UNIDAD 4 LIBRO TEORIA DE MUESTREO

Vista previa del material en texto

Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 144 
 
 
TEORÍA DE 
MUESTREO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 145 
 
Teoría del muestreo. 
OBJETIVOS 
 Reconocer los diferentes tipos de muestreos probabilísticas. 
 Reconocer los diferentes tipos de muestreos no probabilísticas. 
 Calcular el tamaño de la muestra para población finita e infinita. 
 Resolver problemas de aplicación a la economía. 
Muestreo.-Uno de los temas más importantes de la Estadística Inferencial es sin duda alguna el Muestreo. Es la parte de la ciencia que divide 
a la investigación científica de la búsqueda empírica de resultados, la correcta selección del tamaño de la muestra es sumamente importante 
en el mundo empresarial, ya que frecuentemente requerimos realizar encuestas e investigaciones de mercado para tomar decisiones que es 
la base de un profesional exitoso. 
Si bien hay muchísima bibliografía acerca del tema en esta guía hemos intentado sintetizar solo los argumentos más importantes y que les 
resultarán más útiles a los profesionales de las Ciencias Económicas, Administrativas y Financieras. 
Existen como tal dos tipos de muestreo, el probabilístico y el No probabilístico, el muestreo probabilístico es cuando todos los elementos de 
la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la Muestra y obviamente el no probabilístico es el que muestra lo 
contrario. En este GUIA-MEA solo trabajaremos con el muestreo probabilístico y necesariamente con poblaciones finitas (que se conocen 
todos los elementos de la población) ya que estos son los más utilizados en las investigaciones de mercado de nuestro rubro de trabajo. 
Aparte de las fórmulas de muestreo existen criterios que necesariamente deben cumplirse a la hora de realizar una investigación. 
Criterios de Muestreo: 
1. Se debe tomar información en todas las áreas y horarios. (Si queremos realizar una encuesta en la Universidad UAGRM, es 
importante que tomemos la opinión de estudiantes de todos los horarios, ya que la opinión de los estudiantes de la mañana puede 
diferir mucho a los de la noche) 
2. Si usted no va a realizar la encuesta debe adiestrar muy bien a los encuestadores y si es posible realizar una auditoría de trabajo de 
campo. 
3. Tomar la información en diversos días no el mismo. ¿Por qué?, En muchas ocasiones hay lugares que las personas visitan solo 
rara vez y otros todos los días. 
Para seleccionar los datos tenemos que tomar en cuenta que existen varios métodos de selección. 
1. La Entrevista Personal. 
2. Entrevistas por teléfono. 
3. Cuestionarios Auto aplicados (Encuestas) 
4. Observación Directa. 
Nota: Intente que la mayor cantidad de sus preguntas sean cerradas. Las preguntas más importantes no pueden tener la opción No se no 
respondo. 
Planeación de una encuesta por muestreo. 
1. Establecimiento de objetivos: Usted debe saber de ante mano lo que quiere investigar, los objetivos deben ser muy claros y 
concisos. 
2. Población Objetivo: Usted debe delimitar su población. No siempre nos interesa trabajar con la población en su conjunto sino una 
parte de ella. Ejemplo; Si usted es vendedor de acciones de bolsa con un valor superior a los 1,5 millones de bolivianos no creo que 
le interese mucho encuestar a estudiantes ó personas de recursos medios. 
3. El Marco Muestral: El Marco muestral es una lista donde están todos los elementos de la población, ejemplo: si usted va a estudiar 
el nivel de satisfacción de los obreros del ingenio Guabirá, el marco muestral sería la nómina de todos los trabajadores. 
4. Diseño de Muestreo: Seleccione que tipo de muestreo va a utilizar, aleatorio simple, sistemático, por conglomerados ó polietápico 
(Varios muestreos a la vez) 
5. Método de Medición: Entrevistas, encuestas, observaciones, entrevistas por teléfono, etc. 
6. Instrumento de Medición: Como tal este paso se refiere a elaborar el cuestionario en sí. 
7. Selección y adiestramiento de investigadores de Campo: Este es una de las partes más importantes, tome el tiempo que sea 
necesario para esto y dele la importancia que se merece, de instrucciones claras. 
8. Prueba Piloto: Se realiza con dos objetivos, uno es calcular la varianza poblacional y otro es saber más ó menos como está 
elaborado el cuestionario. 
9. Organización y Trabajo de Campo: Como tal es el trabajo de campo en sí. Ir y tomar la información a la calle, a la empresa ó por 
correo. 
10. Organización del Manejo de Datos. Ya está toda la información seleccionada y requerimos organizar el trabajo, ¿Quién va a 
tabular?, ¿Quién va a dictar?, etc. 
11. Análisis de los datos: Es el tratamiento ó procesamiento de la información y las propuestas de solución a problemas, hipótesis ó 
toma de decisiones. 
 Muestreo Aleatorio Simple: 
Este es sin duda alguna el más utilizado de todos los muestreos, sus usos son infinitos, y es tan sencillo de entender como tener una bolsa 
con 40 bolillas y seleccionar 10 a azar, evidentemente todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser 
seleccionados en la muestra. 
Para seleccionar el tamaño de la muestra utilizando el muestreo aleatorio simple debemos tener en cuenta ¿Que nos interesa de la 
población? 
 La media poblacional. Ejemplo (Cuál es el gasto promedio en CD´s de los estudiantes Universitarios de Santa Cruz de la Sierra, 
Bolivia) 
 Una proporción poblacional. Ejemplo (Cuál es la proporción de estudiantes de Santa Cruz que compran CD´s. 
 Un total poblacional. Ejemplo (Cuál es el total de dinero que gastan estudiantes de Santa Cruz comprando CD´s. 
 
