Cap 10

Vista previa del material en texto

206 
Ecuaciones 
IGUALDAD 
 
Es la comparación entre dos expresiones matemáticas 
la cual indica que éstas tienen el mismo valor numérico 
o que deben adquirir el mismo valor numérico. 
Siendo A y B dos expresiones matemáticas se tiene 
que: 
A = B 
Donde: A; primer miembro 
 B; segundo miembro 
 
CLASES DE IGUALDADES 
 
- Igualdad absoluta o Identidad: (Incondicional) 
 Es aquella que se verifica para cualquier valor 
asignado a la variable. 
 
 Así : 
 * )2b2a(22)ba(2)ba( +=−++ 
 Es una identidad se verifica para cualquier 
valor asignado a sus variables. 
 
 ** 
12x
2
1x
1
1x
1
−
=
+
−
−
 
Conjunto de valores admisibles { }1RCVA −−= 
 Es absoluta, cualquiera sea el valor de “x” la 
igualdad siempre se verifica 
 
- Igualdad Relativa o Ecuación: (Condicional) 
 Es una igualdad que sólo verifica para 
determinados valores numéricos asignados a sus 
variables. 
 
 Así : 1x33x5 +=− 
 Es una igualdad que sólo se cumple cuando: x = 2 
 
 SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN 
 
Es el conjunto de valores que verifican la ecuación. 
Ejemplo: 
Sea la ecuación: 13 6
3
x x− = + 
4 1
9 1
44 3 6......( )
3
99 3 6......( )
3
x F
x V
−
−
= ⇒ = +
= ⇒ = +
 
Entonces x = 9 es una solución. 
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.): 
Es el conjunto que reúne a todas las soluciones de una 
ecuación y se le denota por C.S. Ejemplo: 
2 12 0x x− − = ; 
Sus soluciones o raíces son: x=4 y x=-3 
El C.S. de una ecuación siempre es subconjunto de su 
CVA.; luego el C.S= -3, 4 
 
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES 
 
POR SUS SOLUCIONES.- Pueden ser: 
1. Ecuación compatible.- Es aquella que admite 
solución. A su vez puede ser 
 
a.- Determinada.- Si presenta un número limitado 
 de soluciones. 
 
Ejemplo: 20x42x53x +=+ 
Soluciones: 53x:22x;21x −=−== 
 
∴ Es una ecuación compatible y 
determinada (tiene tres soluciones) 
 
b.- Indeterminada.- Si presenta un número 
ilimitado de soluciones. Así por ejemplo: 
 
Resolver: 
Solución: Dando MCM en el primer miembro y 
efectuando resulta 
 
 
 
 
 
 
Por la identidad de Legendre resulta: 
 
12
4
12
4
−
=
− x
x
x
x
 
Cancelando denominadores se tiene que: 
 4x = 4x 
Por lo tanto la ecuación es COMPATIBLE 
INDETERMINADA para todo 1x ±≠ 
 
2. Ecuación incompatible (Absurda).- Es aquella que 
no admite solución. 
Ejemplo: 
Resolver: )2x)(4x(x4)1x( 2 −+=+− 
Solución: Efectuando paréntesis: 
 8x22xx41x22x −+=++− 
 Transponiendo términos se obtiene: 
81 −= 
 Como 81 −≠ entonces la ecuación es 
incompatible 
 
POR LA NATURALEZA DE LAS EXPRESIONES 
Pueden ser: 
1
4
1
1
1
1
2 −
=
+
−−
−
+
x
x
x
x
x
x
1
4
1
)1()1(
22
22
−
=
−
−−+
x
x
x
xx
1
4
1
)12()12(
22
22
−
=
−
+−−++
x
x
x
xxxx
 
 
 
 
 
207 
 
a.- Ecuación algebraica racional entera.- 
 6x2x3 2 −=− 
b.- Ecuación algebraica racional fraccionaria 
 
x
342x +=+ 
c.- Ecuación algebraica irracional.- La incógnita se 
 Encuentra afectada del radical. 
 23 x3x21x2 −+=+ 
d.- Ecuaciones trascendentes: (logarítmicas, 
 trigonométricas, exponenciales). 
 
POR EL NUMERO DE INCÓGNITAS 
Una ecuación puede tener una, dos o más incógnitas 
 12x64x2 −=+ Una incógnita 
 8y2x3 =− Dos incógnitas, etc... 
 
POR EL GRADO 
Las ecuaciones pueden ser: 
0bax =+ Primer grado o lineal 
0cbxax2 =++ Segundo grado o cuadrática 
0dcxbxax 23 =+++ Tercer grado o cúbica, etc. 
 
