Definición de números complejos

Vista previa del material en texto

De�nición de números complejos
La introducción de los números complejos representa un hito importante en el desarrollo de la
teoría matemática, proporcionando una extensión necesaria del conjunto de los números reales.
La de�nición de números complejos involucra la incorporación de la unidad imaginaria,
denotada por "i", que es la raíz cuadrada de -1. Aunque inicialmente esta idea pueda parecer
abstracta o incluso contradictoria, la noción de números complejos ha demostrado ser esencial
en la resolución de ecuaciones algebraicas y en la descripción de fenómenos en diversas
disciplinas.
Un número complejo se expresa en la forma a + bi, donde "a" y "b" son números reales, y "i" es la
unidad imaginaria. La parte "a" se denomina parte real, mientras que la parte "b" se conoce
como parte imaginaria. La combinación de estas dos partes da como resultado un número
complejo que no puede ser representado en el conjunto de los números reales solamente. Por
ejemplo, el número complejo 3 + 2i tiene una parte real de 3 y una parte imaginaria de 2.
La unidad imaginaria "i" tiene propiedades especiales que la de�nen. Se de�ne como la raíz
cuadrada de -1, lo que signi�ca que i² es igual a -1. Esta propiedad fundamental de "i" permite la
manipulación algebraica de expresiones que involucran raíces cuadradas de números negativos,
lo que conduce a soluciones que no pueden encontrarse en el conjunto de los números reales.
La aritmética de los números complejos sigue reglas especí�cas. La suma y resta se realizan por
separado en las partes reales e imaginarias, mientras que la multiplicación se lleva a cabo
utilizando la propiedad i² = -1. La división de números complejos se simpli�ca multiplicando
tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, lo que resulta en
la eliminación de la parte imaginaria del denominador.
La representación grá�ca de los números complejos se realiza en el plano complejo, donde el eje
horizontal representa la parte real y el eje vertical representa la parte imaginaria. Esta
representación geométrica facilita la visualización y el análisis de las propiedades de los números
complejos, como el módulo y el argumento.
La introducción de los números complejos no solo amplía el conjunto numérico, sino que
también resuelve ecuaciones algebraicas que antes carecían de soluciones en el ámbito de los
números reales. El Teorema Fundamental del Álgebra establece que cualquier ecuación
polinómica con coe�cientes complejos tiene al menos una raíz compleja, subrayando la
importancia y la omnipresencia de los números complejos en la teoría matemática.
En conclusión, la de�nición de números complejos implica la incorporación de la unidad
imaginaria "i" para extender el conjunto de los números reales. Esta ampliación no solo
enriquece la teoría matemática, sino que también encuentra aplicaciones en diversas disciplinas,
desde la resolución de ecuaciones algebraicas hasta la descripción de fenómenos en física,
ingeniería y otras áreas. La versatilidad de los números complejos ha demostrado ser esencial,
consolidando su posición como una herramienta matemática fundamental.