En esta guía no vamos a trabajar con los totales, pero si es importante que conozcas que existe este tipo de estadígrafo llamado (tao) ó total. 
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar la Media Poblacional. 
Recordemos que la media poblacional es (miu) ó (mu) y se denota con la letra (𝝁). 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 146 
 
Fórmula: 
 𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
; 𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
 ;𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:
{
 
 
 
 
𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 
𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 
𝝈𝟐: 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. 
𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.
𝑫: 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐. 
 
Nota: Una vez seleccionado el tamaño de la Muestra se seleccionan de la población utilizando la tabla de Números Aleatorios. 
EJEMPLO#354 5000 son las cuentas en moras de la Cooperativa “COOPLAN3000”, se sabe por estudios anteriores que la desviación 
estándar de las mismas es de 35 Bolivianos, Hay que llamar a los clientes para saber ¿Cuál ha sido el motivo del retraso en sus 
obligaciones? Evidentemente no se puede llamar a los 5000 porque incurriría un elevado costo para la cooperativa, por lo que hay que 
seleccionar una muestra. Es evidente que se puede utilizar el muestreo aleatorio simple debido a que cumple con los requisitos del mismo. 
a) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 5 bolivianos. 
b) Determine el número de clientes que hay que llamar con un límite para el error de estimación de 10 bolivianos. 
SOLUCIÓN: 
Respuesta al inciso “a” 
No nos dan la Varianza poblacional pero si la desviación Estándar, y la varianza es la desviación estándar al cuadrado. 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟑𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟑𝟓𝟐 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒕𝒂𝒔; 𝑩 = 𝟓 𝑩𝒔 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟓𝟐
𝟒
=
𝟐𝟓
𝟒
= 𝟔, 𝟐𝟓 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
=
(𝟓𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟏𝟐𝟐𝟓)
[(𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟔, 𝟐𝟓)] + (𝟏𝟐𝟐𝟓)
=
(𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟏𝟐𝟐𝟓)
[
𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓
𝟒
] + 𝟏𝟐𝟐𝟓
=
𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
[𝟑𝟏𝟐𝟒𝟑, 𝟕𝟓] + 𝟏𝟐𝟐𝟓
=
𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟐𝟒𝟔𝟖, 𝟕𝟓
= 𝟏𝟖𝟖, 𝟔𝟒𝟐𝟗 ≅ 𝟏𝟖𝟗 
Respuesta: De las 5000 cuentas de la cooperativa “COOPLAN3000” tenemos que seleccionar 189 cuentas de 5000 cuentas, si es que 
queremos un límite para el error de estimación de 5 bolivianos. 
Respuesta al inciso “b” 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟑𝟓 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟑𝟓𝟐 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒕𝒂𝒔 ; 𝑩 = 𝟏𝟎 𝑩𝒔 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟏𝟎𝟐
𝟒
=
𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟐𝟓 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
=
(𝟓𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟏𝟐𝟐𝟓)
[(𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟐𝟓)] + (𝟏𝟐𝟐𝟓)
=
(𝟓𝟎𝟎𝟎)(𝟏𝟐𝟐𝟓)
[𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓] + 𝟏𝟐𝟐𝟓
=
𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓 + 𝟏𝟐𝟐𝟓
=
𝟔𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟔𝟐𝟎𝟎
= 𝟒𝟖, 𝟓𝟑𝟒𝟏 ≈ 𝟒𝟗 
Respuesta: De las 5000 cuentas de la cooperativa “COOPLAN3000” tenemos que seleccionar 49 cuentas de las 5000 cuentas, si es que 
queremos un límite para el error de estimación de 10 bolivianos. 
Nota: Notemos que mientras más grande es el error que aceptamos más pequeña es la muestra. 
EJEMPLO#355 Usted es el gerente de Marketing de la empresa comercializadora de calzados “Zapatitos de Cristal”, en los últimos meses se 
ha detectado un descenso de las ventas netas, su asesor sugiere que se realice una investigación de mercado para detectar si ha sido 
debida a un ciclo comercial ó a la llegada de nuevos competidores. Se tomó una prueba piloto donde se pudo detectar en los encuestados un 
valor máximo de compras de 80 bolivianos y un mínimo de 20 bolivianos. Con un error de estimación de 4 bolivianos cuantas encuestas se 
deben tomar para saber por qué ha sido el descenso en las ventas teniendo en cuenta que los clientes con dirección y número de celular 
están en la base de datos de la empresa y suman 3000 clientes. 
SOLUCIÓN: 
𝝈𝟐 = 𝑻𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒏 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓,𝒏𝒊 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏,𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒏 𝒆𝒍 
𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 , 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒔𝒆𝒓í𝒂 (𝟖𝟎 − 𝟐𝟎 = 𝟔𝟎). 𝑷𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟒 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓. 
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:
𝟔𝟎
𝟒
= 𝟏𝟓 ↔ 𝝈 = 𝟏𝟓 ; 𝒚 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐: 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 ↔ 𝝈𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝝈 = 𝟏𝟓𝑩𝒔 → 𝝈𝟐 = 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 𝑩𝒔 ; 𝑵 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑪𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ; 𝑩 = 𝟒 𝑩𝒔 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟒𝟐
𝟒
=
𝟏𝟔
𝟒
= 𝟒 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
=
(𝟑𝟎𝟎𝟎) ∗ (𝟐𝟐𝟓)
[(𝟑𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟒)] + (𝟐𝟐𝟓)
=
(𝟑𝟎𝟎𝟎)(𝟐𝟐𝟓)
[𝟏𝟏𝟗𝟗𝟔] + 𝟐𝟐𝟓
=
𝟔𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟐𝟐𝟏
= 𝟓𝟓, 𝟐𝟑𝟐𝟖 ≈ 𝟓𝟓 
Respuesta: Se debe tomar una encuesta a 56 de los clientes de los 3000 clientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 147 
 
