guía-ecuación-cuadrática

Vista previa del material en texto

Colegio Metodista Robert Johnson 
1 
 
 Ecuación cuadrática 
Nombre: Curso 2 ° medio A / B / C / D Fecha / / / 2020 
Objetivo: Reconocer los elementos de una ecuación cuadrática, 
aplicar modelos matemáticos para la resolución de ecuaciones 
cuadráticas, determinar la naturaleza de la ecuación. 
Importante 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
Anímate a aprender y 
superar cualquier 
obstáculo… 
Ecuación cuadrática 
Son ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, donde 
𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 ∈ ℝ 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 
Por ejemplo: 9𝑥2 + 6𝑥 + 7 = 0 
Es importante reconocer los coeficientes de la ecuación 
cuadrática, los elementos (𝑎, 𝑏, 𝑐) si usamos la ecuación 
anterior 
9𝑥2 + 6𝑥 + 7 = 0 
𝒂 Es el coeficiente que acompaña a la incógnita que está al 
cuadrado, es decir, 𝒂 = 𝟗 
𝒃 Es el coeficiente que acompaña a la incógnita que no 
tiene exponente, es decir, 𝒃 = 𝟔 
𝒄 Es el coeficiente constante, aquel que no está 
acompañado de alguna incógnita, es decir, 𝒄 = 𝟕 
Veamos otro ejemplo: 
3𝑥2 + 2𝑥 − 10 = 0
𝒂 = 𝟑 ; 𝒃 = 𝟐 ; 𝒄 = −𝟏𝟎
 
Y ahora un último ejemplo 
 
 
 
𝑥2 − 8𝑥 − 5 = 0
𝒂 = 𝟏 ; 𝒃 = − 𝟖 ; 𝒄 = −𝟓
 
Ya que sabemos identificar los coeficientes en una 
ecuación cuadrática, ahora inténtalo tú: 
1- 3𝑥
2 + 5𝑥 + 8 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
 
 
2- 𝑥
2 − 2𝑥 + 12 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
 
 
3- −𝑥
2 + 15𝑥 − 18 = 0
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 
 
 
 
 
 
¿Cómo resolver una ecuación cuadrática? 
Para determinar la solución o las soluciones de una 
ecuación cuadrática de x en una ecuación cuadrática 
utilizaremos la formula 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
Y en este tipo de ecuaciones nos encontraremos con 
algunas que tienen dos soluciones, otras tendrán solo una 
solución y otras no tendrán soluciones reales. 
Ahora apliquemos la fórmula y veamos cuantas soluciones 
nos encontramos. Ejemplo 1: 
𝑥2 + 10𝑥 + 16 = 0 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 1 𝑏 = 10 𝑐 = 16 
Ahora reemplazamos en nuestra fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−10 ± √102 − 4(1)(16)
2(1)
 
Ahora resolvemos lo que está dentro del radical 
𝑥 =
−10 ± √100 − 64
2
 
𝑥 =
−10 ± √36
2
 
Ahora que dentro del radical ya no se puede resolver nada, 
analizamos el resultado, si este es mayor que cero 
tendremos dos soluciones, en este caso es (36), luego 
buscamos la raíz de la base y se divide en dos una parte 
positiva y una negativa 
−10 ± √36
2
 
−10 + 6
2
=
−4
2
= −2
 
−10 − 6
2
=
−16
2
= −8
 
Las soluciones son: 𝒙𝟏 = −𝟐 ; 𝒙𝟐 = −𝟖 
Nota: si la incógnita no tiene 
acompañante se dice que es 
igual a 1 
 Colegio Metodista Robert Johnson 
2 
 
Ejemplo 2: 
4𝑥2 + 32𝑥 + 64 = 0 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 4 𝑏 = 32 𝑐 = 64 
Ahora reemplazamos en nuestra fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−32 ± √322 − 4(4)(64)
2(4)
 
