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Sec 2.3 
Funciones cuadráticas 
Ecuaciones cuadráticas 
 Una ecuación cuadrática es una ecuación que se 
puede escribir de la forma 
 ax2 + bx + c = 0, a  0, 
 donde a, b, y c son números reales. 
 
 Una ecuación cuadrática escrita de esta forma se 
dice que está en la forma general. 
Funciones cuadráticas 
Una función , f , es una función cuadrática si 
f(x) = ax2 + bx + c , 
 donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0. 
 a se conoce como el coeficiente cuadrático. 
 b se conoce como el coeficiente lineal. 
 c se conoce como la constante de la ecuación. 
Gráficas de funciones cuadráticas 
La gráfica de una función cuadrática, f , se 
llama una parábola. 
 f(0) es el int-y de la gráfica de f. 
Si f (0) = c, entonces (0,c) es el int-y. 
 Los valores reales de x tal que f(x) = 0, son 
los interceptos en x de la gráfica. 
La parábola puede tener 2 interceptos en x, un 
intercepto en x o ninguno. 
La parábola siempre tiene un intercepto en y. 
Funciones cuadráticas 
 Identificar a, b, c y el int-y de las siguientes funciones 
cuadráticas. 
 f(x) = 2x2 + 3x + 10 
 
 g(x) = 4x2 – 5x + 9 
 
 h(x) = 7x – 5x2 – 30 
 
 p(w) =1.34w – 21.054 – 0.5w2 
 
 
Los ceros de una función cuadrática 
Los ceros de una función cuadrática 
 f (x) = ax2 + bx + c, a  0, 
 
1. son soluciones de la ecuación cuadrática 
ax2 + bx + c = 0. 
2. pueden ser valores reales o imaginarios. 
3. pueden ser 2, 1 ó 0 (en cantidad) 
 
Si los ceros son reales, entonces indican los interceptos 
en x de la gráfica de f . 
 
Funciones cuadráticas 
Gráficas de funciones cuadráticas: 
Dos interceptos en x 
(la función tiene dos ceros) 
Un intercepto en x 
(la función tiene un cero) 
NO hay intercepto en x 
(la función NO tiene 
ceros reales) 
La Fórmula Cuadrática 
Las soluciones de ax2 + bx + c = 0, a  0, son dadas 
por la fórmula 
 
 
 
Esta fórmula se puede usar para resolver 
CUALQUIER ecuación cuadrática, siempre y cuando 
se identifican correctamente los coeficientes a, b y c. 
x 
b  b2  4ac
2a
.
Determinar el conjunto solución: 
6x2 + x – 2 = 0 
Solución: 
Ejemplo 
Solución: 
 
Resolver 3x2 + 2x = 7. Aproximar la solución a tres 
lugares decimales. 

x 
b b2  4ac
2a
Ejemplo 
Solución: 
 
Hallar los ceros de g(x)= -2x2 + x + 3. 

x 
b b2  4ac
2a
Aproxime, a dos lugares decimales, los 
interceptos en x de f(x) = 3w2 + 4w - 3 
Solución: 
 
Determinar las soluciones reales de 
 5q2 - 2q + 1 = 0 
Solución: 
 
Discriminante 
El valor b2  4ac, se conoce como el discriminante. 
 
Para ax2 + bx + c = 0, donde a, b, and c son números: 
 b2  4ac = 0 Una solución real; 
 b2  4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes; 
 b2  4ac < 0 NO tiene soluciones reales. 
Discriminante 
Usar el discriminante para determinar el número de 
soluciones reales en cada caso: 
1) f(x) = x² − 2x + 1 
 
2) g(x) = 3x2 + 4x – 9 
 
3) h(x) = 4 – x + ½ x2 
 
 
Determinar el número de soluciones 
gráficamente 
Cuando graficas una función cuadrática, el número de 
soluciones reales es igual al número de interceptos 
en x. 
1) f(x) = x² − 2x + 1 
 
 
 
2) g(x) = 3x2 + 4x – 9 
Determinar el número de soluciones 
gráficamente (continuación) 
3) h(x) = 4 – x + ½ x2 4) w(x) = - 4 – 4x – x2 
MÉTODO ALTERNO-
FACTORIZACION 
Revisión de factorización de ecuaciones 
cuadráticas 
Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resuelven 
mediante la factorización, un método que expresa una 
ecuación como el producto de sus factores. 
 
Ejemplo: Factorizar 3x2 – 9x 
 
Se factoriza removiendo el factor común mayor de ambos 
términos: 
3x2 y 9x tienen un factor común ( o máximo común divisor) 
de 3x. 
 
Factorizamos 3x2 – 9x = 3x( - ) 
 3x(x - ) 
 3x(x - 3) 
 
Revisión de factorización 
Factores que sumen 19 
 
 
Factorizar: 6x2 + 19x + 10 
Modelo: ax2 + bx + c (a = 6 b = 19 c = 10) 
 
 (a)(c) = (6)(10) = 60 
Hallamos los factores de 60 
Escribimos la ecuación original usando 4x y 15x 
 6x2 + 19x + 10 = (6x2 + 4x) + (15x + 10) 
 2x (3x + 2) + 5(3x + 2) 
 (2x + 5) (3x + 2) 
6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2) 
(1)(60) (3)(20) (4)(15) (2)(30) (5)(12) (6)(10) 
1+60=61 3+ 20= 23 5+12=17 2+30=32 4+15= 19 
6+10= 16 
Revisión de factorización 
Factores que sumen 5 
 
 
Factorizar: 2x2 + 5x – 25 
Modelo: ax2 + bx + c (a = 2 b = 5 c = -25) 
 
 (a)(c) = (2)(-25) = -50 
Hallamos los factores de - 50 
Escribimos la ecuación original 
 2x2 + 5x – 25 = (2x2 - 5x) + (10x - 25) 
 x (2x - 5) + 5 (2x - 5) 
 (x + 5) (2x - 5) 
2x2 +5x – 25 = (x + 5) (2x - 5) 
(1)(-50) (2)(-25) (-2)(25) (-1)(50) (5)(-10) (-5)(10) 
1+-50=-49 2 + -25= -23 5+ -10= -5 -1+50=49 -2 + 25= 23 
-5+ 10= 5 
Resolver ecuaciones cuadráticas 
Para resolver una ecuación cuadrático necesitamos recordar 
 
El principio de productos que dan cero: 
Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0, 
Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0. 
 
Ejemplo: Resolver 6x2 + 19x + 10 = 0 
 
Ya vimos que 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2). 
Aplicando el principio 
6x2 + 19x + 10 = 0 
(2x + 5) (3x + 2)=0 
2x + 5 =0 3x + 2 = 0 
 
x = 
 
2
5

3
2
x = 
Ejemplo 
Solución 
Resolver 2x2  x = 3. 
2x2  x  3
2x2  x  3 0
x 1  2x  3  0
x 1 0 or 2x  3 0
x  1 or 2x  3
x  1 or x 
3
2
Principios para resolver ecuaciones 
El Principio de la raiz cuadrada 
 
Si x2 = k, entonces 
Ejemplo 
Resolver 2x2  10 = 0. 
Solución 
2x2 10  0
2x2  10
x2  5
x  5 or x   5
 5 .Las soluciones: y 5