Evaluación 2 estadisticas

Vista previa del material en texto

Medidas de Tendencia Central 
Defina y establezca las formulas y de 2 ejemplos para datos simples y datos agrupados (distribución de frecuencia) de:
· Promedio aritmético o media. Ventajas y Desventajas e interpretación
La media no es más que la suma de los valores observados, entre el número total de observaciones. Esta representa el centro físico de un conjunto de datos. 
Cuando hablamos del promedio de algo, estamos hablando de la media aritmética.
Fórmula para el cálculo de la medio aritmética de la población: 
 µ = ∑x1 suma de los valores de todas las observaciones 
 N número de elementos de la población
 Media 
Partimos de esta fórmula para establecer los siguientes cálculos:
· Calculo de la media para datos no agrupados:
Debido a que µ es la media aritmética de la población, usamos N para indicar que se divide entre el número de observaciones del mismo modo, ᵡ¯ es la media aritmética de la muestra y n es el número de observaciones de la muestra y el símbolo sigma ∑, indica que todos los valores se suman
Fórmula:	x=∑x1 
 
Ejemplo 1: 
Resultados de examen de aptitud académica.
	Estudiantes
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Aumento
	9
	8
	7
	7
	4
	4
	2
x=∑x1 
 n 
x = 9+8+7+7+4+4+2
 7
X= 41
 7
X = 5,8 
 Cada estudiante obtuvo en promedio 5,6 puntos en la prueba. 
Ejemplo 2: 
La Compañía Berzus C.A tiene un acuerdo de crédito con el Bank of América. El préstamo mostro los siguientes saldos de fin de mes durante el año 2020.
Enero $1200 Mayo $1850 Septiembre $1200
Febrero 800$ Junio $ 900 Octubre $ 3200
Marzo $1500 Julio $ 1800 Noviembre $ 1850
Abril $4000 Agosto $ 3500 Diciembre $ 920
La compañía podrá obtener una tasa de interés menor si su saldo mensual promedio es mayor a $1000 ¿Califica para esa tasa de interés menor?
x=∑x1 
 n
x = 1200+800+1500+4000+1850+900+1800+3500+1200+3200+1850+920
 12
X = 22.720
 12
X = 1893,33
La compañía Berzus C.a si califica para una tasa de interés menor ya que su promedio mensual es de $1893.33.
Calculo de la media a partir de datos agrupados
	Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. 
Para encontrar la media aritmética de datos agrupados, primero calculamos el punto medio de cada clase; para lograr que los puntos medios queden en cifras cerradas, redondeamos las cantidades. Luego multiplicamos cada punto medio por la frecuencia de las observaciones de dicha clase, sumamos todos los resultados y dividimos esta suma entre el número total de observaciones de la muestra.
Fórmula: x= ∑ (f X x)
 n
Donde x: media de la muestra
 ∑: la suma de..
 F: frecuencia (número de observaciones) de cada clase
 X: punto medio de cada clase en muestra.
 n: número de observaciones en la muestra.
Ejemplo 1: La siguiente distribución de frecuencia representa los pesos en obra de una muestra de paquetes transportados el mes pasado por una compañía de carga aérea.
	Clase
	 Xi
	 f
	 f X x
	10.0 – 10.9
	10.5
	1
	10,5
	11.0 – 11.9
	11.5
	4
	46
	12.0 – 12.9
	12.5
	6
	75
	13.0 – 13.9
	13.5
	8
	108
	14.0- 14.9
	14.5
	12
	174
	 Total
	
	31(n)
	413,5(∑ (f X x))
Calculamos el punto medio Xi
10.0 + 10.9 = 10,45 = 10,5 11.0 + 11.9 = 11,45 = 11,5
 2 2
12.0 + 12.9 = 12,45 =12,5 13.0 + 13.9 = 13,45 =13,5
 2 2
 14.0 + 14.9 = 14,45 =14,5
 2
Procedemos a calcular la media para datos agrupados:
x= ∑ (f X x)
 n
x = 413,5
 31
X = 13,33
El peso promedio de los paquetes transportados es de 13,33 libras
Ejemplo 2: 
La siguiente distribución de frecuencias representa el tiempo en segundos que los cajeros de Bulls Eye Discount Store necesitaron para servir a una muestra de clientes en diciembre de 1996.
	Clase
	Xi
	f
	f X x
	20 – 29
	24,5
	6
	147
	30 – 39
	34,5
	16
	552
	40 – 49
	44,5
	21
	979
	50 – 59
	54,5
	29
	1580,5
	60 – 69
	64,5
	25
	1612,5
	70 – 79
	74,5
	22
	1639
	80 – 89
	84,5
	11
	929,5
	90 – 99
	94,5
	7
	451,5
	100 – 109
	104,5
	4
	418
	110 – 119
	114,5
	0
	0
	120 – 129
	124,5
	2
	249
	
