18

4. METODOLOGÍA ................................................................................................................ 19
4.1. DESCRIPCIÓN DEL CUESTIONARIO .................................................................... 19
4.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA .................................................................................................. 20
4.3. ESTRATEGIAS GENERALES EMPLEADAS POR LOS ALUMNOS ................. 25
4.3.1. Grupo uno. ....................................................................................................................... 25
4.3.2. Grupo dos ........................................................................................................................ 32
4.4. AUDIOS DE ENTREVISTAS CON ESTUDIANTES. ............................................. 40

5. CONCLUSIONES .............................................................................................................. 42

REFERENCIAS .......................................................................................................................... 44
ANEXOS ...................................................................................................................................... 45
7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Tipo de Respuesta 1 ..................................................................................... 26
Figura 2. Tipo de Respuesta 2 ..................................................................................... 27
Figura 3. Tipo de Respuesta 3. .................................................................................... 27
Figura 4. Tipo de Respuesta 1 ..................................................................................... 28
Figura 5.Tipo de Respuesta 2. ..................................................................................... 29
Figura 6. Tipo de Respuesta 2. .................................................................................... 30
Figura 7. Tipo de Respuesta 1. .................................................................................... 31
Figura 8. Tipo de Respuesta 2. .................................................................................... 32
Figura 9. Tipo de respuesta 1 ....................................................................................... 33
Figura 10. Tipo de Respuesta 2. .................................................................................. 34
Figura 11. Tipo de Respuesta 1. .................................................................................. 35
Figura 12. Tipo de Respuesta 2. .................................................................................. 36
Figura 13. Tipo de Respuesta 1. .................................................................................. 37
Figura 14. Tipo de Respuesta 2. .................................................................................. 38
Figura 15. Tipo de Respuesta 1. .................................................................................. 39

RESUMEN

Esta investigación tuvo como población de estudio estudiantes de grado noveno,
estudiantes que se encuentran en un rango de edad entre 13 y 15 años, quienes habían
trabajado con la orientación del docente los diferentes métodos de solución de sistemas
de ecuaciones lineales. Esta orientación se realizó por medio de clases tradicionales en
el aula de clase tradicional y con los recursos convencionales de la institución. Nuestra
investigación identificará y caracterizará las diferentes estrategias cognitivas que utilizan
los estudiantes del grado noveno cuando resuelven situaciones de sistemas lineales de
dos ecuaciones con dos incógnitas, apoyados exclusivamente en lo trabajado en las
clases y su capacidad cognitiva, evidenciando cómo los adolescentes descubren
procedimientos para la interpretación de las situaciones y la aplicación de los diferentes
métodos de solución. La investigación se apoya en trabajos realizados por diferentes
investigadores sobre la solución de sistemas de ecuaciones y la Teoría de los Campos
Conceptuales de Vergnaud.

Palabras Claves: Sistemas de ecuaciones, Teoría de los Campos Conceptuales,
Desarrollo Cognitivo.

ABSTRACT

This research was to study population freshmen, students are at an age range between
13 and 15 years, who were working under the guidance of teaching different methods of
solving systems of linear equations. This orientation is conducted through traditional
classes in the traditional classroom and with conventional resources of the institution. Our
research will identify and characterize the different cognitive strategies used by freshmen
when solving situations of linear systems of two equations with two unknowns, supported
solely on what worked in class and their cognitive ability, demonstrating how teens
discover procedures for interpret situations and application of different methods of
solution. The research is based on work doneby different investigators about solving
systems of equations and theory of conceptual fields of Vergnaud.

Keywords: Systems of equations, Conceptual Fields Theory, Cognitive Development.

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de profundización busca resolver la pregunta: ¿Cuáles son las
estrategias conceptuales que utilizan los estudiantes del grado noveno de la Institución
Educativa Nelsy García Ocampo del municipio de Ibagué (Tolima), cuando resuelven
problemas que se modelan en sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas,
teniendo en cuenta las orientaciones dadas por el docente sobre los diferentes métodos
de solución? Para llevar a cabo la resolución de la misma se Identifica, describe y analiza
las estrategias conceptuales que utilizan los estudiantes del grado noveno cuando
resuelven problemas de sistemas de ecuaciones. Por lo cual primero se presenta la
forma cómo se identificaron las estrategias cognitivas que erróneamente o correctamente
emplean los estudiantes al momento de solucionar problemas de sistemas de
ecuaciones después de haber recibido instrucciones sobre los diferentes métodos de
solución, posteriormente se caracteriza las diferentes estrategias utilizadas por los
estudiantes del grado noveno según el modelo y el esquema que plantea cada problema
y finalmente se Indaga sobre las circunstancias que llevan a los estudiantes del grado
noveno a hacer una interpretación (correcta o incorrecta) de los problemas para de esto
implementar una metodología para que ellos logren obtener un mayor nivel de
desempeño.

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1. PREGUNTA GENERADORA

¿Cuáles son las estrategias conceptuales que utilizan los estudiantes del grado noveno
de: La Institución Educativa, cuando resuelven problemas de sistemas de ecuaciones
lineales, teniendo en cuenta que han trabajado en clases tradicionales los diferentes
métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?

1.2. OBJETIVO GENERAL

Cuáles son las estrategias conceptuales, utilizadas por los estudiantes del grado noveno,
para facilitar la solución de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas, teniendo en cuenta los métodos tradicionales aprendidos en clase.

1.3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Identificar las estrategias cognitivas utilizadas por los estudiantes, en la solución
de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, basadas en
los métodos de solución aprendidos.

 Describir las diferentes estrategias utilizadas por los estudiantes de grado noveno,
de acuerdo al planteamiento de cada problema.