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional (𝝅). 
Recordemos que la proporción poblacional es (𝝅). 
Fórmula: 
 
 𝒏 =
𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒
[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)
;𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
 ; 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:{
𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 
𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 
𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.
𝑫: 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐. 
𝒑: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐. 
𝒒: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐.
 
EJEMPLO#356 El señor Julio propietario de la Finca Ganadera “AL-QUADOSH+” ha detectado que están muriendo animales. Julio es 
propietario de 10000 cabezas de ganado y el costo del estudio (análisis de sangre) por animal es de 5 Bs. Julio solo puede tener un error de 
estimación del 5% y no tiene el dinero suficiente para realizarle el estudio a todos los animales. Cuál es la Muestra probabilística que debe 
seleccionar Julio para realizar el estudio que verifique la proporción de animales que están enfermos y cuál es el presupuesto que necesita 
para llevar adelante análisis de sangre. 
Nota: En el anterior estudio se calculó que el 20% de los animales estaban contaminados con un virus. 
SOLUCIÓN: 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒂𝒃𝒆𝒛𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐; 𝑩 = 𝟓% = 𝟎, 𝟎𝟓 ; 𝒑 = 𝟐𝟎% = 𝟎,𝟐𝟎 ; 𝒒 = 𝟖𝟎% = 𝟎,𝟖𝟎 ; 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝟓𝑩𝒔. 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
(𝟎, 𝟎𝟓)𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟒𝟎𝟎
𝟒
=
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒
[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)
=
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟐𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟎
[(𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎
] + (𝟎, 𝟐𝟎 ∗ 𝟎, 𝟖𝟎)
=
𝟏𝟔𝟎𝟎
[
𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟏𝟔𝟎𝟎
] + (𝟎, 𝟏𝟔)
=
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟓𝟏
𝟑𝟐𝟎
= 𝟐𝟒𝟗, 𝟔𝟑𝟒𝟑 ≈ 𝟐𝟓𝟎 
Respuesta: Con un límite para el error de estimación de 5% el tamaño de la muestra debe ser de 250 animales para el estudio y el 
presupuesto sería de (𝟐𝟓𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝒃𝒐𝒍𝒊𝒗𝒊𝒂𝒏𝒐𝒔). 
EJEMPLO#357 El gerente de Recursos Humanos de la fábrica de Juguetes “Juguetón” leyó la semana pasada el buzón de quejas y 
sugerencias internas y detectó que un 30% de las quejas eran acerca del mal trato del Supervisor “Vargas”, preocupado por esta situación 
decide realizar una encuesta para determinar si realmente existe tal molestia entre los trabajadores ó es solo problema de una camarilla, El 
problema es que hay 50000 obreros y encuestarlos a todos sería en un período muy largo de tiempo. ¿Qué tan grande debe ser el tamaño de 
la muestra que necesita tomar el gerente para realizar dicha encuesta teniendo en cuenta un límite para el error de estimación de 0,04? 
SOLUCIÓN: 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑶𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑 = 𝟎, 𝟑 = 𝟑𝟎% 𝒒 = 𝟎, 𝟕 = 𝟕𝟎% 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟒% 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
(𝟎, 𝟎𝟒)𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟔𝟐𝟓
𝟒
=
𝟏
𝟐𝟓𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)
=
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕𝟎
[(𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏) ∗
𝟏
𝟐𝟓𝟎𝟎
] + (𝟎, 𝟑𝟎 ∗ 𝟎, 𝟕𝟎)
=
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎
[𝟏𝟗, 𝟗𝟗𝟗𝟔] + (𝟎, 𝟐𝟏)
=
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟎, 𝟐𝟎𝟗𝟔
= 𝟓𝟏𝟗,𝟓𝟓𝟓𝟏 ≈ 𝟓𝟐𝟎 
El gerente requiere tomar una muestra de 520 empleados para determinar la situación del señor Vargas. 
 
