2dos-medio-A-B-Matemática-PPT-n1-Ecuación-Cuadrática-05-al-09-de-Octubre

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MATEMÁTICA
Ecuación Cuadrática
“Siempre parece imposible 
hasta que se hace” (Nelson Mandela) .
Docentes: Montserrat Guerrero – Susana Hueicha
Docente: Diferencial: Verónica Jara
Cursos: Segundo A – Segundo B
Temuco, Octubre de 2020
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Una ecuación cuadrática con una incógnita es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita es dos,
es decir, es una ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con𝒂, 𝒃, 𝒄 números reales y 𝒂≠0
𝒂≠0, dado que en 
caso contrario ésta 
se convertiría en una 
ecuación lineal o de 
primer grado
ECUACIÓN CUADRÁTICA
ECUACIÓN 
CUADRÁTICA
INCOMPLETA
PURA 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑏 = 0 y 𝑐 ≠ 0 
MIXTA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 = 0 
COMPLETA 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0
Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita se clasifican según el valor de los coeficientes
𝒃 y 𝒄. Si 𝒃 = 0 o 𝒄= 0 o ambos coeficientes son cero, se dice que la ecuación es incompleta. Si ambos
coeficientes son distintos de cero se dice que son completa.
INCOMPLETA PURA INCOMPLETA MIXTA COMPLETA
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, 𝑏 = 0 y 𝑐 ≠ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0
Ejemplo 𝑥2 + 25𝑥 = 0
→ 𝑎 = 1 y 𝑏 = 25
Ejemplo 9𝑥2−3𝑥 = 0
→ 𝑎 = 9 y 𝑏 = −3
Ejemplo −𝑥2 +
2
5
𝑥 = 0
→ 𝑎 = −1 y 𝑏 =
2
5
Ejemplo 4𝑥2 + 9 = 0
→ 𝑎 = 4 y 𝑐 = 9
Ejemplo 𝑥2−3 = 0
→ 𝑎 = 1 y 𝑐 = −3
Ejemplo −𝑥2 +
1
4
= 0
→ 𝑎 = −1 y 𝑐 =
1
4
Ejemplo 𝑥2 + 4𝑥 + 8 = 0
→𝑎 = 1, 𝑏 = 4 y 𝑐 = 8
Ejemplo 6𝑥2−3𝑥 + 2 = 0
→ 𝑎 = 6, 𝑏 = −3 y 𝑐 = 2
Ejemplo −2𝑥2 + 7𝑥 + 15 = 0
→ 𝑎 = −2, 𝑏 = 7 y 𝑐 = 15
Es encontrar los valores de las incógnitas 𝒙 (soluciones) que satisfacen la ecuación, es decir, que al reemplazar
en la ecuación se cumple la igualdad.
Por ejemplo, 𝒙 = 𝟐 es solución
de la ecuación cuadrática
2𝑥2 − 8 = 0 porque:
2𝒙2 − 8 = 0
2 ∙ (𝟐)2 − 8 = 0
2 ∙ 4 − 8 = 0
8 − 8 = 0
0 = 0
Se cumple la igualdad
¿QUÉ ES RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?
Por ejemplo, 𝒙 = −𝟐 es
solución de la ecuación
cuadrática 2𝑥2 − 8 = 0 porque:
2𝒙2 − 8 = 0
2 ∙ (−𝟐)2 − 8 = 0
2 ∙ 4 − 8 = 0
8 − 8 = 0
0 = 0
Se cumple la igualdad
Por ejemplo, 𝒙 = 𝟑 es solución
de la ecuación cuadrática
2𝑥2 − 8 = 0 porque:
2𝒙2 − 8 = 0
2 ∙ (𝟑)2 − 8 = 0
2 ∙ 9 − 8 = 0
18 − 8 = 0
10 ≠ 0
No se cumple la igualdad
Una ecuación cuadrática con una incógnita siempre tiene como resultado 2 valores como raíces(soluciones)
A continuación abordaremos 4 métodos para resolver una ecuación cuadrática:
4. Ecuaciones Cuadráticas 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mediante 
FÓRMULA GENERAL 
1. Ecuaciones Cuadráticas 
Incompletas Puras 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
mediante ELIMINACIÓN DE 
TÉRMINOS
2. Ecuaciones Cuadráticas 
Incompletas Mixtas 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
mediante FACTOR COMÚN
3. Ecuaciones Cuadráticas 
Completas 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
mediante FACTORIZACIÓN 
TRINOMIO CON TÉRMINO EN 
COMÚN
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACIÓN CUADRÁTICA (INCOMPLETA PURA)
Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 donde los coeficientes 𝒂 y 𝒄 son números reales
distintos de 0 y el coeficientes 𝒃 es igual a 0
Ejemplo de resolución mediante ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS:
Sumar o restar el inverso aditivo del coeficiente 𝑐 a
ambos lados de la ecuación.