 Analizar la interpretación correcta o incorrecta que los estudiantes del grado
noveno hacen, para encontrar la solución de problemas con ecuaciones lineales
con dos incógnitas propuestos y desarrollados en clase.
12

2. ANTECEDENTES

En este trabajo realizaremos una breve descripción de las investigaciones llevadas a
cabo sobre la enseñanza de los sistemas de ecuaciones lineales, se resaltarán las
conclusiones más relevantes al respecto después de un proceso de consulta e
indagación en la comunidad científica.

En el trabajo de García y Rendón (2011), quienes, preocupados por indagar los
problemas de la enseñanza del álgebra en los niveles educativos básicos, intentan, como
ellos mismos lo advierten, “identificar los diferentes registros de representación (mentales
y semióticas) implicadas en la solución de expresiones algebraicas” (p. 1). Como se
observa dicho planteamiento está asociado al tema de las ecuaciones lineales, ya que
pretende “reconocer y analizar cómo el alumno comprende y conceptualiza la solución”
(p. 1) de este tipo de elementos algebraicos. Vale la pena anotar que el trabajo de los
citados autores tiene un carácter práctico, ya que es llevado a cabo en la Escuela
Secundaria General “Revolución Mexicana”, con los alumnos de 2°. Es decir, el alcance
de la investigación se desarrolla con estudiantes que poseen un nivel básico de
conocimiento y aplicación de la notación algebraica, lo que indica que el aspecto teórico
es de poca incidencia y concluyen que es necesario presentar a los estudiantes una
matemática novedosa, con problemas del área de su interés profesional, para que sean
competentes en problemas de carácter práctico. Es decir que diferencien el objeto
matemático, trabajen en su representación mental y semiótica para poder comprender y
conceptualizar las ecuaciones lineales.

Un segundo trabajo de Díaz (2010), quien parte de afirmar que “el problema de la
resolución de problemas es considerada una parte fundamental de la matemática”. Es
decir, el autor propone un punto de partida muy general, desde donde realizará un
acercamiento al tema de las ecuaciones lineales. Afirma el autor que “mediante estas
situaciones los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de la matemática en
diferentes contextos y situaciones, especialmente en el mundo que les rodea”. Dado lo
13

anterior se deduce que el propósito del estudio es presentar “una propuesta para la
enseñanza y aprendizaje de los Sistemas de Ecuaciones Lineales mediante la resolución
de problemas de contexto, con el objetivo de lograr que los estudiantes aprendan a
trabajar los contenidos matemáticos con problemas y logrando que este se haga parte
esencial de su proceso de enseñanza y aprendizaje” (p. 436). Lo significativo del estudio
del citado autor es que trata de indagar en lo teórico para después revisar si dicho
aprendizaje teórico influye en lo práctico, según el autor con el fin de que los estudiantes
tomen como parte esencial de su proceso educativo las herramientas matemáticas. Díaz
concluye que la resolución de problemas aporta significativamente al desarrollo del
pensamiento matemático, logrando que los sistemas educativos entreguen a la sociedad
personas matemáticamente competentes.

Por su parte Martínez y Sáez (2014) describen los esquemas mentales que, según ellos,
se relacionan con los sistemas de ecuaciones lineales. La propuesta, aunque ambiciosa
y novedosa en el campo de las matemáticas, se restringe a un grupo poblacional
compuesto por estudiantes del primer curso de Matemáticas en la universidad en la que
tienen asiento los investigadores. En relación con ello se analiza la normativa de las
pruebas de acceso, el tratamiento que se da a los sistemas en algunos libros de texto, y
las consecuencias que pueden derivarse del uso de esos esquemas.

Segura (2004), antes que proponer una disertación teórica, plantea una secuencia
didáctica que “facilita el aprendizaje y solución de sistemas de ecuaciones lineales, al
conjugar en ella situaciones que, además, implican un trabajo en diferentes registros de
representación semiótica y pasaje”. El trabajo, que enfatiza uno de los aspectos con más
dificultad entre los estudiantes de matemática (a saber, la representación algebraica),
tiene su punto fuerte en la propuesta de fortalecer el aprendizaje de sistemas de
ecuaciones lineales y, a la vez, responder a situaciones concretas que el estudiante de
matemáticas afronta en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Dicho de otra manera, la
investigadora se plantea la difícil tarea de analizar, no solo los mecanismos que
intervienen en el aprendizaje de las ecuaciones lineales, sino en los comportamientos
que se generan o en la incidencia que tiene dicho aprendizaje en los comportamientos
14

de los estudiantes. Como afirma la investigadora, lo que busca es “propiciar
comportamientos matemáticos y cognitivos en el quehacer de los alumnos, haciendo que
el tratamiento y pasaje de registros de representación sea el eje alrededor del cual gire
la construcción de las actividades”.

El trabajo de Moreno y Castellanos (1997), se caracteriza por mostrar, más que análisis
de situaciones, resultadoslogrados en estudiantes de grado 10º de una institución
pública del Distrito Capital. En concreto, dicen las investigadoras, “se aplicó una prueba
diagnóstica en grado 10 con miras a identificar errores típicos que permitieran predecir
posibles dificultades de los alumnos para solucionar sistemas de ecuaciones simultáneas
3x3, por el método de sustitución”.(p. 247) Y aunque al comienzo del desarrollo del
proyecto “se observó que el proceso para solucionar sistemas 3x3 por sustitución se
aplicaba correctamente pero se presentaban errores al despejar las incógnitas, lo cual
llevaba a la solución incorrecta del sistema” (p. 248), y dado que los estudiantes
manifestaban errores al despejar la incógnita, las investigadoras optaron por formular
una “secuencia de enseñanza, donde los alumnos identificaran las operaciones
propuestas y el orden en que se deberían transponer los términos para despejar la
incógnita”. (p. 248) Lo importante de resaltar en este trabajo es el centrarse en un
problema concreto, a saber, el despeje de incógnitas, asunto que, como se sabe, además
de ser puntual en el aprendizaje de las matemáticas, influye también en áreas como la
física.