Ahora resolvemos lo que está dentro del radical 
𝑥 =
−32 ± √1024 − 1024
8
 
𝑥 =
−32 ± √0
8
 
𝑥 =
−32
8
 
𝑥 = −4 
Importante 
A diferencia del ejemplo 1 ahora solo tenemos una 
solución para la ecuación, esto se debe a que el valor del 
radical es 0, es decir, si el valor de la base del radical es 
mayor que 0 tendremos dos soluciones (ejemplo 1 base del 
radical 36), si la base del radical es 0 tendremos una 
solución (ejemplo 2 base del radical 0) 
Ejemplo 3: 
5𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 5 𝑏 = 7 𝑐 = 10 
Ahora reemplazamos en nuestra fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−7 ± √72 − 4(5)(10)
2(5)
 
 
 
 
Ahora resolvemos lo que está dentro del radical 
𝑥 =
−7 ± √49 − 200
10
 
𝑥 =
−7 ± √−151
10
 
En este caso la ecuación no tiene 
soluciones reales. 
 
Conclusiones 
Si el valor que nos resulte como base del radical es mayor 
que 0 tendremos dos soluciones reales, 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 
Si el valor que nos resulte como base del radical es igual a 
0 tendremos solo una solución 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 
Si el valor que nos resulte como base del radical es menor 
que cero no tendremos soluciones reales. 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 
Discriminante 
A la expresión 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 le llamaremos discriminante y 
nos indicara la cantidad de soluciones de nuestra ecuación 
cuadrática. 
Por ejemplo 
Determina la cantidad de soluciones de la ecuación de 
segundo grado 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 1 𝑏 = 7 𝑐 = 10 
Reemplazamos en 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 
72 − 4(1)(10) 
49 − 40 
9 
Como el resultado es 9 y es mayor que 0 sabemos que 
tiene dos soluciones reales. 
 
 
 
En este caso nos 
da 0 dentro del 
radical, por lo que 
tendremos solo 
hay una solución 
En este caso nos 
da un número 
menor que 0 en el 
radical, como el 
índice es 2 quiere 
decir que la base 
no puede ser 
negativa, ya que 
no tiene solución 
 Colegio Metodista Robert Johnson 
3 
 
Veamos un ejemplo ahora de todo para que nos quede más 
claro 
Ejemplo 4: 
Resuelve la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟖 = 𝟎 
Lo primero es identificar los coeficientes 
𝑎 = 1 𝑏 = −12 𝑐 = −28 
No olvidar los signos al momento de identificar los 
cocientes. 
Ahora reemplazamos en nuestra fórmula 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−12) ± √(−12)2 − 4(1)(−28)
2(1)
 
Importante recordar la regla de los signos −(−𝟏𝟐) = 𝟏𝟐 
Importante recordar que si un negativo esta al cuadrado el 
resultado es positivo (−𝟏𝟐)𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 
Importante recordar regla de los signos 
−𝟒(𝟏)(−𝟐𝟖) = 𝟏𝟏𝟐 
Ahora resolvemos lo que está dentro del radical 
𝑥 =
12 ± √144 + 112
2
 
𝑥 =
12 ± √256
2
 
Como nos resultó un radical con base mayor a 0 quiere 
decir que tendremos dos soluciones 
12 ± √256
2
 
12 + 16
2
=
28
2
= 14 
12 − 16
2
=
−4
2
= −2
 
Las soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟏𝟒 ; 𝒙𝟐 = −𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios 
1- Determina la naturaleza de la ecuación 
(cantidad de soluciones) 
 
a) 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟖 = 𝟎 
b) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎 
c) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 
d) −𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟎 
e) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐 = 𝟎 
f) 𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝟎 
g) 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟔𝟒𝒙 + 𝟔𝟒 = 𝟎 
h) 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
i) −𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 
j) 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
 
 
2- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo 
grado siguiendo los ejemplos. 
 
a) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
b) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟎 
c) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 = 𝟎 
d) 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 
e) 𝟔𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 
f) 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 
g) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝟗 = 𝟎 
h) 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
i) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 
j) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