guia de resolucion ejercicios matematicos acerca de las funciones

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1) “Ejercicios sobre Relaciones y Funciones” de este archivo deben de resolver todos los ejercicios que se presentan. (4 puntos)
2) Debe realizar una investigación teórica sobre los tipos de funciones (deben seleccionar y definir 6 tipos de funciones), de esas funciones seleccionadas por usted colocar la definición y un ejemplo de cada tipo de función que usted decida desarrollar en su taller. (6 puntos) 
1) Función Lineal:
Definición: Una función lineal es una relación matemática de la forma f (x) = mx +b, donde m y b son constante reales. Aquí, m representa la pendiente de la línea, y bes la ordenada al origen, el punto donde la línea corta el eje vertical (x = 0).
Características:
· Pendiente (m): Determina la inclinación de la línea. Una pendiente positiva indica una línea ascendente, mientras que una pendiente negativa representa una línea descendente. La magnitud de la pendiente indica la inclinación relativa.
· Ordenada al Origen (b): Es el valor de f (x) cuando x = 0. Representa el punto donde la línea corta el eje vertical.
Propiedades:
· La gráfica de una función lineal es una línea recta en el plano cartesiano.
· Todas las líneas lineales son simétricas respecto al punto (0,b).
· Si la pendiente m es positiva, la función es creciente; si es negativa, la función es decreciente
Ejemplo: Consideremos la función f (x) = 2x +3
· Pendiente (m): En este caso, 2m=2. Esto significa que por cada unidad que aumenta x, f(x) aumenta en 2 unidades.
· Ordenada al Origen (b): Aquí, b=3, indicando que la línea corta el eje y en el punto (0,3).
Aplicaciones: Las funciones lineales tienen aplicaciones prácticas en diversas disciplinas, desde la física hasta la economía. Por ejemplo, en física, la posición de un objeto en movimiento uniforme puede modelarse con una función lineal. En economía, el costo total de producción puede expresarse mediante una función lineal.
Las funciones lineales son esenciales para comprender conceptos más avanzados en matemáticas y física, y su simplicidad las convierte en una herramienta valiosa en diversos contextos.
2. Función Cuadrática.
Definición: La función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, representada por la expresión general f(x)=ax²+bx+c, donde a, b, y c son constantes, y a ≠ 0. Esta función se asocia con una parábola en el plano cartesiano.
Características y Propiedades:
1. Concavidad:
1. Si a>0, la parábola abre hacia arriba.
2. Si a<0, la parábola abre hacia abajo.
· Vértice:
· Las coordenadas del vértice de la parábola son (−b/2a , f(−b/2a)).
· El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice.
Intersecciones con los Ejes:
Para encontrar las x-intercepts, resolvemos f(x)=0
La ordenada al origen (y-intercept) es c.
· Raíces:
La discriminante b²−4ac determina el número de raíces reales de la función cuadrática. Si es positivo, hay dos raíces reales diferentes; si es cero, hay una raíz real doble; si es negativo, no hay raíces reales.
· Ejemplo:
Considere f(x)=x²−4x+4: 
· a=1 (positivo), por lo que la parábola abre hacia arriba.
· El vértice se encuentra en x = 4 = 2. Al sustituir x = 2
 2.1
, obtenemos y = 2² - 4 . 2+4=0, por lo que el vértice es (2,0).
· Las raíces se encuentran resolviendo x² - 4x+4=0, y la única raíz es x= 2
· La ordenada al origen es c=4.
 3. Función Exponencial.
 Definición: La función exponencial es una función matemática de la forma f(x)=a⋅bx, donde a y b son constantes, y b es la base de la exponenciación. La variable x representa el exponente. La base b debe ser un número positivo diferente de 1.
Características y Propiedades:
1. Crecimiento Exponencial:
· Si b>1, la función crece exponencialmente a medida que x aumenta.
· Si 0<b<1, la función decrece exponencialmente a medida que x aumenta.
2. Intersección con el Eje y:
La función siempre pasa por el punto (0,a), donde a es el valor de la función cuando x=0.
3. Asíntota Horizontal:
· La función tiene una asíntota horizontal en y=0 si 0<b<1.
4. Propiedad de Productos:
f(x1​+x2​)=f(x1​)⋅f(x2​) para cualquier 1x1​ y 2x2​.
Ejemplo:
Considera la función f(x)=2⋅3x.
· La base es b=3 y el coeficiente a=2.
· La función crece exponencialmente ya que b>1.
· Pasa por el punto (0,2).
· No se tiene asíntota horizonal.
Aplicaciones:
1. Crecimiento Exponencial:
· Modela el crecimiento de poblaciones biológicas.
· Descripción del crecimiento económico en términos de interés compuesto.
2. Decaimiento Exponencial:
· Desintegración radioactiva de elementos.
· Decrecimiento de una sustancia química en un proceso.
3. Finanzas:
· Modelado de inversiones con tasas de interés compuesto.
4. Ingeniería:
· Descripción de la propagación de ondas en ciertos fenómenos físicos.