Como producto final del desarrollo de la secuencia didáctica propuesta por Moreno y
castellano, se afirma que “se logró desarrollar la habilidad para despejar la incógnita en
ecuaciones de la forma propuesta”. (p. 256) No obstante también reconocen que
persistieron en los estudiantes tres tipos de error, lo cual obedece, según las autoras, al
punto de vista desde el que se analizan dichos errores. El punto de vista más importante
es el conceptual en el cual, “se ve que el alumno considera que x es igual a -x,
independientemente del proceso que siga para llegar a la solución”. (p. 256)

Una última investigación tenida en cuenta en este estado del arte es la de Trejo y
Camarena (2011), la cual tiene como aporte principal, “el identificar que durante las
actividades en las situaciones problemas que surgen de la contextualización de sistemas
de ecuaciones algebraicas lineales con el balance de materia, se detectó en el actuar de
los estudiantes el uso recurrente de diferentes tipos de representaciones que se
consideran específicas y propias de la vinculación de dos áreas del conocimiento, es
decir, que pueden o no surgir en otras vinculaciones”. (p. 83) Lo anterior tiene relación
con lo expresado por Moreno y Castellanos (1997) ya que identifica errores en los
estudiantes a la hora de graficar la representación de ecuaciones. Como dicen las
autoras, “se observa que los diferentes tipos de representación de las invariantes
desempeñan un papel importante en la resolución de las situaciones problema que se
han planteado a los estudiantes”. Sin embargo, también aclaran que finalmente los
estudiantes logran solucionar los problemas matemáticos planteados. Al respecto dicen:
“La resolución de las situaciones problema se caracterizó por pasar a través de diferentes
tipos de representación hasta llegar a una representación simbólica y obtener un
resultado satisfactorio de las situaciones problema”. Dada su importancia para el
desarrollo del pensamiento matemático. Igualmente, y derivado de lo anterior, existe una
creciente preocupación en los estudios matemáticos por conocer el contexto en que se
desarrolla el aprendizaje de las matemáticas, así como las causas que se asocian a los
errores en el aprendizaje de la misma. Uno de esos casos, según lo estudiado, es el
aprendizaje y uso de las ecuaciones lineales, dejando como conclusión determinante que
uno de sus problemas más recurrentes es el despeje de incógnitas, tal y como se
observaba en la investigación de Moreno y Castellanos (1997).

Finalmente cabe destacar la dedicación y el interés de muchos investigadores en el
conocimiento de las problemáticas asociadas al estudio de las ecuaciones lineales, lo
que permite afirmar que existe una amplia gama de estudios que sirven de soporte
teórico al tema de investigación del presente trabajo.

3. MARCO TEORICO

3.1. TEORÍA DE LOS CAMPOS CONCEPTUALES.

La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud (1990, 2005, 2007), se centra
principalmente en la dimensión cognitiva del estudiante, y nos permite describir los
procesos de conceptualización y analizar las construcciones que realiza el estudiante de
los diferentes campos conceptuales.

3.1.1. Situación. En la Teoría de los Campos Conceptuales Vergnaud (1990), emplea el
concepto de situación como el de tarea, y lo relaciona con el concepto que le dan los
psicólogos: los procesos y las respuestas del sujeto son función de las situaciones a las
cuales son confrontados. Dentro de este concepto de situación Vergnaud resalta dos
elementos importantes, como lo son el de variedad e historia, en el primero determina
que en un campo conceptual existen variedad de situaciones y en el segundo que los
conocimientos de los alumnos han sido construidos a lo largo del tiempo por medio de
situaciones a las que se han enfrentado de forma progresiva, especialmente las que le
dan sentido a los nuevos conceptos. Vergnaud define una situación compleja como una
combinación de relaciones elementales sin dejar de lado el análisis que generan este
tipo de relaciones, en otras palabras una situación compleja es vista por Vergnaud como
un conjunto de tareas.

Existe una relación entre las situaciones y los esquemas, esta relación es de tipo
dialéctica dado que la existencia de unas suponen la existencia de las otras (Otero,
Fanaro, Sureda, Llanos, & Arlego, 2014), cuando el individuo enfrenta una situación
construye consciente o inconscientemente un tipo de esquemas los cuales si es
necesario pueden ser modificados en el proceso de adaptación a la situación por parte
del individuo.

Vergnaud diferencias las situaciones en dos tipos:

 la primera está dada en el caso de que el sujeto cuente con todas las herramientas
y competencias para enfrentar un tipo de situaciones, en este caso el esquema
que construye el individuo es sistemático e inmediato.
 en la segunda ya el sujeto no cuenta con las competencias necesarias sino que
tiene que hacer un proceso de exploración, de ensayo y error, llegando al éxito
o al fracaso, en este caso el individuo construye diferentes esquemas que entran
a competir entre sí o a ser modificados y adaptados a la situación.

3.1.2. Esquemas. Vergnaud (1990), Define los esquemas como una organización
invariante de la conducta para una clase de situaciones dadas, recordando la relación
dialéctica entre situación esquema que plantea Vergnaud, pero es en los esquemas
donde se deben estudiar los conocimientos en acto que el sujeto evoca al construirlo,
teniendo en cuenta que el esquema no es un algoritmo estático de acciones, porque a
pesar de que si contiene secuencias de acciones, estas dependen de los parámetros de
la situación.