CRITERIOS DE SOLUCION 
 
1) Si la ecuación presenta a la incógnita en el 
denominador. Se deberá cuidar que su solución no 
anule el denominador. 
Ej. Resolver 
 
6x5x
11xx2
2x
5x
3x
1x
2
2
+−
−−
=
−
+
+
−
+ 
 Antes de resolver se deberá tener en cuenta que 
 2x;02x3x;03x ≠≠−∧≠≠− 
2) Si la ecuación presenta a la incógnita afectada 
de algún signo radical de índice par. Se debe 
proceder de la siguiente manera 
Si: Nn.).........x(G)x(Fn2 ∈= , debe 
cumplirse: 
 
0)x(G0)x(F ≥∧≥ 
 
ECUACIONES EQUIVALENTES 
Son aquellas que tienen las mismas soluciones. 
Ejemplo : 
 5x – 3 = 2x + 9 
 4x – 1 = x + 11 
Son equivalentes, porque x = 4 es solución de ambas 
ecuaciones 
 
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
1. Primer Principio .- Si a los dos miembros de una 
ecuación A(x) = B(x) se le suma o se le resta una 
misma expresión entera E(x), o en particular un 
número, se obtiene otra ecuación equivalente. 
 
)x()x()x()x( EBEA ±=± 
Ejemplo: 
Sea la ecuación: x + 8 = 5 
Restando 8 a ambos miembros x + 8 - 8 = 5 – 8 
Se obtiene una ecuación equivalente x = -3 
 
2. Segundo Principio .- Si se multiplican los dos 
miembros de una ecuación A(x) = B(x) por un 
mismo número o por una expresión algebraica, tal 
como K, se obtiene otra nueva ecuación que es 
equivalente a la primera. Si K contiene a la 
incógnita, entonces se infiltran soluciones 
extrañas 
K . A(x) = K . B(x) 
Ejemplo 
03xx2 2 =++ Ecuación con dos soluciones 
Si K = 2 , entonces 06x2x4 2 =++ 
Ecuación Equivalente (2 soluciones). 
Si 2xK = , entonces : 0x3xx2 234 =++ 
Ecuación con 4 soluciones. Se han infiltrado dos 
soluciones extrañas. 
 
3. Tercer Principio .- Si a ambos miembros de 
una ecuación A(x) = B(x) se dividen por una misma 
cantidad M ≠ 0, la igualdad no altera y se obtiene 
otra ecuación equivalente. Si M contiene a la 
incógnita, entonces se pierden soluciones. 
 
Ejemplo 
0x8x6x2 246 =+− Ecuación con 6 soluciones 
Si M = 2 entonces x6 - 3x4 + 4x2 = 0 
Ecuación con 6 soluciones 
Si M = x2 entonces 2x4 - 6x2 + 8 = 0 
Ecuación con 4 soluciones, se pierden 2 
soluciones. 
 
4. Cuarto Principio .- Si a los dos miembros de 
una ecuación se les eleva a la n-ésima potencia, 
entonces la igualdad no se altera, pero se 
infiltran soluciones extrañas. 
A = B ⇒ nn BA = 
 se infiltran soluciones 
 Si : nn BA = ⇒ 0BA nn =− , esto es: 
0)B.........BABAA)(BA( 1n23n2n1n =++++− −−−− 
 
 Soluciones extrañas 
 
 Ejemplo 
 01xxx 23 =−+− ⇒ Ecuación con 3 soluciones 
 
 
 
 
 
208 
 
 ( ) 2223 01xxx =−+− ⇒ Ecuación con 6 
soluciones; se han infiltrado 3 soluciones. 
 
5. Quinto Principio .- Si a los dos miembros de 
una ecuación se les extrae la raíz n-ésima, 
entonces la igualdad no altera, pero se pierden 
soluciones. 
Ejemplo 
 
161x2x2 =++ Ecuación con dos soluciones 
1x2x2 ++ = 16 
( )21x + = 16 
x + 1 = 4 
 x = 3 Ecuación con una solución. 
 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO 
 
Una ecuación de primer grado en x, tiene la forma : 
 0bax =± ; a ≠ 0. 
 
DISCUSIÓN DE SUS RAÍCES: 
1. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 ⇒ x = - b/a 
Solución única, dado por x = - b/a 
Ecuación compatible determinada. 
 
