Ejercicios Estadística Caso de estudio y calculo

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Ejercicios Estadística, Calcule y desarrolle. 
1- En un estudio sobre las bases matemáticas de 52 estudiantes inscritos en estadística, se encontró que el número de estudiantes que habían cursado distintas asignaturas de matemáticas era como sigue: álgebra de matrices 23, geometría analítica 18, matemáticas finita 13, álgebra de matrices y geometría analítica 3, álgebra de matrices y matemáticas finita 6, geometría analítica y matemática finita 3, y todas las tres matemáticas 1. 
a) ¿cuantos estudiantes hay que jamás han tomado ninguna de las tres materias? 
b) ¿cuantos estudiantes han tomado solo álgebra de matrices? ¿Solo geometría analítica?, ¿solo matemáticas finita? 
c) ¿cuantos estudiantes han tomado solamente álgebra de matrices y geometría analítica? 
d) ¿cuantos estudiantes han tomado solo algebra de matrices y matemáticas finita?, ¿solo geometría analítica y matemáticas finita? 
e) ¿Exactamente en álgebra de matrices o geometría analítica?
R1) 
a) Para determinar cuántos estudiantes nunca han tomado ninguna de las tres materias, sumaremos los estudiantes que han tomado cada materia y restaremos los que han tomado dos o tres materias, y luego sumaremos los que han tomado todas las tres materias.
Total estudiantes= 23+18+13 − (3+6+3)+1=43 
Por lo tanto, hay 52−43=952−43= 9 estudiantes que nunca han tomado ninguna de las tres materias.
b) Ahora se mostrará cuántos estudiantes han tomado solo álgebra de matrices, solo geometría analítica y solo matemáticas finitas.
· Solo álgebra de matrices: 23 − (3+6+1)= 13 estudiantes.
· Solo geometría analítica: 18 − (3+3+1)= 11 estudiantes.
· Solo matemáticas finitas: 13 − (6+3+1)= 3 estudiantes.
c) Cuántos estudiantes han tomado solamente álgebra de matrices y geometría analítica:
3 estudiantes.
d) Cuántos estudiantes han tomado solo álgebra de matrices y matemáticas finitas, solo geometría analítica y matemáticas finitas:
· Solo álgebra de matrices y matemáticas finitas: 6 estudiantes.
· Solo geometría analítica y matemáticas finitas: 3 estudiantes.
e) Cuántos estudiantes han tomado exactamente álgebra de matrices o geometría analítica:
23+18−3= 38 estudiantes.
2- La junta directiva de la compañía ABC consta de 12 miembros, ¿de cuantas formas se pueden elegir presidente, vicepresidente y secretario?
Para calcular de cuántas formas se pueden elegir presidente, vicepresidente y secretario de entre los 12 miembros de la junta directiva, podemos usar el principio de la multiplicación.
1. Elegir al presidente: Hay 12 opciones para elegir al presidente.
2. Elegir al vicepresidente: Después de haber elegido al presidente, quedan 11 miembros para elegir al vicepresidente.
3. Elegir al secretario: Después de haber elegido al presidente y vicepresidente, quedan 10 miembros para elegir al secretario.
Ahora, se multiplican las opciones para cada posición:
12×11×10 = 1,320
Por lo tanto, hay 1,320 formas diferentes de elegir presidente, vicepresidente y secretario de entre los 12 miembros de la junta directiva de la compañía ABC.
3- Entre los 202 empleados de un departamento hay 150 graduados, 62 del total consagran por lo menos parte de su tiempo a trabajos de estadística y 40 de los 150 graduados dedican por lo menos parte de su tiempo a trabajos de estadística. Si se toma al azar uno de estos empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea graduado y no trabaje en estadística?
Primero, identificamos las cantidades clave:
· Graduados (G): 150 empleados.
· Trabajan en estadística (S): 62 empleados.
· Graduados que trabajan en estadística (G ∩ S): 40 empleados.
Ahora, se calcula la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar no sea graduado y no trabaje en estadística. Esto se puede expresar como P (No graduado ∩ No trabaja en estadística) 
Para calcular esto, se puede utilizar el hecho de que la probabilidad del complemento de un evento es igual a 1 menos la probabilidad del evento en sí.