Estos esquemas funcionan de forma distinta para cada caso de las dos clases de
situaciones descritas anteriormente, en la primera cuando el sujeto cuenta con todas las
herramientas necesarias, los esquemas son sistemáticos e inmediatos, ya en el segundo
caso cuando el sujeto no cuenta con el repertorio necesario se usan varios esquemas
que comienzan a competir entre ellos, se acomodan, desarticulan y recombinan para
llegar a la meta deseada.

Los esquemas cuentan con elementos fundamentales, los cuales están dados por:
 Metas y Anticipaciones. El esquema esta evocado a una clase de situaciones
donde el sujeto encuentra una finalidad o dado el caso sub-metas.
 Reglas de Acción. Dan el rumbo a seguir para generar el esquema, son reglas de
búsqueda de información para la consecución de la meta o submetas.
18

 Invariantes Operatorios. Los conceptos en acto, definidos como categorías
pertinentes para el sujetoen la situación y teoremas en acto, definidos como
afirmaciones que el sujeto considera verdaderos.
 Posibilidades de inferencia. Es el razonamiento que hace el individuo de forma
inmediata para la situación.

3.1.3. Invariantes Operatorios. Los invariantes operatorios son los conceptos y teoremas
en acto que el sujeto pone en juego de forma explícita o implícita, determinan las
diferencias entre los esquemas, tienen la función de reconocer y de identificar los
objetos, sus relaciones, sus propiedades y sus transformaciones, (Otero, Fanaro,
Sureda, Llanos, & Arlego, 2014) , Los teoremas en acto pueden ser verdaderos o falsos
y un concepto en acto se pueden asociar a diferentes teoremas en acto y son
considerados por el sujeto como relevantes, estos invariantes operatorios no explícitos
forman una parte fundamental dentro del esquema en la conceptualización del sujeto,
aunque no solo pueden ser explícitos o implícitos también pueden ser inconscientes,
explicitables y formalizados.

3.1.4. Campos Conceptuales. Vergnaud define los campos conceptuales como un
conjunto estructurado de clases de situaciones, también como un conjunto de
problemas y situaciones para los cuales es necesario utilizar conceptos, procedimientos
y representaciones de diferentes tipos pero íntimamente relacionadas.

3.1.5. Concepto. Concepto en la TCC es la unión de tres conjuntos, el primero es un
conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto, el segundo es el conjunto de
invariantes los cuales son teoremas y conceptos en acto que pueden ser explícitos o
implícitos, correctos o incorrectos dando operacionalidad a los esquemas permitiendo
dar significado al concepto, el tercero son los sistemas de representación o el
significante, es importante tener claro el concepto de conceptualización la cual es
identificación de los objetos del mundo, de sus propiedades, de sus relaciones y
transformaciones, (Otero, Fanaro, Sureda, Llanos, & Arlego, 2014)

4. METODOLOGÍA

Estrategias utilizadas en la resolución de problemas. Este Trabajo analiza las estrategias
cognitivas que aplican los estudiantes del grado noveno al resolver problemas
planteados por el docente sobre sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Para esto, se propuso a dos grupos de 27 y 28 estudiantes respectivamente del grado
noveno un cuestionario con cuatro problemas, quienes hasta el momento de la aplicación
de la prueba, ya habían estudiado los diferentes métodos de solución de los sistemas de
ecuaciones. Nuestra población objeto de estudio pertenece a la institución educativa
Nelsy García Ocampo, esta institución es publica y en la cual los estudiantes son de
sectores de estrato 1 y 2.

4.1. DESCRIPCIÓN DEL CUESTIONARIO

El cuestionario utilizado se presenta como anexo y se compone de cuatro problemas.
Estos problemas han sido diseñados durante la investigación y están compuesto por dos
con solución única, uno con infinitas soluciones y uno que no tiene solución, los
problemas se diseñaron con el objetivo de que el estudiante interprete el resultado en
cada uno de los casos, a continuación clasificamos los problemas según su solución.

Tabla Clasificación de problemas
CLASIFICACIÓN PROBLEMA
Solución única 1, 3
Infinitas soluciones 2
No tiene solución 4

Antes de iniciar con el análisis cognitivo de la solución plateada por cada uno de los
estudiantes, vamos a mostrar la solución óptima de cada uno de los problemas.

4.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA

1. Los dos últimos fines de semana Sofía llevó a sus nietos al cine. La primera vez
pagó $23.500 por 2 adultos y un niño, y la segunda vez pagó $25.500 por un
adulto y tres niños. ¿Cuánto pagó Sofía por cada entrada de adulto y de un niño?

Primero, se asignan las variables para cada incógnita.
a= Precio de una entrada de adulto.
n= Precio de una entrada de niño.
Segundo, se plantea un sistema de ecuaciones:
{
2𝑎 + 𝑛 = 23500 (1)
𝑎 + 3𝑛 = 25500 (2)
}
Tercero, se resuelve el sistema de ecuaciones por reducción.
Para eliminar a se observa que la ecuación 1 tiene coeficiente 2, entonces, se busca
que la ecuación 2 tenga el coeficiente opuesto al de la ecuación 1.
Se multiplica la ecuación 1 por 1.
2𝑎 + 𝑛 = 23500 ∗ 1
2𝑎 + 𝑛 = 23500

Se multiplica la ecuación 2 por -2.
𝑎 + 3𝑛 = 25500 ∗ 2
−2𝑎 − 6𝑛 = −51000

Se suman las ecuaciones transformadas para eliminar a.
2𝑎 + 3𝑛 = 25500
−2𝑎 − 6𝑛 = −51000
0 − 5𝑛 = −27500
−5𝑛 = −27500
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑛
𝑛 = 5500

Luego se reemplaza el valor de n en cualquiera de las ecuaciones iniciales.
21

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1.
2𝑎 + 𝑛 = 23500
2𝑎 + (5500) = 23500
2𝑎 = 23500 − 5500
2𝑎 = 18000
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎
𝑎 =
18000
2

𝑎 = 9000

Finalmente, se escribe la respuesta del problema.