2. Si a ≠ 0 y b = 0. Solución es cero. 
Ecuación compatible determinada. 
 
3. Si a = 0 y b ≠ 0. Solución no existe 
Ecuación incompatible. 
 
4. Si a = 0 y b = 0. Infinitas soluciones. 
Ecuación compatible indeterminada. 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una 
incógnita, es aquella que puede reducirse a la forma : 
 
0cbxax2 =++ , a ≠ 0 
 
donde: 
a : coeficiente del término cuadrático o principal. 
 b : coeficiente del término lineal. 
 c : término independiente. 
 
Solución de una ecuación de segundo 
grado 
 
A) Por Factorización.- Cuando la Factorización del 
polinomio puede efectuarse 
 
Ejemplo: Resolver: 05X42X =−+ 
 Factorizando por aspa simple 
05X42X =−+ 
 X + 5 
 x - 1 
 (x + 5) (x - 1) = 0 
 Igualando cada factor a cero 
 x + 5 = 0 → x = -5 
 x - 1 = 0 → x = 1 
 C.S. = { -5 , 1 } 
B. Por Fórmula.- Se emplea la siguiente fórmula 
general : 
 Si: 0cbxxa 2 =++ ; a ≠ 0 , entonces: 
 
a2
ac42b bX −±−= 
Luego las raíces son :a2
ac42b b
2X
a2
ac42b b
1X
−−−
=
−+−
=
 
 
Ejemplo : Hallar el conjunto solución de la 
ecuación : 05X42X =−+ 
 
Solución: Utilizando la formula general 
 ( ) ( )( )1 2
 5- 1424 4
1X
−+−
= → 1X1 = 
 
( ) ( )
)1(2
 5- 14244
2X 
−−−
= → 5X2 −= 
 
NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA 
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 
 
Si 0cbxxa 2 =++ ; a ≠ 0 , entonces: 
 
a2
ac42b b
X
−±−
= 
La expresión ac42b −=∆ se designa como 
DISCRIMINANTE de una ecuación de segundo grado 
e indica el tipo de raíces que se obtendrán 
I) Si 0ac42b >−=∆ 
 ⇒ Las raíces x1 y x2 son reales y diferentes. 
II) Si 0ac42b =−=∆ 
 ⇒ Las raíces x1 y x2 son iguales. 
III) Si 0ac42b <−=∆ 
⇒ Las raíces x1 y x2 son complejas y conjugadas. 
 
 
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 
 
Dada la ecuación cuadrática: 0cbxxa 2 =++ ; a ≠ 0 
con raíces 2x1x ∧ entonces se cumple que : 
 
1. Suma de las raíces : 
a
b
2x1x −=+ 
2. Productos de las raíces : 
a
c
2x.1x = 
 
3. Diferencia de las raíces: 
2a
ac42b
2x.1x
−
=− 
Si x1 > x2 
 
4. Suma de las inversas de las raíces: 
c
b
x
1
x
1
21
−=+ 
 
 
 
 
 
209 
 
5. Si las raíces son simétricas: 0xx 21 =+ 
 
 
6. Si las raíces son recíprocas: 1x.x 21 = 
 
7. Si las ecuaciones: 
 
0m;0pnxmx
0a;0cbxax
2
2
≠=++
≠=++ , 
tienen las mismas raíces, entonces se cumple: 
 
p
c
n
b
m
a
== ; mnp ≠ 0 
 
 
FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO 
GRADO 
 
Si 2x1x ∧ son las raíces de una ecuación de 
segundo grado, entonces: 
0)2xx)(1xx( =−− 
02x.1xx)2x1x(
2x =++− 
 
 
 
Donde: S , es la suma de las raices 
 P , es el producto de las raíces 
Ejemplo 
1. Hallar la ecuación cuadrática si una de sus raíces 
es 32 + 
Solución: Cuando una de las raíces es irracional o 
compleja, la otra raíz es la conjugada 
32x1 += 4xxS 21 =+= 
 
32x2 −= 134x.xP 21 =−== 
 
Reemplazando en: 0PSxx2 =+− , se obtiene: 
 01x4x2 =+− 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Es un conjunto de ecuaciones de primer grado que 
deben verificarse para los mismos valores de las 
incógnitas. 
 
Métodos de Solución : 
 
1. Por Reducción 
Consiste en buscar que la variable a eliminar, 
tenga el mismo coeficiente en el sistema para lo 
cual se multiplica cada ecuación por el 
coeficiente que tenga la otra. Sumando o 
restando las ecuaciones. 
 