La función exponencial es fundamental en diversas áreas, especialmente en ciencias naturales, economía y matemáticas aplicadas. Su capacidad para modelar crecimiento y decaimiento la convierte en una herramienta valiosa en la resolución de problemas del mundo real.
4. Función logarítmica.
La función Logarítmica es la inversa de la función exponencial. Se denota comunmente por logb(x), donde b es la base del logaritmo y x es el argumento. Matemáticamente se expresa como y= logb(x) si y solo si by.
Características y Propiedades:
· Dominio y Rango:
El dominio de la función logartimica es (0, ∞), ya que el logaritmo de cero y npumeros negativos no está definido.
El rango es (-∞,∞).
· Intersección con el eje y:
La función siempre pasa por el punto (1,0) debido a que la propiedad b°=1. 
· Asintota vertical:
La función tiene una asíntota vertical x=0
· Propiedad del cambio de bases:
Logb(x) = log(x) para cualquier base común c.
 log(b)
· Propiedad de Productos y Cociente:
Logb (x . y) = logb(x) + logb(y)
Ejemplo:
Considera la función y=log2(x):
La base es b = 2.
Log2(1) = 0 debido a la propiedad 2° = 1.
La función crece más lentamente a medida que x aumenta.
 Aplicaciones:
1. Ciencias de la Computación:
· Algoritmos y complejidad computacional a menudo involucran logaritmos.
2. Ingeniería:
· Modelado de procesos de crecimiento o decaimiento no lineales.
3. Matemáticas Financieras:
· Cálculos relacionados con tasas de interés y rendimientos financieros.
4. Física:
· Descripción de fenómenos que exhiben crecimiento o decaimiento exponencial.
5. Biología:
· Modelado de poblaciones y tasas de crecimiento en ecología.
La función logarítmica es esencial en la resolución de problemas que involucran crecimiento o decaimiento exponencial, y su relación inversa con las funciones exponenciales la convierte en una herramienta poderosa en diversas disciplinas.
5. Funcion Raíz Cuadrada.
Definición: La función raíz cuadrada, representada como Y = es una función que asigna a cada número real no negativo x su raíz cuadrada no negativa. Matemáticamente, para cada es el número no negativo cuyo cuadrado es x.
Características y Propiedades:
1. Dominio y Rango:
· El dominio de la función raíz cuadrada es [0,∞).
· El rango es [0,∞).
2. Intersección con el Eje y:
La función siempre pasa por el punto (0,0) debido a la propiedad 
3. Decrecimiento Monótono:
La función es decreciente en su dominio, ya que a medida que x aumenta, 
disminuye.
4. Simetría:
La función es simétrica respecto al eje y.
5. Propiedades de la Raíz Cuadrada:
Ejemplo:
Considera la función Y = 
· 1 debido a que 1² = 1.
· La función está definida solo para x ≥ 0.
· Es una función creciente en su dominio.
Aplicaciones: 
1. Geometría:
· Cálculo de distancias y longitudes en geometría euclidiana.
2. Física:
· Relacionada con conceptos como velocidad y aceleración en el movimiento uniformemente acelerado.
3. Ingeniería:
· En problemas que involucran magnitudes físicas como la tensión en un cable.
4. Economía:
· Modelado de funciones de utilidad en economía.
5. Estadística:
· Cálculos de desviación estándar y variabilidad en distribuciones de datos.
La función raíz cuadrada esfundamental en diversas áreas y se encuentra comúnmente en situaciones donde se busca una relación entre dos cantidades, y una de ellas es el cuadrado de la otra.
6. Función Valor Absoluto.
Definición: La función de valor absoluto, representada como y = I x I, es una función que asigna a cada número real x su distancia a cero en la recta numérica, ignorando la dirección. Matemáticamente, para cualquier x, I x I es el número no negativo que representa la distancia de x a 0.
Características y Propiedades:
1. Definición Algebraica:
· Para x ≥ 0, x = x.
· Para x < 0, IxI = - x.
2. Dominio y Rango:
 El dominio de la función de valor absoluto es R (todos los números reales).
El rango es [0,∞).
3. Simetría: 
La función es simétrica respecto al eje y, ya que IxI = I –x I. 
4. Puntos de intersección:
La función pasa por el origen (0,0).
5. Propiedad triangular:
 ∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ para cualesquiera números reales a y b.
Ejemplo:
Considera la función y=∣x∣:
· 3 = 3y −∣−3∣=−3−∣−3∣ = −3.
· La función está definida para todos los números reales.
· Es creciente en [0,∞)[0,∞) y decreciente en (−∞,0](−∞,0].
Aplicaciones:
1. Distancia:
· Modela la distancia entre dos puntos en la recta numérica.
2. Optimización:
· En problemas de optimización, donde se busca minimizar o maximizar ciertas cantidades.
3. Programación Lineal:
· En la resolución de problemas de programación lineal.
4. Física:
· Para modelar magnitudes escalares, como velocidad y aceleración.
5. Estadística:
· Al tratar con desviaciones y errores, donde se quiere una medida no direccionada de variabilidad.