UNIDAD 2

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Tema 2: Sistema de 2 ecuaciones Lineales con 2 incógnitas
1. Sistema de ecuaciones
Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así:  
    
Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
2. Conjunto Solución ( CS) de un sistema de ecuaciones
Es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x = 2, y= 3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible, cuando tiene solución y es imposible o incompatible, cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
3. Sistema de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una sola incógnita. Esta operación se denomina Eliminación y hay 3 procedimientos analíticos básicos para realizarla.
3. Sistema de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
3.1. Resolución analítica por “SUSTITUCIÓN ”
Ejemplo .- Resolver el sistema 
 
Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos:
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
Resolvamos esta ecuación con una sola incógnita. Simplificando 8 y 2,  queda:
Sustituyendo y = - 5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
Verificación (Prueba)
Haciendo  x=12 ,  y = - 5 en las dos ecuaciones dadas,ambas se convierten en identidad.
Verificación (Prueba)
Haciendo  x=12 ,  y = - 5 en las dos ecuaciones dadas,ambas se convierten en identidad.
3. Sistema de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
3.2. Resolución analítica por “IGUALACIÓN”
Ejemplo .- Resolver el sistema 
Despejamos una cualquiera de las incógnitas; por 
ejemplo x, en ambas ecuaciones:
Despejando x en    (1):   
Despejando x en    (2):   
Ahora se igualan entre sí los dos valores de x que hemos obtenido:
 
Y ya tenemos una sola ecuación con una sola incógnita; hemos eliminado la x.
Resolviendo esta ecuación:
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:
3. Sistema de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas
3.3. Resolución analítica por “REDUCCIÓN” (SUMA Y/O RESTA)
 Ejemplo .- Resolver el sistema 
En este método o procedimiento se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas.
Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo.
El m.c.m. de los coeficientes de y, 6 y 3 , es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2 x 3 = 6 ,  y tendremos:
Cómo los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:
 
Sustituyendo x  = - 2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (2), por ejemplo en (1), se tiene: 
4. Método Gráfico para resolver un Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas que representan las ecuaciones; luego, resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas que están representadas por las dos ecuaciones del sistema. Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas constituyen la solución.
Sí las dos rectas se intersectan en un solo punto, entonces el sistema es determinado. Si las dos rectas son paralelas el sistema es incompatible y si ambas rectas coinciden, entonces el sistema es indeterminado.
Ej1) Resolver gráficamente: 
Respuesta.- Del gráfico se tiene la solución única: x=4; y=2. Por lo tanto, el sistema es Compatible determinado.
Ej2) Resolver : 
Respuesta.-  Como las rectas están paralelas, es decir no tienen ningún punto en común, entonces el sistema es INCOMPATIBLE, no tiene Solución.
Ej3) Resolver :
Respuesta.-  Las rectas representativas de las ecuaciones (1) y (2) del sistema “coinciden”, es decir una está sobrepuesta sobre la otra, tienen infinitos puntos en común. Por lo tanto, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. Obsérvese que las tablas son equivalentes.
Ej4) Resolver : 
 