El precio de una boleta para adulto es de $9000 y el de una boleta para niño es de
$5500.
2. Sebastián acostumbra a comprar materiales para compartir con sus compañeros
los martes de prueba. En un fin de semana compró 5 lápices y 3 borradores, por
un valor de $4180. La siguiente semana compro 10 lápices y 6 borradores por
$8360. ¿Cuánto pago Sebastián por cada lápiz y por cada borrador?

Primero, se asignan las variables para cada incógnita.
l= Precio de un lápiz.
b= Precio de un borrador.
Segundo, se plantea un sistema de ecuaciones:
{
5𝑙 + 3𝑏 = 4180 (1)
10𝑙 + 6𝑏 = 8360 (2)
}
Tercero, se resuelve el sistema de ecuaciones por reducción.
Para eliminar b se observa que la ecuación 1 tiene coeficiente 3, entonces, se busca
que la ecuación 2 tenga el coeficiente opuesto al de la ecuación 1.
Se multiplica la ecuación 1 por 1.
5𝑙 + 3𝑏 = 4180 ∗ −2
−10𝑙 − 6𝑏 = −8360

Se multiplica la ecuación 2 por 1.
10𝑙 + 6𝑏 = 8360 ∗ 1
10𝑙 + 6𝑏 = 8360

Se suman las ecuaciones transformadas para eliminar a.
22

−10𝑙 − 6𝑏 = −8360

10𝑙 + 6𝑏 = 8360
0 − 0 = 0
𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠.
𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦
𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

3. Para ingresar a un parque de diversiones, luisa paga $33.000 por 3 entradas de
adulto y 2 de niño. Mientras que Carlos por 5 de adulto y 4 de niño paga $57.000.
¿Cuánto cuesta cada entrada para adulto y cuanto para cada niño?

Primero, se asignan las variables para cada incógnita.
a= Valor entrada de adulto.
n= valor entrada de niño.
Segundo, se plantea un sistema de ecuaciones:
{
3𝑎 + 2𝑛 = 33000 (1)
5𝑎 + 4𝑛 = 57000 (2)
}
Tercero, se resuelve el sistema de ecuaciones por reducción.
Para eliminar n se observa que la ecuación 1 tiene coeficiente 2, entonces, se busca
que la ecuación 2 tenga el coeficiente opuesto al de la ecuación 1.
Se multiplica la ecuación 1 por -2.

3𝑎 + 2𝑛 = 33000 ∗ −2
−6𝑎 − 4𝑛 = −66000

Se multiplica la ecuación 2 por 1.

5𝑎 + 4𝑛 = 57000 ∗ 1
5𝑎 + 4𝑛 = 57000

Se suman las ecuaciones transformadas para eliminar a.

−6𝑎 − 4𝑛 = −66000
5𝑎 + 4𝑛 = 57000
−𝑎 + 0 = −9000
−𝑎 = −9000
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 (−1) 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠
𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑎
𝑎 = 9000

Luego se reemplaza el valor de a en cualquiera de las ecuaciones iniciales para
encontrar n.
𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛.
3𝑎 + 2𝑛 = 33000
3(9000) + 2𝑛 = 33000
27000+ 2𝑛 = 33000
2𝑛 = 33000 − 27000
2𝑛 = 6000
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑛
𝑛 =
6000
2
𝑛 = 3000

Finalmente, se escribe la respuesta del problema.

El precio de una boleta para adulto es de $9000 y el de una boleta para niño es de
$3000.
4. Los jóvenes de octavo grado de una institución educativa juegan un campeonato
departamental de futbol sala, ellos juegan partidos en representación del
municipio y el ganador del torneo representa al departamento en el campeonato
nacional. El municipio encarga al entrenador para que promueva el juego limpio y
dentro de las responsabilidades está en hacer que cada jugador pague por las
tarjetas que el árbitro les ponga en cada partido, el entrenador después de dos
juegos se percata que no les ha dicho a los jugadores cuando deben pagar, y la
única información que tiene el entrenador es que durante el primer partido pagó
$39.000 y recuerda que fueron 5 tarjetas amarillas y 2 tarjetas rojas, también
recuerda que en el segundo fueron 3 tarjetas amarillas y una roja y que pagó
24

$30.000. ¿Cuánto debe hacer pagar el entrenador a cada jugador que le sacaron
amarilla o roja?
Primero, se asignan las variables para cada incógnita.
a= valor tarjeta amarrilla.
r= valor tarjeta roja.
Segundo, se plantea un sistema de ecuaciones:
{
5𝑎 + 2𝑟 = 39000 (1)
3𝑎 + 𝑟 = 30000 (2)
}
Tercero, se resuelve el sistema de ecuaciones por reducción.
Para eliminar a se observa que la ecuación 1 tiene coeficiente 2, entonces, se busca
que la ecuación 2 tenga el coeficiente opuesto al de la ecuación 1.
Se multiplica la ecuación 1 por 1.
5𝑎 + 2𝑟 = 39000 ∗ 1
5𝑎 + 2𝑟 = 39000