Muestreo Sistemático: 
El muestreo sistemático es muy parecido aleatorio simple, de hecho mantiene hasta las mismas fórmulas, la única diferencia es que en este 
se divide la población entre la muestra y hallamos un valor que vamos a llamar “𝒌”, tomamos un primer valor y sistemáticamente sumamos 
“𝒌” y seleccionamos la observación. 
Ventajas del Muestreo Sistemático: 
1.- Es el más fácil de llevar a cabo en el campo. 
2.- Está menos expuestos a errores de selección que cometen los investigadores de campo. 
3.- El muestreo Sistemático puede proporcionar mayor información que la que puede proporcionar el muestreo aleatorio por unidad de costo. 
Selección del tamaño de la muestra para hallar el promedio poblacional. 
Fórmula. 
 𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵 − 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
 ; 𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
 ; 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆:
{
 
 
 
 
𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 
𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 
𝝈𝟐: 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. 
𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.
𝑫:𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐. 
 
Como podemosver es la misma muestra que el muestreo aleatorio simple. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 148 
 
EJEMPLO#358 Suponemos que queremos saber la opinión sobre un profesor de una clase de 60 personas. Dichas personas están 
ordenadas por orden alfabético en la lista de alumnos de clase. Para realizar la encuesta, seleccionamos a 12 personas: 
Por lo tanto, 𝑵 = 𝟔𝟎 𝒚 𝒏 = 𝟏𝟐. El intervalo fijo entre sujetos es: 
𝒌 =
𝑵
𝒏
=
𝟔𝟎
𝟏𝟐
= 𝟓 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐. 
Ahora elegimos al azar un número entre 1 y 𝒌 = 𝟓. Suponemos que nos sale 𝒊 = 𝟐. La muestra resultado mediante el muestreo sistemático será: 
 
 
EJEMPLO#359 La siguiente tabla muestra los valores de las edades de los integrantes del Club Social. (Guajurú). Con un error de estimación 
de 4 años. ¿Cuál debe ser la muestra que se debe seleccionar? y realice mediante el muestreo sistemático, seleccione los valores y halle el 
promedio de la muestra e infiera a la población. 
56 36 80 54 21 45 48 49 52 59 
64 48 75 20 25 29 32 36 37 33 
33 39 45 42 48 65 32 6 90 75 
21 20 54 58 68 69 70 65 60 70 
50 52 45 25 35 65 95 85 75 75 
45 75 45 25 52 45 53 56 59 58 
57 65 68 67 64 21 70 80 90 54 
24 25 65 35 36 38 69 71 80 28 
Evidentemente que una población de este tamaño (80) se puede estudiar en su totalidad pero con fines pedagógicos hemos tomado la 
decisión de seleccionar una muestra y luego sistematizar. 
SOLUCIÓN: 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑵 = 𝟖𝟎 ; 𝑩 = 𝟒 ; 
𝑺𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒍 𝒂𝒛𝒂𝒓 𝒔𝒆𝒂:𝑬𝒅𝒂𝒅 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒂: 𝟗𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔,𝑬𝒅𝒂𝒅 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒂: 𝟐𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔,𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = 𝑹 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒂− 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒂 = 𝟕𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔. 
𝑵𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒐𝒍𝒗𝒊𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟒 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 → 𝝈 =
𝟕𝟎
𝟒
=
𝟑𝟓
𝟐
= 𝟏𝟕, 𝟓 
𝑳𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒕á𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 → 𝝈𝟐 = (𝟏𝟕, 𝟓)𝟐 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓 ↔ 𝝈𝟐 = 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓 
𝝈 =
𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐
𝟒
=
𝑹
𝟒
= 𝒌 =
𝑵
𝒏
= 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ó 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐. 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟒𝟐
𝟒
=
𝟏𝟔
𝟒
= 𝟒; 𝑽𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒐𝒏𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝑩 = 𝟏𝟏 𝒂𝒍𝒆𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆. 𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟏𝟏𝟐
𝟒
=
𝟏𝟐𝟏
𝟒
= 𝟑𝟎, 𝟐𝟓 ≈ (𝒄𝒂𝒔𝒊) 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝝈𝟐
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + 𝝈𝟐
=
(𝟖𝟎) ∗ (𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)
[(𝟖𝟎 − 𝟏) ∗ (𝟑𝟎, 𝟐𝟓)] + (𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)
=
(𝟖𝟎)(𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓)
[𝟐𝟑𝟖𝟗, 𝟕𝟓] + 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓
=
𝟐𝟒𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟔𝟗𝟔
=
𝟔𝟏𝟐𝟓
𝟔𝟕𝟒
= 𝟗, 𝟎𝟖𝟕𝟓 ≈ 𝟏𝟎 
 