Respuesta.- Como las rectas del sistema tienen 1 solo punto en común, entonces el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.
NOTA.- DEBE RESOLVER EL PRÁCTICO N° 1.
Tema 3: Sistemas Lineales de 3 o más ecuaciones incógnitas y problemas de aplicación
1. ecuaciones con 3 incógnitas
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede de este modo.
1.1. Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas ( lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se obtiene una ecuación con dos incógnitas.
1.2. Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellos la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
1.3. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.
1.4. Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
Ejemplo 1.- Resolver el sistema: 
Combinamos las ecuaciones (1)  y  (2) y vamos a eliminar la x , se tiene:
Combinamos la  (3) con (1) para eliminar    x :
Reuniendo (4)  y (5) :
Resolviendo por reducción:
Sustituyendo y= 2, en (5) , se tiene:
7(2)- 2z = 8
14 -2z = 8
-2z=-6
z=3
Sustituyendo y= 2, z=3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
x + 4(2)- 3 = 6
x + 8-3 = 6
x=1
                                   Rpta.:                     
Ejemplo 2.- Resolver el sistema: 
Quitando denominadores:
Combinamos las ecuaciones (1)  y  (2) y vamos a eliminar la x , se tiene:
Combinamos la  (2) con (3) para eliminar    x :
Reuniendo (4)  y (5) :
Resolviendo por reducción:
Sustituyendo z = -2, en (5) , se tiene:
26y-(-2) = 132
26y+2 = 132
26y=130
y = 5
Sustituyendo y= 5, z=-2 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (3), se tiene:
-3x + 4(5)+4(-2)= 0
-3x +20- 8 = 0
-3x=-12
x = 4
Rpta.:      
Ejemplo 3.- Resolver el sistema:
Reuniendo las ecuaciones (2)  y  (3) y vamos a eliminar la z , se tiene:
Formamos un sistema de  (1) con (4)  :
Sustituyendo y= -3 en (1):
2x - 5(-3) = 13
2x +15 = 13
x=-1
Sustituyendo x= -1, y=-3 en (3) , se tiene:
z=4
Rpta.: 
2. Sistema de ecuaciones lineales en general
Es un conjunto finito de m ecuaciones lineales con n incógnitas o variables, x1, x2 , … , xn , que se puede escribir como
{a11 x1+ a12 x2+ ………. + a1n xn=  b1 a21 x1+ a22 x2+ ………. + a2n xn=  b2        .      .          .      .                            .         .             .        .      .            .      .                              .          .             .     
Una n-upla de valores s1 , s2 , …. , sn   será solución del sistema si y solo si esta n-upla satisface todas y cada una de las ecuaciones que forman el sistema.
Se puede afirmar que para sistemas lineales arbitrarios:
Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución (SISTEMA INCOMPATIBLE O INCONSISTENTE), tiene exactamente una solución (SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO) o tiene una infinidad de soluciones (SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO).
3. Problemas de Aplicación
Problema 1.- 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4180 bolivianos, y 8 trajes y 9 sombreros 6940. Hallar el precio de un traje y de un sombrero.
Solución: 
a) Planteamiento (“Razonamiento”)
1ro:  
P total= Pu x Q
2do  Relacionamos los datos del problema (información numérica) con las incógnitas:
Si 1 traje cuesta 1 boliviano, entonces 5 trajes costarán:5 ∙ 1 =5 bolivianos.
Si 1 traje cuesta 2 bolivianos, entonces 5 trajes costarán:               5 ∙ 2 =10 bolivianos.
Si 1 traje cuesta 3 bolivianos, entonces 5 trajes costarán:               5 ∙ 3 =15 bolivianos.
Si 1 traje cuesta 4 bolivianos, entonces 5 trajes costarán:               5 ∙ 4 =20 bolivianos.
                             
En general: 1 traje cuesta x bolivianos entonces 5 trajes costarán 5 ∙ x =  5 x bolivianos.
En forma similar, para los SOMBREROS:
Si 1 sombrero cuesta y bolivianos, entonces 3 sombreros costarán: 3 ∙ y = 3y bolivianos.
Por lo tanto, entre ambos se gastará  5 x + 3 y  bolivianos
Y el enunciado del problema informa que se gastaron 4180 bolivianos.
Entonces se obtiene la siguiente igualdad o ecuación:
5 x + 3 y = 4180  (bolivianos)    (1)
 En forma análoga para la otra información se tiene:
8 x + 9 y = 6940              (2)
Se supone que los precios unitarios corresponden al mismo tipo de trajes y sombreros; es decir, los precios unitarios permanecen “constantes”: 
b) Resolución o procedimiento de cálculo (“mecanismo”)
c) Respuesta.- Un traje cuesta 800 y un sombrero cuesta 60 bolivianos. 
Problema 2.- Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 y más tarde, a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818.  Hallar el costo de una vaca y de un caballo.
Solución:
a)Planteamiento (“Razonamiento”)
Sea   
“leyendo” el enunciado del problema, obtenemos el sgte. sistema lineal: 
b) Resolución ( “mecanismo”)
c) Respuesta.- Una vaca cuesta $ 55.- y un caballo cuesta $ 42.-
Problema 3.- En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $ 5.12,  y 17 de niño y 15 de adulto $8.31. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.
Solución:
 