Se multiplica la ecuación 2 por -2.
3𝑎 + 𝑟 = 30000 ∗ −2
−6𝑎 − 2𝑟 = −60000

Se suman las ecuaciones transformadas para eliminar a.
5𝑎 + 2𝑟 = 39000
−6𝑎 − 2𝑟 = −60000
−𝑎 + 0 = −21000
−𝑎 = −21000
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 (−1) 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠
𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑎
𝑎 = 21000

Luego se reemplaza el valor de a en cualquiera de las ecuaciones iniciales.
𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟.
5𝑎 + 2𝑟 = 39000
5(21000) + 2𝑟 = 39000
105000 + 2𝑟 = 39000
2𝑟 = 39000 − 105000
2𝑟 = −66000
𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑟
𝑟 = −
66000
2

𝑟 = −33000

Finalmente, se escribe la respuesta del problema.
25

El precio de una tarjeta amarrilla es $21000 y una tarjeta roja es de $-33000.
En este caso la solución es inconsistente dado que no podemos dar un valor en dinero
negativo. Lo que el entrenador no recuerda los datos reales.

4.3. ESTRATEGIAS GENERALES EMPLEADAS POR LOS ALUMNOS

Cabe destacar, que en la resolución de problemas es particularmente útil la utilización
de estrategias generales tales como: traducir el problema a otro equivalente,
descomponer el problema en sub-problemas, fijar los valores de algunas de las variables
y principalmente, el empleo de algún método de solución.

A continuación analizamos y clasificamos las estrategias empleadas por estudiantes,
para la solución correcta o incorrecta de los problemas que se plantea en el instrumento
de evaluación aplicado a los estudiantes de grado noveno. La clasificación se hizo por
grupos de repuestas similares:

4.3.1. Grupo uno.

1. Los dos últimos fines de semana Sofía llevo a sus nietos al cine. La primera vez
pago $23.500 por 2 adultos y un niño, y la segunda vez pago $25.500 por un
adulto y tres niños. ¿Cuánto pago Sofía por cada entrada de adulto y de niño?

Figura 1. Tipo de Respuesta 1

Este grupo de estudiantes Plantea un sistema de ecuaciones lineales y lo resuelve en
forma mecánica, dejan dos vacíos, al inicio no identifica que representa cada una de las
incógnitas y al final no plantea una interpretación de acuerdo al problema.

Figura 2. Tipo de Respuesta 2

El grupo de estudiantes que realiza el tipo de respuesta 2, plantea las ecuaciones y en
el desarrollo del ejercicio comete errores de operaciones y concepto de fracción aunque
identifican que representa cada variable no interpretan el significado de un valor negativo
en un costo.

Figura 3. Tipo de Respuesta 3.

Este grupo de estudiantes plantea un sistema de ecuaciones, resuelve cada ecuación de
forma independiente para encontrar la solución de cada incógnita.

2. Sebastián acostumbra a comprar materiales para compartir con sus compañeros
los martes de prueba. En un fin de semana compró 5 lápices y 3 borradores, por
un valor de $4180. La siguiente semana compro 10 lápices y 6 borradores por
$8360. ¿Cuánto pago Sebastián por cada lápiz y por cada borrador?

Figura 4. Tipo de Respuesta 1

Para este problema encontramos que un grupo de estudiantes plantean el sistema
ecuaciones, lo resuelve pero queda corto al encontrar la solución no interpretan.

Figura 5.Tipo de Respuesta 2.

Este grupo de estudiantes presenta dificultad para plantear las ecuaciones, resuelve el
problema de manera aritmética usando ensayo error y trata de transcribir el problema
haciendo operaciones que no lo llevan a ninguna solución lógica.

Figura 6. Tipo de Respuesta 2.

Este grupo de estudiantes plantean el sistema de ecuaciones y aplica correctamente el
principio de igualdad, pero presenta inconvenientes en despeje de las incógnitas y en
identificar operaciones básicas.

Figura 7. Tipo de Respuesta 1.

Este grupo de estudiantes presenta dificultad para plantear las ecuaciones, recure a la
aritmética para probar la solución que el propone y redacta la respuesta al interrogante
del problema.

Figura 8. Tipo de Respuesta 2.

Este grupo de estudiantes plantean el sistema de ecuaciones, busca la solución
usando un método y al prever que no llegaran a una solución abandona el proceso y lo
dejan inconcluso.

4.3.2. Grupo dos

Figura 9. Tipo de respuesta 1

Para este problema el primer grupo de estudiante, plantea el sistema de ecuaciones, usa
el método de igualación para llegar a la solución aunque inicialmente no escribe que
representa cada incógnita si lo evidencia al redactar la solución a este problema.
34

Figura 10. Tipo de Respuesta 2.

Este grupo de estudiantes plantean dos ecuaciones en forma incorrecta resuelven cada
una aplicando algoritmos aritméticos.

Figura 11. Tipo de Respuesta 1.

Este grupo de estudiante plantea la ecuación, la resuelve por método de igualación y
cuando la única incógnita se anula, forza la respuesta, ya que infiere que todo sistema
de ecuaciones tiene una única solución.
36

Figura 12. Tipo de Respuesta 2.

El siguiente grupo de estudiantes usa la aritmética, específicamente el concepto de
proporción para llegar a la proporción.

3. Para ingresar a un parque de diversiones, luisa paga $33.000 por 3 entradasde
adulto y 2 de niño. Mientras que Carlos por 5 de adulto y 4 de niño paga $57.000.
¿Cuánto cuesta cada entrada para adulto y cuanto para cada niño?

Figura 13. Tipo de Respuesta 1.

Este grupo de estudiantes plantea el sistema de ecuaciones, lo intenta resolver por el
método de igualación, pero en el momento de llegar a las respuestas cometen errores
en operaciones básicas como la multiplicación y la división.
38

Figura 14. Tipo de Respuesta 2.