𝒌 =
𝑵
𝒏
= 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ó 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝒇𝒊𝒋𝒐 =
𝟖𝟎
𝟏𝟎
= 𝟖 𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝟖 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐𝒔 𝒇𝒊𝒋𝒐𝒔. 
Evidentemente tenemos que seleccionar 10 de los 80 socios. El primer valor lo tomamos aleatoriamente entre los primeros 10 valores, en 
nuestro caso fue el tercero, entonces seleccionamos el tercer valor y sistematizamos sumando “k” que en este caso es 8. 
56 36 80 54 21 45 48 49 52 59 
64 48 75 20 25 29 32 36 37 33 
33 39 45 42 48 65 32 6 90 75 
21 20 54 58 68 69 70 65 60 70 
50 52 45 25 35 65 95 85 75 75 
45 75 45 25 52 45 53 56 59 58 
57 65 68 67 64 21 70 80 90 54 
24 25 65 35 36 38 69 71 80 28 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 149 
 
Ahora realizamos el estudio entre los 10 valores seleccionados en la muestra. 
�̅� =
∑𝒙𝒊
𝒏
=
𝟖𝟎+ 𝟔𝟒 + 𝟑𝟕+ 𝟑𝟐 + 𝟔𝟖 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟓 + 𝟓𝟗 + 𝟕𝟎 + 𝟑𝟔
𝟏𝟎
=
𝟓𝟑𝟔
𝟏𝟎
=
𝟐𝟔𝟖
𝟏𝟎
= 𝟓𝟑,𝟔 ≈ 𝟓𝟒 𝒂ñ𝒐𝒔 
El promedio de las edades de la muestra es 54 años. Ahora realizamos el intervalo de confianza para inferir a la población. Como es una 
muestra pequeña (10) tenemos que utilizar la “t” de student. 
IC: Intervalo de Confianza para estimar la media poblacional de muestras pequeñas: 
𝑰. 𝑪. 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓: 𝝁 = �̅� ± (𝒕)(𝒔�̅�) = �̅� ± (𝒕) ∗
𝒔
√𝒏
 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: {
�̅�: 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 
𝒕: 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕 
𝒏: 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 
𝒔: 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓
} 
𝒔 = 𝟏𝟕, 𝟓 √𝒏 = √𝟏𝟎 = 𝟑,𝟏𝟔𝟐𝟑 ≅ 𝟑,𝟏𝟔 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 (𝒏 − 𝟏) = 𝟏𝟎 − 𝟏 = 𝟗 . 
y el nivel de significación al no dárnoslo es el 95%. Siguiendo los pasos que están en la tabla es 2,2622 el valor de “t” 
 
𝝁 = �̅� ± (𝒕)(𝒔�̅�) = �̅� ± (𝒕) ∗
𝒔
√𝒏
= �̅� ± (𝟐, 𝟐𝟔𝟐𝟐) ∗
𝟏𝟕, 𝟓
√𝟏𝟎
= �̅� ± (𝟐, 𝟐𝟔𝟐𝟐) ∗ (𝟓, 𝟓𝟑𝟒𝟎) = �̅� ± (𝟏𝟐, 𝟓𝟏𝟗𝟎) = 𝟓𝟒 ± (𝟏𝟐, 𝟓𝟐) 
𝟒𝟏, 𝟒𝟖 ≤ 𝝁 ≤ 𝟔𝟔, 𝟓𝟐 ↔ 𝟒𝟏, 𝟒𝟖 ≤ 𝟓𝟒 ≤ 𝟔𝟔,𝟓𝟐 
Respuesta: 
Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se pudieran haber seleccionado la media estará entre 41,48 y 66,52 años. 
 