Respuesta.- Un niño paga: 18 ctvs. = 0.18 $.-  y  un adulto paga: 35 ctvs. = 0.35 $.- 
Problema 4.- Por 3 bolsas de harina y 20 paquetes de Yerba se abonan 8290 $ .El precio de 4 bolsas de harina equivale al precio de 120 paquetes de yerba más 1080 $. Calcular el precio de cada bolsa de harina y de cada paquete yerba.
Solución:
 
Respuesta.- Bolsa de harina: $ 2310 , Paquete de hierba:  $ 68.
Problema 5.- Por 4 conejos y 3 gallinas se pagan 1810 $; por 5 conejos y 2 gallinas del mismo precio se abonan 1615 $.¿ Cuánto cuesta cada conejo y cuánto cada gallina?
Solución: 
Respuesta.- 1 conejo cuesta: $ 175 , 1 gallina cuesta:  $ 370.
Problema 6.- Se tienen $120 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $ 2 ?
 
Respuesta.- 15 billetes son de $2 y 18 billetes son de $5.
Problema 7.- Si A le da a B $2,   ambos tendrán igual suma, y sí B le da a A $2, A tendrá el triple de lo que le queda a B. ¿Cuánto tiene cada uno?
Solución:
 
Respuesta.- A tiene $10 y B tiene $6 .
Problema 8.- Hace 8 años la edad de A era triple que la de B, y dentro de 4 años la edad de B será los 59( cinco novenos) de la de A. Hallar las edades actuales.
Solución:
Sistema:
 Respuesta.- A tiene 32 años y B tiene 16 años.
Problema 9.- 2 Kg de cebolla, 1 Kg de tomate y 2 Kg de remolacha cuestan 15 Bs.- Además 1 Kg de cebolla, 3 kg de tomate y 4 kg de remolacha, cuestan 29 Bs.- Por último, 3 Kg de cebolla, 2 Kg de tomate y 1 Kg de remolacha cuestan 19 Bs.- ¿Cuánto cuesta 1 Kg de cada una de las verduras? 
Solución:
Respuesta.-   1 Kg de cebolla cuesta $ 2.
1Kg de tomate cuesta $ 5.
1 Kg de remolacha cuesta $ 3.
Problema 10 .- Un grupo inversor invierte 20,000 $us.- en 2 negocios distintos. El primer negocio produce el 8% mensual y el otro 7% .¿Qué cantidad debe invertir en cada negocio para obtener beneficios totales de 1480 $us.- mensuales? 
Solución:
Respuesta.- 1er. negocio: 8.000$us.-;  2do. negocio: 12.000$us.-
Problema 11.- He comprado dos valijas de distinto precio : la primera cuesta $200 menos que el doble de lo que cuesta la segunda y ésta vale $40 más que la primera. ¿Cuánto pagué por cada valija? 
Solución:
x  = Precio de la 1er. Valija.
y  = Precio de la 2da. Valija.
PrecioTOTAL =PrecioUNITARIO⋅Q/Q=Cantidad
Respuesta.- El precio de la 1er. valija es de $ 120.- y el de la 2da. de $ 160.-
PROBLEMA 12.- Un almacenero ha vendido toda su provisión de botellas de oporto y de sidra en la siguiente forma: la mitad de las de oporto a $156 cada una y el resto a $168;  los dos tercios (23) de las de sidra a $100 cada una y el resto a $112 cada una; recibiendo por toda la venta $11.100 . El número de botellas de sidra era doble que el de las de oporto. ¿Cuántas botellas de cada clase vendió? 
SOLUCIÓN:
x  =  Nro. de botellas de oporto
y  =  Nro. de botellas de sidra
PrecioTOTAL=PrecioUNITARIO⋅Q /Q= Cantidad
PROBLEMA 13.- En un colegio mixto hay 1300 alumnos; si se hubieran inscrito 50 niñas más, el número de niñas hubiera duplicado al de varones. ¿Cuántas niñas y cuántos varones hay? 
SOLUCIÓN:
x  =  Nro. de niños
y  =  Nro. de niñas.