Ejemplo : 2x + y = 16 ............ (α) 
 3x – 2y = 10 ............ (β) 
Solución: 
Multiplicando la ecuación (α) por 2, tenemos : 
 4x + 2y = 32 
 3x – 2y = 10 
sumando 7x = 42 
 x = 6 
Reemplazando el valor de x en (α) ⇒ y = 4 
 
2. Por Sustitución 
 Se despeja el valor de una variable en cualquiera 
de las ecuaciones del sistema, reemplazándolo 
luego en la otra ecuación, quedando así en función 
de una sola variable. 
 Ejemplo : 4x – 2y = 4 ........... (α) 
 x – y = -1 ........... (β) 
 Solución: 
 
Despejando “x” en la ecuación (β) 
 ⇒ x = y – 1 ........... (Φ) 
 
 (Φ) en (α) : 4(y – 1) – 2y = 4 
 4y – 4 – 2y = 4 
 y = 4 
 
Reemp. el valor de y en (Φ) se obtiene: x = 3 
 
3. Por Igualación o Comparación 
 De las ecuaciones del sistema se despeja el valor 
de una misma variable las cuales se igualan, 
obteniéndose una ecuación con una incógnita. 
Ejemplo : 5x – 4y = 28 ............. (α) 
 2x + 3y = 48 ............. (β) 
 Solución: 
Despejando “x” en ambas ecuaciones : 
 de (α) x = 
5
28y4 +
 
 de (β) x = 
2
y348 −
 
 
Igualando : 
2
y348
5
28y4 −
=
+
 
 8y + 56 = 240 – 25 y ⇒ y = 8 ; x = 12 
 
4. Método de los determinantes (CRAMER) 
 Permite resolver un sistema de ecuaciones 
haciendo uso de los determinantes. 
Así se tiene que al resolver el sistema: 
pnymx
cbyax
=+
=+
 , se obtiene que: 
Determinante del sistema 
nm
ba
s =∆ 
b.mn.a
b.pn.c
nm
ba
np
bc
s
xx
−
−
==
∆
∆
= 
b.mn.a
c.mp.a
nm
ba
pm
ca
s
y
y
−
−
==
∆
∆
= 
Ejemplo: 
02 =+− PSxx
 
 
 
 
 
210 
 
Resolver: 
1zyx
z2y
y2zx
=++
=
=+
 
 Solución: 
Ordenando 
1zyx
0z2y
0zy2x
=++
=−
=+−
 
 
Calculamos el determinante del sistema: 
 6
111
210
121
s =−
−
=∆ 
 
Para calcular x∆ reemplazamos la primera 
columna por los términos independientes, esto es 
 3
111
210
120
x =−
−
=∆ 
Luego : 
6
3
s
xx =
∆
∆
= , 
2
1x =⇒ 
 
De la misma manera obtenemos los valores de las 
demás variables 
 
3
1
6
111
200
101
s
yy =
−
=
∆
∆
= ; 
 
6
1
6
111
010
021
s
zz =
−
=
∆
∆
= 
 
Las soluciones del sistema son: 
 
 x = 1/2; y = 1/3 ; z = 1/6 
 
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN 
SISTEMA DE ECUACIONES 
 
1. Si 0y0x0s ≠∆≠∆=∆ 
 El sistema será incompatible o absurdo, no tiene 
solución 
 
2. Si 0yxs =∆=∆=∆ 
 El sistema será compatible indeterminado, tiene 
un número infinito de soluciones 
 
3. Si 0y;0x;0s ≠∆≠∆≠∆ 
 El sistema será compatible determinado, tiene 
solución única. 
Ejemplo: 
Para que valor de “b” el sistema 
 
8y4x)b2(
7y5x)b21(
=++
=++
 
es incompatible 
Solución: 
Para que el sistema sea incompatible, el 
determinante del sistema debe ser igual a cero 
(∆S = 0) 
 
 0)b2(5)b21(4
4b2
5b21
s =+−+=
+
+
=∆ ⇒ 2b =
 
Además 0y0x ≠∆∧≠∆ 
 
Con b = 2 el sistema es incompatible, es decir, no 
tiene solución. 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
1. En las siguientes proposiciones, marcar verdadero 
(V) o falso (F) según corresponda 
 
I. Al resolver: 
2
1x
6
1x7
3
2x5 −
+
−
=
− , 
podemos afirmar que es indeterminada 
II. Si se resuelve: 7212xx =−− , 
se demuestra que la ecuación es incompatible o 
no tiene raíces 
 