Selección del tamaño de la Muestra para seleccionar una proporción poblacional (𝝅). 
Formula: 
 𝒏 =
𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)
; 𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
 ; 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆: {
𝒏: 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂. 
𝑵: 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏. 
𝑩: 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏.
𝑫:𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒐. 
𝒑: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 é𝒙𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐. 
𝒒: 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 ó 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒕𝒐.
 
EJEMPLO#360 Los siguientes datos muestran la opinión que tuvieron las 130 personas que asistieron al cine el “Peliculón” el día de su 
reapertura. Encuestas anteriores muestran que el 65% de los visitantes ven las mejoras como positivas. Debido a que tabular 130 encuestas 
es mucho según el gerente, se decide tomar una muestra con un error de 0,15 y un 95% de confiabilidad, aparte realice un estudio estadístico 
completo. 
Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo 
Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo 
Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo 
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo 
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual 
Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual 
Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo 
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo 
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo 
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
SOLUCIÓN: 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:𝑵 = 𝟏𝟑𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔; 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟓 = 𝟔𝟓% 𝒒 = 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟑𝟓% 𝑩 = 𝟎,𝟏𝟓 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 = 𝟗𝟓% 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
(𝟎, 𝟏𝟓)𝟐
𝟒
=
𝟎,𝟎𝟐𝟐𝟓
𝟒
=
𝟗
𝟏𝟔𝟎𝟎
= 𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟔𝟐𝟓 
 
𝒏 =
𝑵 ∗ 𝒑 ∗ 𝒒
[(𝑵− 𝟏) ∗ 𝑫] + (𝒑 ∗ 𝒒)
=
𝟏𝟑𝟎 ∗ (𝟎, 𝟔𝟓) ∗ (𝟎, 𝟑𝟓)
[(𝟏𝟑𝟎 − 𝟏) ∗
𝟗
𝟏𝟔𝟎𝟎
] + [(𝟎, 𝟔𝟓) ∗ (𝟎, 𝟑𝟓)]
=
𝟐𝟗, 𝟓𝟕𝟓
[𝟎, 𝟕𝟐𝟓𝟔𝟐𝟓] + [𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟓]
=
𝟐𝟗, 𝟓𝟕𝟓
𝟎, 𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟓
=
𝟗𝟒𝟔𝟒
𝟑𝟎𝟓
= 𝟑𝟏, 𝟎𝟐𝟗𝟓 ≈ 𝟑𝟐 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROLDE GESTIÓN 150 
 
𝒌 =
𝑵
𝒏
=
𝟏𝟑𝟎
𝟑𝟐
=
𝟔𝟓
𝟏𝟔
= 𝟒, 𝟎𝟔𝟐𝟓 ≈ 𝟒 
Si bien en estadística siempre redondeamos al mayor valor, en el caso del cálculo de la “k” se utiliza el enfoque matemático. 
Ahora tomamos un número aleatorio entre los primeros 4 número en nuestro caso fue el 2. O sea, la segundo observación que nos va a 
servir como punto de partida y primer valor. 
Positivo Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo Positivo 
Igual Negativo Positivo Igual Positivo Igual Negativo Positivo Igual Positivo 
Negativo Igual Igual Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo 
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo 
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Igual Positivo Negativo Positivo Negativo Igual Positivo Positivo Igual 
Negativo Positivo Positivo Igual Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
Igual Positivo Igual Positivo Positivo Positivo Igual Igual Negativo Igual 
Positivo Positivo Positivo Positivo Igual Positivo Igual Positivo Igual Negativo 
Igual Positivo Negativo Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo 
Positivo Igual Igual Igual Negativo Positivo Positivo Igual Positivo Positivo 
Positivo Negativo Igual Positivo Igual Igual Positivo Igual Igual Positivo 
 𝑺𝒊 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝟗𝟓% = 𝟎, 𝟗𝟒𝟗𝟓 ≅ 𝟎, 𝟗𝟓 → 𝑽𝒆𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓: 𝒁 = 𝟏, 𝟔𝟒 
𝟎, 𝟗𝟒𝟗𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟎(𝒍𝒂 𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝟓𝟎%) = 𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓 → 𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓(𝟑𝟐) = 𝟏𝟒 𝒑 = 𝟎,𝟒𝟒𝟗𝟓(𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓) 
Hacemos el estudio de las variables cualitativas de los treinta dos datos y tenemos que la proporción de clientes que estuvo satisfecha 
(positivo) fue el 0,4495, o sea 14 de 32 encuestados. 
Ahora vamos a hallar el intervalo de confianza. 
 