	
	143 (n)
	8558
x= ∑ (f X x)
 n
x = 8558
 143
X = 59,85
Los cajeros necesitaron de un tiempo de 59,85 seg para atender a los 143 usuarios.
Ventajas y Desventajas de la media Aritmética: 
La media aritmética representa un conjunto de datos completos, es por ello que tiene varias ventajas.
1. Se trata de un concepto familiar y es intuitivamente claro. 
2. Cada conjunto de datos tiene una media. Es una medida que puede calcularse y es única debido a que cada conjunto de datos posee una sola media.
3. La media es útil para llevar a cabo procesos estadísticos como la comparación de varias medias de varios conjuntos de datos. 
Desventaja: 
Aunque la media es confiable en cuanto a que toma en cuenta todos los valores del conjunto de datos, puede verse afectada por valores extremos que no son representativos del resto de los datos.
· Promedio Armónico: 
Es el inverso de la media aritmética de los inversos multiplicativos de los valores dados. Se le designa con la letra H
En general la media armónica se utiliza si las observaciones se expresan inversamente a como se expresa el promedio buscado.
Fórmula: H= n
 I + I ……………
 X1 X 2
	 Ejemplo 1 
Suponga que una persona ha gastado 10.000$ en tres tiendas diferentes. En la primera compro 2000$ la unidad, en la segunda $2500 y en la tercera a $5000 la unidad. ¿Cuál es el precio promedio que pago por los artículos?
h= 3 = 30000 = 2727,27
 1 + 1 + 1 11
 2000 2500 5000
		El precio promedio de los artículos es de $2727,27
 