1. Probabilidad de no ser graduado (No G):
P (No G) = No G = 202-150 = 52
 Total 202 202
2. Probabilidad de no trabajar en estadística (No S):
P (No S) = No S = 202-62 = 140
 Total 202 202
3. Probabilidad de no ser graduado y no trabajar en estadística (No G ∩ No S):
P (No G ∩ No S) = P(No G) × P(No S)= 52 X 140
 202 202
 ≈0.1818 o 18.18.
Por lo tanto, la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar no sea graduado y no trabaje en estadística es aproximadamente 0.18180.1818 o 18.1818.18.
Por último, se puede representar esto en un diagrama de Venn con dos círculos, uno para graduados (G) y otro para los que trabajan en estadística (S), donde la intersección representa a los graduados que trabajan en estadística.
 G
 / \
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 / \
S --------------------------- G ∩ S
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 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 \ /
 S
Otra forma de representar en el diagrama:
Este diagrama muestra la intersección de los conjuntos G y S, que representa a los graduados que trabajan en estadística.
4- dada la siguiente tabla de contingencia. Se escoge un estudiante al azar; halle la probabilidad de que de que a) sea mujer, dado que usa lentes, b) usa lentes, dado que es hombre, c) determine si las características "usar lentes" y "ser mujer" son independientes. 
	Usar lentes
	Sexo
	Si
	No
	Total
	Masculino
	24
	22
	46
	Femenino
	22
	44
	66
	Total
	46
	66
	112
a) Se calculan las probabilidades solicitadas:
P (Mujer ∣ Lentes) = Mujer y Lentes​ = 22​ ≈ 0.4783
 Lentes 46
b) Probabilidad de usar lentes dado que es hombre (P (Lentes ∣ Hombre)):
P (Lentes ∣ Hombre) = Hombre y Lentes = 24 ≈ 0.5217
 Hombre 46
c) Para determinar si las características "usar lentes" y "ser mujer" son independientes, se comparan las probabilidades condicionales con las probabilidades marginales.
Si las características son independientes, entonces P ((Mujer ∣ Lentes) debería ser igual a P (Mujer) y P (Lentes ∣ Hombre) debería ser igual a P (Lentes).
Es decir:
P (Mujer) = Mujer = 66 ≈ 0.5893
 Total 112
P (Lentes) = Lentes = 46 ≈ 0.4107
 Total 112
Las probabilidades condicionales son aproximadamente iguales a las probabilidades marginales, lo que sugiere independencia.
En resumen:
a) P (Mujer ∣ Lentes) ≈ 0.4783 
b) P (Lentes∣Hombre)≈0.5217
c) c) Las características "usar lentes" y "ser mujer" son independientes, ya que las probabilidades condicionales son aproximadamente iguales a las probabilidades marginales.
5- Si se tira un dado dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 3?
Para calcular la probabilidad de sacar al menos un 3 al tirar un dado dos veces, podemos considerar los casos en los que al menos uno de los lanzamientos resulta en un 3 y luego restar esa probabilidad del total de posibles resultados.
Primero, se identifican los casos en los que al menos uno de los lanzamientos es un 3:
1. Sacar un 3 en el primer lanzamiento y cualquier número en el segundo lanzamiento.
2. No sacar un 3 en el primer lanzamiento y sacar un 3 en el segundo lanzamiento.
3. Sacar un 3 en ambos lanzamientos.
Ahora calculemos lasprobabilidades de cada caso:
1. P(3 en el primer lanzamiento) x P(Cualquier número en el segundo lanzamiento) = 1 x 5 
 6 6
2. P(No 3 en el primer lanzamiento) x P(3 en el segundo lanzamiento) = 5 x 1
 6 6
3. P (3 en ambos lanzamientos) = 1 x 1
6 6
Sumando estas probabilidades para obtener la probabilidad total de sacar al menos un 3:
P(Al menos un 3 en dos lanzamientos)= 1 x 5 + 5 x 1 + 1 x 1
 6 6 6 6 6 6
Calculando esto:
P (Al menos un 3 en dos lanzamientos)= 5 + 5 + 1 + 11
 36 36 36 36
Por lo tanto, la probabilidad de sacar al menos un 3 al tirar un dado dos veces es 11 ó
 36
aproximadamente 0.30560.3056.