PROBLEMA 14.- Un comerciante vendió guantes para señora a $ 375.- el par y guantes para niño a $147.-, percibiendo por todo $14.292. Sabiendo que el número de los guantes para señora alcanza a los dos tercios 23 de los de niño, se desea saber cuántos pares de guantes de cada clase fueron vendidos. 
SOLUCIÓN:
x  =  Nro. de Pares de guantes para señora
y  =  Nro. de Pares de guantes para niño
Respuesta.- 24 pares de guantes para señora y 36 pares de guantes para niño.
NOTA.- DEBE RESOLVER LOS PRÁCTICOS N° 2 y 3.
Tema 4: Inecuaciones Lineales
1. Eje o Recta Real
1. Los números reales (R), se representan gráficamente, como puntos de una recta, llamada Recta Real . El conjunto de los números reales a la derecha del cero es el de los positivos (R+) a la izquierda está el de los negativos (R-), el cero no es ni positivo ni negativo: R = R+U { 0 } U R-)
2. Intervalo
Es un subconjunto de los números reales. La Gráfica de un intervalo comprenderá un sector del Eje Real. Existen intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos por la izquierda y semiabierto por la derecha.
2.1. Intervalo abierto.- Es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre los extremos a y b sin incluir a dichos extremos a y b. Se simboliza así: ]a,b[ o también así (a,b). Se grafica así :
2. Intervalo
2.1. Intervalo cerrado
 axb .Es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre los extremos a y b, incluyendo los extremos a y b. Se simboliza así: [a,b]. Se grafica así : Intervalo cerrado 
2. Intervalo
2.2. Intervalo semiabierto por la izquierda
Es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre los extremos a y b, incluyendo a b pero no a  a. Se simboliza así: ]a,b]. Se grafica así :
2. Intervalo
2.3. Intervalo semiabierto por la derecha
a ≤ x<b .Es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre los extremos a y b, incluyendo a a pero no a  b. Se simboliza así: [ a,b [. Se grafica así :
3. Inecuaciones
 Son expresiones algebraicas que en lugar del signo de igualdad, poseen signos de desigualdad (<, >, , ). Las resoluciones de Inecuaciones, normalmente siguen los mismos pasos que el de las ecuaciones. La solución de una inecuación es uno o más intervalos de números reales, que obviamente representan conjuntos infinitos de números reales.
.- Son inecuaciones cuyas incógnitas tienen exponente  o grado 1 (lineales). Para resolverlas, se aplican reglas equivalentes a las de las ecuaciones lineales, considerando la propiedad de que “el producto de los miembros de una inecuación por un número negativo, INVIERTE el sentido de la desigualdad”
Ejemplo 1)  Resolver la inecuación de 1er. Grado con 1 incógnita: 3 x - 7  < 11
 3x < 11 + 7
3x < 18
x < 183
x < 6  ( Solución Analítica)
Expresión Gráfica de la Solución:
x < 6 : 
Ejemplo 2) Resolver  2x +9 5 2x 5 - 9 2x ≥ -4 x ≥ -42 x ≥ -2
3. Inecuaciones
3.1. Inecuaciones de primer grado (lineales) con 2 incógnitas o variables