· Promedio Geométrico:
Es la que permite conocer una tasa de cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento y es llamada como M.G 
La media geométrica siempre es menor o igual (nunca será mayor) a la media aritmética. 
Una buena sugerencia de trabajo es usar la media geométrica siempre que se desee calcular el cambio porcentual promedio en el tiempo para algunas variables.
Se usa la media geométrica para mostrar los efectos multiplicativos en el tiempo de los cálculos del interés compuesto y la inflación.
Fórmula: 
 Numero de valores
 M.G = ⁿ√producto de todos los valores x
Ejemplo 1:
Industrial Suppliers, Inc. tiene registros del costo de procesamiento de cada pedido. Durante los últimos 5 años, este costo fue de $55.00, $58.00, $61.00, $65.00 y $66.00. ¿Cuál fue el crecimiento porcentual promedio de la empresa durante este lapso? Si esta tasa promedio se mantiene estable durante 3 años más, ¿cuánto le costará a la empresa procesar un pedido al final de ese periodo?
M.G = 5√ 55 X 58 X 61 X 65 X 66 = 5√ 834,79 = 3,84
El crecimiento promedio de la empresa en los últimos 5 años fue de un 3,84%
3√3,84 x 3,84 x 3,84 = 38,40
De mantenerse la tasa del 3,84% en los próximos 3 años el procesamiento de cada pedido tendría un costo de $38,40
	 Ejemplo 2: 
El incremento porcentual de ventas de los pasados 4 años en Combs Cosmetics fue de 4.91, 5.75, 8.12 y 21.60.
a) Determine la media geométrica del incremento porcentual.
M.G = 4√ 4,91x 5,75 x 8,12 x 21,60 = 4√4,951.75 = 8,39
En los últimos 4 años las ventas aumentaron en un 8,39 %
· Promedio ponderado: 
La media ponderada nos permite calcular el promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total. Se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor. 
Una forma fácil de calcular la media ponderada es multiplicar cada observación por el número de veces que se repite. En este caso las ponderaciones son conteos de frecuencias. 
Fórmula: Xw = ∑ (w X x )
 ∑W
Dónde: Xw símbolo para la media ponderada
 ∑ (w X x ) : la suma de los productos de la ponderación de cada elemento por el elemento correspondiente.
 ∑W : suma de todas las observaciones.
Ejemplo 1: 
 En Junio una inversionista compro 300 acciones de Oracle en 20$ cada una. En agosto compro 400 acciones mas a 25$ cada una. En noviembre compro otras 400 acciones pero el precio bajo a 23$ cada una. ¿ Cual es el precio promedio ponderado de cada acción)
X w: 300(20) + 400(25) + 400 (23) = 6000 + 10000 + 9200 = 25,200 = 22,91
 300 + 400 + 400 1100 1100
El precio ponderado de cada acción es de 22,91$
Ejemplo 2: 
Loris Healthcare System tiene 200 empleados en su personal de enfermería. Cincuenta son auxiliares de enfermería; 50 enfermeras practicantes, y 100 son enfermeras tituladas. Las auxiliares de enfermería ganan $8 la hora; las enfermeras practicantes $15 y las tituladas $24 la hora. ¿Cuál es el salario promedio ponderado por hora?
X w: 50(8) + 50(15) + 100(24) = 400 + 750 + 2400 = 3550 = 17,75
 50 + 50 + 100 200 200
El salario promedio ponderado por hora es de 17,75$.
· Moda o Modo. Ventajas y desventajas de su uso e interpretación.
La moda se define como el valor de la observación con mayor frecuencia.
La moda es una medida de tendencia central diferente de la media, pero un tanto parecida a la mediana, pues en realidad no se calcula mediante algún proceso aritmético ordinario.
La moda se designa como x^.
Los datos 3, 3, 5,6 tienen moda x^ = 3 (datos unimodales)
Los datos 2, 2, 6, 7, 8, 8,3 tienen moda x^ = 2 y x^ 8 (datos bimodales)
Los datos 1, 7, 9,0 no tienen moda.
De ello podemos deducir que una sucesión de datos puede tener solo una moda, varis modas o no tener moda.
En ocasiones se clasifican datos que no son numéricos, es decir podemos clasificar un grupo por edad, genero, ocupación entre otros, en estos casos no hablaríamos de mediana ni de media, sino que nos preguntaríamos cual es el género o la ocupación con mayor grupo. 
Ejemplo 1: 
Las siguientes son las edades de 10 personas que se encuentran en la sala de videojuegos del Southwyck Shopping Mall a las 10 de la mañana.
	12
	8
	17
	6
	11
	14
	8
	17
	10
	8
 X^ = 8
 	 En la sala de video juegos Southwyck la edad modal a es de 8 años.
 Ejemplo2: 
La empresa de contabilidad de Rowatti y Koppel se especializa en la elaboración de declaraciones del impuesto sobre la renta de profesionales independientes, como médicos, dentistas, arquitectos y abogados. La firma emplea a 11 contadores que preparan declaraciones. El año pasado, el número de declaraciones que elaboró cada contador fue la siguiente:
	58
	75
	31
	58
	46
	65
	60
	71
	45
	58
	80
 X^ = 58 
El número de declaraciones modal es de 58. 
	 Calculo de la moda en datos agrupados:
Cuando los datos ya se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias, podemos suponer que la moda está localizada en la clase que contiene el mayor número de elementos, es decir, en la clase que tiene la mayor frecuencia. Para determinar un solo valor para la moda a partir de esta clase modal, utilizamos la siguiente fórmula: 
Dónde: LMo : límite inferior de la clase modal (la clase de mayor frecuencia)
 d1 : frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente menor que ella.
 d2: frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente mayor que ella
 ᵚ : el ancho del intervalo de la clase modal
Ejemplo 1: 
La edad de los residentes de Twin Lakes Retirement Village tiene la siguiente distribución de frecuencias:
Clase Frecuencia
47-51.9 4
52-56.9 9
57-61.9 13
62-66.9 42 clase modal
67-71.9 39
72-76.9 20
77-81.9 9
Estime el valor modal de la distribución
Lmo = 42
d1= 42-13 = 29
d2 = 42 – 39 = 3
ᵚ = 7
Mo = 42 `+( 29 ) . 7
 29 + 3 
Mo = 42 + 29 . 7
 32
Mo = 42 + 0,91 . 7
Mo= 42 + 6,37
Mo = 48,37 
 El valor modal de los residentes es de 48,37
Ventajas:
1. La moda se puede usar como una posición central tanto para datos cualitativos como cuantitativos. 
2. Se puede utilizarla moda sin importar que tan grandes o pequeños sean los valores de un grupo de datos. 
3. Se puede utilizar aun cuando una o más clases sean de extremo abierto. 
Desventajas: 
1. La moda no se usa tan a menudo como medida de tendencia central, como se usan la media y la mediana.
2. Cuando un conjunto de datos tiene dos, tres o más moda es difícil interpretarlos y compararlos.
3. En muchas ocasiones no hay valor modal debido a que el conjunto de datos no contiene valores que se presenten más de una vez. 
· Mediana. Ventajas y Desventajas de su uso e interpretación.
Es el valor que divide un conjunto de observaciones ordenadas respecto de la magnitud de los valores, de tal manera que el número de datos por encima de la mediana sea igual al número de datos por debajo de la misma.
Para ser más precisos la mediana es el punto medio de los valores una vez que se han ordenado de mayor a menor o de menor a mayor. 
Por ejemplo: 
Calculo de la mediana a partir de datos no agrupados: 
Para hallar la mediana de un conjunto de datos primero se organizan en orden ascendente o descendente. Si el conjunto de datos contiene un número impar de elementos, el de en medio del arreglo es la mediana; si hay un número par de observaciones la mediana es el promedio de los elementos en medio. 
Fórmula: 
Ejemplo 1: 
El Consumer’s Bureau de Carolina del Norte realizó una encuesta acerca de los proveedores de televisión por cable en el estado. Los siguientes datos se refieren al número de canales que ofrecen en el servicio básico:
32 28 31 15 25 14 12 29 22 28 29 32 33 24 26 8 35 41
Por ser un numero par de elementos se selecciona el arreglo medio que divide los elementos y el que le sigue; en este caso seria el arreglo 9 y 10 obteniendo: 
Mediana = 28 + 28 = 28
 2
Ordenamos: 
8 12 14 15 22 24 25 26 28 28 29 29 31 32 32 33 35 41
La mediana es de 28 canales lo que ofrecen los diferentes proveedores para el servicio básico. 
Ejemplo 2: 
Indica la mediana del tiempo de los siete integrantes de un grupo de atletismo. 
	Elemento del arreglo de datos
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	Tiempo en minutos
	4.2
	4.3
	4.7
	4.8
	5.0
	5.1
	9.0
Mediana = 7 +1 = 8 = 4
 2 2
El cuarto elemento es la mediana que corresponde a un tiempo de 4.8 minutos.
Calculo de la mediana a partir de datos agrupados: 
 