Dividir por el coeficiente 𝑎 en ambos lados de la ecuación.
Aplicar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
En este caso 
𝑎 = 3 y 𝑐 = −27
Las raíces de la 
ecuación (soluciones) 
son 𝑥1 = 3; 𝑥2= −3
Calcular la división
En este caso, se puede calcular la raíz
ECUACIÓN CUADRÁTICA (INCOMPLETA MIXTA)
Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 donde los coeficientes 𝒂 y 𝒃 son números
reales distintos de 0 y el coeficientes 𝒄 es igual a 0.
Ejemplo de resolución mediante FACTORIZACIÓN POR TÉRMINO COMÚN:
El primer paso es factorizar por término común la ecuación,
en este caso el termino común es x
Para que se cumpla la igualdad, uno de los factores debe ser 0.
.
En este caso 
𝑎 = 2 y 𝑏 = 8
Las raíces de la ecuación 
(soluciones) son 
𝑥1 = 0; 𝑥2= −4 
Para encontrar las soluciones debemos igualar cada factor a 0 y resolver por separado
2𝑥 + 8 = 0
2𝑥 = −8
𝑥 =
−8
2
𝑥 = −4
𝑥 = 0
2𝑥2 + 8𝑥 = 0
𝑥(2𝑥 + 8) = 0
Sea 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0, 
entonces:
ECUACIÓN CUADRÁTICA (COMPLETA)
Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 donde el coeficiente 𝒂 es igual a 1 y los
coeficientes 𝒃 𝒚 𝒄son números reales distintos de 0
Ejemplo de resolución mediante FACTORIZACIÓN TRINOMIO CON TÉRMINO COMÚN :
En este caso 
𝑎 = 1, 𝑏 = −8 y 𝑐 = 15
Las raíces de la ecuación 
(soluciones) son 
𝑥1 = 5; 𝑥2= 3
Este método consiste en expresar la ecuación 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 de la forma:
𝑥1 +𝑀 𝑥2 + 𝑁 = 0 Tal que se cumple: 𝑀 ∙ 𝑁 = 𝒄 Y 𝑀+𝑁 = 𝒃
𝑀 ∙ 𝑁 = 15
𝑀 + 𝑁 = −8
−5 ∙ −3 = 15
−5 + −3 = −8
Luego, 𝑥1 +𝑀 𝑥2 + 𝑁 = 0
𝑥1 − 5 𝑥2 − 3 = 0
Ambos factores se igualan a cero y
se resuelven
𝑥1 − 5 = 0 𝑥2 − 3 = 0
𝑥1= 5 𝑥2 = 3
ECUACIÓN CUADRÁTICA 
Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 donde el coeficiente 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son números
reales distintos de 0
Ejemplo de resolución mediante FÓRMULA GENERAL:
Este método proporciona una fórmula general que permite encontrar las soluciones de la ecuación a
partir de los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Además, sirve para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.
Sea 5𝑥2 − 20𝑥 + 15 = 0. Entonces, 𝑎 = 5; 𝑏 = −20; 𝑐 = 15
Sea 𝑥2 + 8𝑥 = 0. Entonces, 𝑎 = 1; 𝑏 = 8; 𝑐 = 0
Sea −7𝑥2 + 1 = 0. Entonces, 𝑎 = −7; 𝑏 = 0; 𝑐 = 1
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
ECUACIÓN CUADRÁTICA 
Se reemplazan los coeficientes numéricos en la FÓRMULA GENERAL:
En este caso 
𝑎 = 5, 𝑏 = −20 y 𝑐 = 15
Las raíces de la ecuación 
(soluciones) son 
𝑥1 = 3; 𝑥2= 1
𝑥
𝑥
𝑥 𝑥
𝑥
𝑥
𝑥