 
a) Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional: 
 𝑰.𝑪: 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒓 → 𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝒔𝒑 
b) Estimación del error estándar de las proporciones muestrales: 
 𝒔𝒑 = √
𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏
 ; 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆. 𝒏 < 𝟎, 𝟎𝟓𝑵 
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒔 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 (𝒁) 𝒚 𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏( 𝒕). 
 𝒔𝒑 = √
𝒑(𝟏 − 𝒑)
𝒏
= √
𝟎, 𝟔𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟓)
𝟑𝟐
= √
𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟓
𝟑𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟒𝟑 
𝝅 = 𝒑 ± 𝒁 ∗ 𝒔𝒑 = (𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓) ± (𝟏, 𝟔𝟒)(𝟎, 𝟎𝟖𝟒𝟑) = (𝟎, 𝟒𝟒𝟗𝟓) ± (𝟎, 𝟏𝟑𝟖𝟑) → 𝟎, 𝟑𝟏𝟏𝟐 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟓𝟖𝟕𝟖 
𝟎, 𝟑𝟏𝟏𝟐 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟓𝟖𝟕𝟖 
Estamos seguros que en un 95% de las posibles muestras que se pudieron haber seleccionado la proporción de clientes que 
creen que el cambio fue positivo está entre 0,3112 y 0,5878. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 151 
 
Muestreo Estratificado. 
Es sin duda alguna uno de los tipos de muestreo más importante, se utiliza mucho en las investigaciones de mercado en la parte de 
segmentación. Este tipo de muestreo se utiliza cuando nos interesa el peso de una determinada parte del mercado. En palabras más 
sencillas cuando tenemos que segmentar la muestra en varias submuestras. 
Muestreo Estratificado cuando nos interesa calcular la media poblacional. 
Fórmulas: 
𝒏 =
(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊)
𝟐
𝑵𝟐 ∗ 𝑫 + ∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
𝟐 ; 𝒏𝒊 = 𝒏(
𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
) 
Evidentemente lo vas a comprender mejor con un ejemplo. Disfrútalo. 
Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. 
 
EJEMPLO#361 La cadena de tiendas de ropas deportivas YO SOY, necesita saber el promedio de gasto que tienen los hombres y las 
mujeres de la UAGRM para decidir qué tipo de publicidad se va a lanzar. Es sabido que la Universidad tiene 8000 estudiantes y de estos 6000 
son mujeres. Se hizo una prueba piloto que demostró que el gasto en ropa deportiva máximo en el caso de los hombres es de 50 $us en 
promedio por mes y el mínimo de cero, que son las personas que no gastan nada en ropa deportiva. En el caso de las mujeres la que más 
gasta en ropa deportiva es 150 dólares y evidentemente hay chicas que no usan ropa deportiva. 
¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para estimar el promedio de gasto en ropa deportiva por mes conociendo que el límite para el error 
de estimación es de 10 dólares? 
SOLUCIÓN: 
Es evidente que en este caso debe de utilizarse el muestreo estratificado debido a que los hombres y las mujeres forman dos grupos de 
consumidores completamente diferentes. 
En este caso no nos dan la desviación estándar ni la varianza de la población pero nos dan el Rango, por propiedad estadística podemos 
decir que la desviación estándar es el rango Dividido entre 4. 
Rango de Gasto de hombres (50 dólares) 
Rango de Gasto de Mujeres (150 dólares) 
𝝈 → 𝝈 (𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) =
𝟓𝟎
𝟒
 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝝈 → 𝝈 (𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) =
𝟏𝟓𝟎
𝟒
= 𝟑𝟕, 𝟓 𝒅ó𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔. 
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 = (𝟐𝟎𝟎𝟎𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔)(𝟏𝟐,𝟓) + (𝟔𝟎𝟎𝟎𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔)(𝟑𝟕,𝟓) = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎+ 𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔: 𝒏𝒊 = 𝒏(
𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
) ⟹ 𝒏(𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) = (
𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
) = (
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
) =
𝟏
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎% 
𝑴𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔: 𝒏𝒊 = 𝒏(
𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
) ⟹ 𝒏(𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) = (
𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
) = (
𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
) =
𝟗
𝟏𝟎
= 𝟎,𝟗𝟎 = 𝟗𝟎% 
Por lo tanto n1 = 0,1 y n2= 0,9 
Ahora para encontrar n debemos calcular las siguientes cantidades. 
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
𝟐 = (𝟐𝟎𝟎𝟎)[(𝟏𝟐,𝟓)𝟐] + (𝟔𝟎𝟎𝟎)[(𝟑𝟕, 𝟓)𝟐] = 𝟑𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎 + 𝟖𝟒𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 = 𝟖𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
𝟏𝟎𝟐
𝟒
=
𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟐𝟓 
𝒏 =
(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊)
𝟐
𝑵𝟐 ∗ 𝑫 +∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊
𝟐
=
(𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐
(𝟖𝟎𝟎𝟎)𝟐 ∗ 𝟐𝟓 + 𝟖𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟑𝟖, 𝟖𝟓𝟎𝟎 ≈ 𝟑𝟗 
𝒏 = 𝟑𝟗 𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒂𝒎𝒂ñ𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒕𝒐𝒎𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒃𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏. 
{
𝒏(𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔) = 𝒏 ∗ 𝒏𝟏 = 𝟑𝟗 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟑,𝟗 ≈ 𝟒
𝒏(𝒉𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) = 𝒏 ∗ 𝒏𝟐 = 𝟑𝟗 ∗ 𝟎, 𝟗𝟎 = 𝟑𝟓,𝟏 ≈ 𝟑𝟓
} = 𝟑𝟗 (𝒍𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 𝟒 𝒉𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝒂 𝟑𝟓 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔) 
 