Este grupo de estudiantes plantean el sistema de ecuaciones, pero al resolverlo
comete errores en el concepto de fracción, sin embargo argumenta la respuesta
obtenida por ellos.

4. Los jóvenes de octavo grado de una institución educativa juegan un campeonato
departamental de futbol sala, ellos juegan partidos en representación del
municipio y el ganador del torneo representa al departamento en el campeonato
nacional. El municipio encarga al entrenador para que promueva el juego limpio y
dentro de las responsabilidades está en hacer que cada jugador pague por las
tarjetas que el árbitro les ponga en cada partido, el entrenador después de dos
juegos se percata que no les ha dicho a los jugadores cuando deben pagar, y la
única información que tiene el entrenador es que durante el primer partido pagó
$39.000 y recuerda que fueron 5 tarjetas amarillas y 2 tarjetas rojas, también
recuerda que en el segundo fueron 3 tarjetas amarillas y una roja y que pagó
39

$30.000. ¿Cuánto debe hacer pagar el entrenador a cada jugador que le sacaron
amarilla o roja?

Figura 15. Tipo de Respuesta 1.

Este grupo de estudiantes plantea correctamente las ecuaciones, pero al momento de
solucionar el sistema por algún método no se dan cuenta que la solución es inconsistente
dado que no podemos dar un valor en dinero negativo.
40

4.4. AUDIOS DE ENTREVISTAS CON ESTUDIANTES.

Después de la aplicación del instrumento se evidencio la necesidad de hacer una
entrevista a algunos estudiantes ya que es notorio que nuestros educandos no realizan
la solución óptima del sistema y es evidente los errores a la hora de despejar incógnitas
e interpretar la respuesta obtenida, Por tal razón es de interés indagar cómo se sintieron
en la resolución del problema, esto con el fin de detectar factores que pudieran influir en
la solución de las problemas.

Estas son las respuestas que dieron. Audios:
PROFESOR: ¿Juan Esteban Roa usted en el día de hoy como se sintió en el instrumento
que aplicamos en solución de problemas?
JUAN ESTEBAN ROA: Bueno, yo me sentí muy bien porque estoy aprendiendo como
sacar ecuaciones, los resultados para los problemas que nos hagan y no pues estoy
aprendiendo mucho y me pareció muy buena queeee un poco difícil pero lo logré.
PROFESOR: Bueno gracias muy amable.

PROFESOR: ¿Cristian Loaiza usted como se sintió hoy en la solución de problemas?
CRISTIAN LOAIZA: No pues no fue tan complicado como pensaba, porque el profesor
me ha explicado de una manera muy muy bien y pues no fue tan complicado, y eso se
me hizo muy fácil ya que sus ejemplos y su explicación que han dado ha sido muy buena.
PROFESOR: gracias Cristian

PROFESOR: ¿Sebastián Caro a usted como le pareció la prueba que aplicamos hoy de
solución de problemas?
SEBASTIAN CARO: No pues la prueba estaba un poquito difícil, no pues porque la
verdad no sabíamos cómo hacerla bien, por lo menos yo no sabía que método utilizar
para poder hacer los problemas, entonces se me complico un poquito sacarlos, pero no
a lo último estuvo bien y al final los pude resolver.
PROFESOR: Gracias Sebastián.
41

PROFESOR: ¿Samir Romero usted como se sintió hoy cuando aplicamos la prueba de
solución de problemas?
SAMIR ROMERO: pues bien, eso uno, si uno no entendía bien pues uno podía hacerlo
con el modo que uno quisiera, ósea no importaba si fuera por el método de sustitución,
de igualación, podría ser de división de resta o suma, ¡Ehh¡ según lo que uno entendiera
ahí era que uno podía solucionar el problema.
PROFESOR: Gracias Samir.
PROFESOR: ¿Leidy usted en el día de hoy como se sintió en la aplicación de la prueba
de solución de problemas?
LEIDY: Bueno pues en la Prueba me sentí muy bien, pues me pareció muy fácil, ¡Eh!al
igual esto realizamos las operaciones de manera que nosotros las entendíamos y pues
buscábamos opciones de las cuales nosotros ya sabemos, ¡Eh! Para realizar la
evaluación y pues la verdad me pareció una evaluación bien y me sentí muy bien.
PROFESOR: Gracias Leidy
Los estudiantes entrevistados consideraron que los problemas propuestos eran de un
nivel muy básico, que llegar a la solución era muy fácil esto evidencia que estaban
seguros que manejan los conceptos y que los procesos desarrollados no tenían error
alguno, aunque los protocolos evidencian todo lo contrario, pues muestran los diferentes
errores y la falta de interpretación de las soluciones planteadas.

5. CONCLUSIONES

En el capítulo anterior hemos hecho un análisis de las soluciones de los estudiantes a
los problemas planteados, respecto a la interpretación del enunciado en cada problema,
y la utilización o no de alguna estrategia (correcta o incorrecta) de resolución. Las
principales conclusiones se describen a continuación.

Nuestro análisis pone de manifiesto la notable dificultad que tienen los alumnos para
hacer una diferenciación correcta del tipo de elementos (distinguibles o no) que se
plantean en los problemas. Los errores en plantear el sistema de ecuaciones, en los
métodos de solución y la interpretación de los resultados aparecen en la mayoría de las
resoluciones.