Cuando hablamos de datos agrupados la mediana se obtiene mediante interpolación. 
Fórmula: 
Dónde: ᷈m : mediana de la muestra
 n: número total de los elementos de la distribución
 F: suma de todas las frecuencias de clase hasta, pero sin incluir la clase de la mediana.
 fm: frecuencia de la mediana
 ᵚ: ancho del intervalo de clase 
 Lm: límite inferior del intervalo clase de la mediana
Ejemplo 1: 
Los siguientes datos representan el peso de los peces atrapados por el bote deportivo “El Fugitivo”:Clase Frecuencia fi
0- 24.9 5 5
25- 49.9 13 18 fm
50- 74.9 16 34
75- 99.9 8 42
100-124.9 6 48
 48
a) Estimar la mediana del peso de los peces.
n = 48 
f = 18
fm= 18
ᵚ =1,39 (lo obtenemos de 50-25 = 1,39 )
 18
Lm: 25
: ᷈m = ((48+1)/2 – 18+1) 1,39 + 25
 18
: ᷈m =( 24,5 – 19 ) 1,39 + 25
 18
: ᷈m = (0,31).(1,39) +25
 : ᷈m = 0,43 + 25
: ᷈m = 25,43
La mediana del peso de los peces es de 25,43
Ejemplo 2: 
Para la siguiente distribución de frecuencias:
a) Utilice la ecuación para estimar la mediana de los datos. 
Clase Frecuencia fi
10-19.5 8 8 
20-29.5 15 23 
30-39.5 23 46 
40-49.5 37 83 
50-59.5 46 129
60-69.5 52 181 f
70-79.5 84 265
80-89.5 97 362
90-99.5 16 378
100 o más 5 383 
 383
n= 383
f= 181
fm = 181
ᵚ = 70 – 60 / 181 = 0,05
Lm = 60
m = ((383+1)/2 – 181+1) 0,05 + 60
 181
m = (192 – 182 ) 0,05 + 60
 181
m = (0,05).(0,05) + 60
m = 60,00
 La mediana de la distribución de frecuencias es 60,00
Ventajas: 
1. Los valores extremos no afectan a la mediana de manera tan grave como a la media.
2. La mediana es fácil de entender y se puede calcular a partir de cualquier tipo de datos, incluso a partir de datos agrupados con clases de extremo abierto. 
3. Podemos encontrar la mediana incluso cuando nuestros datos son descripciones cualitativas como color o nitidez, en lugar de números.
Desventajas: 
1. Ciertos procedimientos estadísticos que utiliza la mediana son más complejos que aquellos que utilizan la media.
2. Por ser una posición promedio, debemos ordenar los datos antes de llevar a cabo cualquier cálculo.
3. 
2. ¿Qué relación existe entre las medias o promedios?
 Se relacionan en que muestran el valor central de los datos.
3. ¿Qué relación existe entre la media, la mediana y la moda?
Se relacionan en que son consideradas como las medidas de posición más importantes debido a su sencillez y utilidad. En cualquier distribución
Simétrica, la moda, la mediana y la media siempre son iguales.
Si una distribución no es simétrica, o sesgada, la relación entre las tres medidas cambia.
Bibliografía
1. Douglas A Lind. Samuel A. Wathen. William G. Marchal. Estadística aplicada a los negocios y la economía. Editorial Mc Graw Hil. 15 Edición. 
2. Richard Levin. David Rubin. Estadística para Administración y Economía. 7ma edición. Editorial Pearson.
3. Lincoln L. Chao. Estadística para las Ciencias Administrativas. Editorial Mc Graw Hil. Tercera Edición.