Para resolver gráficamente una inecuación de este tipo se despeja  de ella la incógnita o variable dependiente y, luego se considera la ecuación que resulta al reemplazar el signo de desigualdad ( <, >, , , ) por el de igualdad ( =). Esta línea rectallamada “frontera” divide al plano en 2 semiplanos posibles de solución. Mediante un simple reemplazo de cualquier punto de cualquiera de los dos semiplanos se verifica la verdad o falsedad de la inecuación original respuesta que indicará la región solución de la inecuación.
Ej1) Resolver gráficamente: y-2x>3 
	x
	y
	0
	3
	-1,5
	0
“ LINEA FRONTERA”
y>3+2xy>2x+3y=2x+3Representa la frontera de la Solución!! 
Seguidamente elegimos un punto (x,y) cualquiera de cualquiera de los 2 semiplanos y reemplazamos los valores x e y en la desigualdad original y se dá Verdadero(V) entonces el semiplano solución es al que pertenece dicho punto. De lo contrario, si sale Falso (F) la solución es el semiplano al que no pertenece dicho punto.Si el signo de la inecuación tiene el igual (=), ≤ o ≥ , entonces la frontera forma parte de la solución ( lo cual se indica con un trazo continuo), de lo contrario no forma parte de la solución lo cual se indica en el gráfico trazando la recta frontera con un trazo segmentado o discontínuo.
Si (x,y) =(0,0) Se reemplaza en: y -2x > 3
                   0 - 2.0 > 3
0 >3  es FALSO (F). Luego, como el punto
(0,0) pertenece al semiplano de la derecha no es Solución porque con este valor dá Falso..
El semiplano de la izquierda de la frontera es la región Solución!!
Ej2) Resolver gráficamente: 4y+3x 1+3y
	x
	y
	0
	1
	0,3
	0
	2
	-5
	-2
	7
“ LINEA FRONTERA”
4y+3x 1+3y 4y-3y-3x+1 ⇒ y -3x+1⇒ y = - 3 x+1Representa la frontera de la Solución!!
Si (x,y) =(0,0) Se reemplaza en: 4y+3x 1+3y
                   4.0+- 3.0 1+3.0
0 1 es Verdadero(V).
Luego, como el punto
(0,0) pertenece al semiplano de la izquierda , dicho semiplano  es la Solución.
Ejemplo 3) Resolver gráficamente:   x > 5.
En una sola dimensión ( sólo x) sería así:
Pero estamos trabajando en el PLANO ( 2 DIMENSIONES, ya que son 2 VARIABLES): x debe ser efectivamente mayor que 5!! pero y puede tomar cualquier valor: x>5  x+ 0y >5
 
Ejemplo 4) Resolver gráficamente la inecuación : y x
	x
	y
	0
	o
	1
	1
	2
	2
	⋅⋅⋅
	⋅⋅
“ LINEA FRONTERA”
y x y = xRepresenta la frontera de la Solución!! ( es la recta diagonal positiva o llamada identidad.
Si (x,y) =(4,1) Se reemplaza en:y x
                  1 ≥4
  1 ≥4 es Falso(F).
Luego, como el punto
(4,1) pertenece al semiplano de la derecha , el semiplano  de la izquierda respecto de la frontera es la Solución.
3. Inecuaciones
3.2. Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones
La solución del sistema es, en cada caso,  la intersección de los conjuntos definidos por cada inecuación o ecuación que la constituye.
Ejemplo 1)  Resolver el sistema : x < 0    (a)
                                                       y > 0     (b)
                                                   3y-12<2x  (c)
RESPUESTA.- El ABC es la solución, que es la intersección de las áreas comunes de los tres conjuntos soluciones definidos por cada una de las inecuaciones del sistema.
Ejemplo 9) Resolver gráficamente: y < 4x -1    (1)
y > 1          (2)
y < 5       (3)
y > -x       (4)
 
 
NOTA.- Debe resolver el Práctico N°4.