Este trabajo cuestiona la manera en que se está enseñando los sistemas de ecuaciones
en nuestra institución educativa. Estamos convencidos que aquí hay una oportunidad
de ayudar al estudiante a desarrollar nuevas herramientas, a través de la práctica
adecuada de estas habilidades dentro del aula de clase. Los métodos actuales de
enseñanza son más fácil asimilación por parte de los estudiantes, que hacen énfasis
excesivo en los métodos de solución, por una enseñanza donde las estrategias de
resolución se puedan utilizar adecuadamente a la diversidad de situaciones planteadas
en cualquier campo de aplicación. Esta experiencia puede ser un primer paso en la
construcción de una secuencia didáctica que pueda llevar al alumno a desarrollar la
capacidad de plantear problemas a partir de la utilización de razonamientos individuales
adecuados.

Los estudiantes presentaron mayores problemas al solucionar las situaciones que no
tenían solución lógica y con las que tenían infinitas soluciones, ellos no relacionaban los
resultados encontrados, esto es resultado de la forma tradicional como se enseñaron los
métodos de solución, que aísla los métodos con situaciones del contexto real.
43

Se hace necesario brindarle a los estudiantes instrumentos que le faciliten la asimilación
de contenidos y, a la vez, les permitan transferir ese conocimiento más allá del aula de
clases integrándolos a la realidad propia de su ambiente (Aprendizaje en contexto).

Dentro del análisis cualitativo se evidencio que la competencia que más se desarrolló en
los estudiantes fue la interpretativa. Eso se debe al mejoramiento en el proceso de
planteamiento del sistema de ecuaciones, solución de problemas identificando sus
variables, la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico y aplicar métodos para
solucionar ecuaciones con dos incógnitas.

El trabajo en clase favoreció el aprendizaje de los estudiantes, integrando sus
experiencias y haciéndolos participes en el desarrollo de las actividades. En ellas se
generaron varias expectativas a partir de la aplicación del instrumento de problemas de
sistema de ecuaciones lineales. Finalmente esto fomento en los estudiantes una actitud
positivade mayor interés y atención en la ejecución del trabajo.

REFERENCIAS

Díaz Levicoy, D. (2010). Sistema de ecuaciones y resolución de problemas: una
propuesta de enseñanza y aprendizaje. Memorias Santa Rosa, La Pampa,
Argentina.

García Monroy, P. y Rendón García, J.L. (2011) Comprensión y conceptualización en el
proceso de Enseñanza-aprendizaje de ecuaciones lineales. XI Congreso Nacional
de Investigación Educativa. Ponencia. Universidad Pedagógica Nacional de
Pachuca.

Martínez de la Rosa, F. y Sáez Martínez, S.M. (2014) Los sistemas de ecuaciones en el
bachillerato. 85, 41-48. Universidad de Cádiz. España.

Moreno, I., y Castellanos, L. (1997). Secuencia de enseñanza para solucionar
ecuaciones de primer grado con una incógnita. Revista EMA, 2 (3), 247-258.

Otero, M. R., Fanaro, m. d., Sureda, P., Llanos, V. C., & Arlego, M. (2014). La Teoría de
los Campos Conceptuales y la Conceptualización en el Aula de Matemática y
Fisica. Buenos Aires : Dunken.

Segura de Herrero, S.M. (2004) Sistemas de ecuaciones lineales: una secuencia
didáctica. RELIME, 7 (1), 49-78.

Trejo Trejo, E., Camarena Gallardo. (2011) Análisis cognitivo de situaciones problema
con sistemas de ecuaciones algebraicas en el contexto del balance de materia.
Educación Matemática, 23 (2), 65-90. Grupo Santillana México. Distrito Federal,
México
45

ANEXOS

Anexo A. Instrumento Aplicado a Estudiantes.

UNIVERSIDAD DEL TOLMA

Favor leer detenidamente cada uno de los problemas antes de solucionarlos, no borrar
los procedimientos si se cometen errores, solo realice la corrección y haga la aclaración
por medio de un comentario en la parte de abajo. Recuerde que en cada caso debe
realizar una conclusión coherente con la situación del problema.
Nota: Para cada uno de las situaciones debe justificar su respuesta.
4. Los dos últimos fines de semana Sofía llevo a sus nietos al cine. La primera vez
pago $23.500 por 2 adultos y un niño, y la segunda vez pago $25.500 por un
adulto y tres niños. ¿Cuánto pago Sofía por cada entrada de adulto y de niño?

5. Sebastián acostumbra a comprar materiales para compartir con sus compañeros
los martes de prueba. En un fin de semana compró 5 lápices y 3 borradores, por
un valor de $4180. La siguiente semana compro 10 lápices y 6 borradores por
$8360. ¿Cuánto pago Sebastián por cada lápiz y por cada borrador?

6. Para ingresar a un parque de diversiones, luisa paga $33.000 por 3 entradas de
adulto y 2 de niño. Mientras que Carlos por 5 de adulto y 4 de niño paga $57.000.
¿Cuánto cuesta cada entrada para adulto y cuanto para cada niño?

7. Los jóvenes de octavo grado de una institución educativa juegan un campeonato
departamental de futbol sala, ellos juegan partidos en representación del
municipio y el ganador del torneo representa al departamento en el campeonato
nacional. El municipio encarga al entrenador para que promueva el juego limpio y
dentro de las responsabilidades está en hacer que cada jugador pague por las
tarjetas que el árbitro les ponga en cada partido, el entrenador después de dos
juegos se percata que no les ha dicho a los jugadores cuando deben pagar, y la
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única información que tiene el entrenados es que durante el primer partido pagó
$39.000 y recuerda que fueron 5 tarjetas amarillas y 2 tarjetas rojas, también
recuerda que en el segundo fueron 3 tarjetas amarillas y una roja y que pagó
$30.000. ¿Cuánto debe hacer pagar el entrenador a cada jugador que le sacaron
amarilla o roja?
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Anexo B. Protocolos.