Ejemplo de selección del tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional. 
EJEMPLO#362 En una encuesta de televisión una empresa publicitaria planea utilizar entrevistas por teléfono. Los tamaños de los estratos 
son N1= 155, N2= 62 y N3 = 93. Que representan la cantidad de viviendas que hay en cada una de los tres barrios de la Ciudad. Los resultados 
de encuestas anteriores muestran que en el barrio uno ven el programa el 35% de los habitantes, en el 2 un 40% y en el tres un 60%, con un 
límite para el error de estimación de 0,10 .Calcular el tamaño de la muestra. 
SOLUCIÓN: 
𝒑𝟏 = 𝟎,𝟑𝟓 ; 𝒑𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟎 ; 𝒑𝟑 = 𝟎, 𝟔𝟎; 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒒𝟏 = 𝟎, 𝟔𝟓; 𝒒𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟎; 𝒒𝟑 = 𝟎,𝟒𝟎 ∑𝑵𝒊 = 𝟏𝟓𝟓 + 𝟔𝟐+ 𝟗𝟑 = 𝟑𝟏𝟎 
𝒏𝟏 = 𝒏(
𝑵𝟏
∑𝑵𝒊
) ⟹ 𝒏 =
𝑵𝟏
𝑵
=
𝟏𝟓𝟓
𝟑𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟓𝟎; 𝒏𝟐 = 𝒏(
𝑵𝟐
∑𝑵𝒊
) ⟹ 𝒏 =
𝑵𝟐
𝑵
=
𝟔𝟐
𝟑𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟎;𝒏𝟑 = 𝒏(
𝑵𝟑
∑𝑵𝒊
) ⟹ 𝒏 =
𝑵𝟑
𝑵
=
𝟗𝟑
𝟑𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟑𝟎 
∑𝑵𝒊 ∗ 𝒑𝒊 ∗ 𝒒𝒊 = (𝟏𝟓𝟓)(𝟎, 𝟑𝟓)(𝟎, 𝟔𝟓) + (𝟔𝟐)(𝟎,𝟒)(𝟎, 𝟔) + (𝟗𝟑)(𝟎, 𝟔)(𝟎, 𝟒) = 𝟑𝟓, 𝟐𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖 + 𝟐𝟐,𝟑𝟐 = 𝟕𝟐,𝟒𝟔𝟐𝟓 ≅ 𝟕𝟐,𝟒𝟔 
𝑫 =
𝑩𝟐
𝟒
=
(𝟎, 𝟏)𝟐
𝟒
= 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓 → 𝑵𝑫 = 𝟑𝟏𝟎(𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟕𝟕𝟓 
𝒏 =
∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 ∗ 𝒑𝒊
(𝑵 ∗ 𝑫) +
𝟏
𝑵
(∑𝑵𝒊 ∗ 𝝈𝒊 ∗ 𝒑𝒊)
=
𝟕𝟐, 𝟒𝟔(𝟎, 𝟕𝟕𝟓) +
𝟏
𝟑𝟏𝟎
(𝟕𝟐, 𝟒𝟔)
=
𝟕𝟐, 𝟒𝟔
𝟎, 𝟕𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟕
=
𝟕𝟐, 𝟒𝟔
𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟕
= 𝟕𝟏, 𝟖𝟑𝟓𝟎 ≈ 𝟕𝟐 
𝒏𝟏 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟓𝟎) = 𝟑𝟔; 𝒏𝟐 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟐𝟎) = 𝟏𝟒; 𝒏𝟑 = 𝟕𝟐(𝟎, 𝟑𝟎) = 𝟐𝟐 
Respuesta: en total hay que seleccionar 72 familias, 36 familias del barrio1; 14 familias del barrio2; y 22 familias del barrio 3.