III. La igualdad 
4x
1
)4x)(5x2(
3x
−
=
−−
− , 
se verifica solo para : x = 2 o x = 4 
 
IV. Al resolver: )5x(x5)5x(x3)5x(2x −=−−− , 
se obtiene un único valor para “x” e igual a 8 
 
 a) VVFF b) VVVV c) VFVF 
 d) VVFV d) VVVF 
 
solución: 
 
I. En la ecuación, 
2
1x
6
1x7
3
2x5 −
+
−
=
− 
eliminado denominadores 
MCM = 6 , entonces : 
 
)1x(31x7)2x5(2 −+−=− 
Efectuando 
3x31x74x10 −+−=− 
 x10x10 = 
 
La igualdad se cumple para cualquier valor 
asignado a “x” también se dice que la ecuación 
tiene infinitas soluciones. Por tanto la ecuación 
es indeterminada. (V) 
 
II. 7212xx =−− 
Transponiendo términos: 212x7x −=− 
 
Elevando al cuadrado ambos miembros: 
2
2 212x)7x( 





−=− 
Desarrollando 
212x49x14x2 −=+− 
 70x14 = 
 5x = 
 Comprobación: reemplazando el valor de “x” en 
la ecuación original 
 
 
 
 
 
 
211 
 
 721255 =−− 
 745 =− 
 73 ≠ 
Como no se cumple la igualdad entonces la 
ecuación es incompatible, no tiene solución. (V) 
III. 
4x
1
)4x)(5x2(
3x
−
=
−−
− 
Multiplicando en cruz : 
 )4x)(5x2()4x)(3x( −−=−− 
Desarrollando : 
20x13x212x7x 22 +−=+− 
 08x6x2 =−− 
Por aspa simple 
0)4x)(2x( =−− 
Igualando cada factor a cero se obtiene que la 
igualdad se verifica para: x = 2 y x = 4 (V) 
 
IV. )5x(x5)5x(x3)5x(2x −=−−− 
 Desarrollando: 
x252x5x152x32x53x −=+−− 
Transponiendo términos: 
0x402x133x =+− 
Factorizando “x” 
0)40x132x(x =+− 
0)5x)(8x(x =−− 
Igualando cada factor a cero se tiene que: 
 x = 0 ; x = 8 ; x = 5 
 
Obsérveseque tiene 3 raíces . Por tanto ( F ) 
 La alternativa correcta es d) VVVF 
 
2. Hallar el valor de “n” si las raíces de: 
01x42x)2n( =+−− , son iguales. 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
Solución: 
Para que la ecuación tenga raíces iguales, el 
discriminante de la ecuación debe ser igual a cero 
 0ac42b >−=∆ , 
 Entonces: 0)2n(42)4( =−−− 
 08n416 =+− 
 6n = 
 Respuesta d 
3. Si las raíces son reciprocas, hallar las raíces de la 
ecuación: n2nx4x42x)2n2( −=−++ 
a) 9 b) 10/3 c) 12/5 d) 13/4 d) 7/4 
 
Solución: 
Ordenando la ecuación: 
 02nx)n44(2x)2n2( =−+−++ 
 
 De la ecuación se tiene: 
 
2n2
)n44(xx 21 +
−−
=+ ……………( α) 
 
2n2
2nx.x 21 +
−
= --------( β) 
 
Para que las raíces de la ecuación sean reciprocas, su 
producto debe ser igual a uno. 
 
Es decir: 
 1
2n2
2n
=
+
− , entonces 2n22n +=− ; 
 4n −= 
Reemplazando el valor de n en ( α) tenemos 
6
20
2)4(2
))4(44(xx 21 −
−
=
+−
−−−
=+ 
 
3
10xx 21 =+ 
 Alternativa b) 
 
4. Hallar el valor de k para que el sistema: 
 
3ky3kx
mkyx
=−
=+
 sea incompatible 
 I) k = 0 II) k=-3 III) k = 3 
 a) I y II b) I y III c) II y III 
 d) I y II y III d) Solo II 
 
 Solución: 
 Para que el sistema sea incompatible el 
determinante del sistema debe ser igual a cero 
 Determinante del sistema: 0
k3k
k1
=
−
 
Entonces: 0kk3 2 =−− ; 0k3k2 =+ 
luego: 0)3k(k =+ , entonces : k = -3 y 0k = 
 
Por tanto para k = -3 el sistema es 
incompatible 
 
5. Si una de las raíces de la siguiente ecuación: 
03x)1n5(x)1n2( 2 =−++− ; es – 3. 
Determinar el valor de “n” y el de la otra raíz. 
 
Solución: Si x1 = - 3 es una raíz debe verificarse 
la ecuación 
Luego reemplazando: 
 03)3)(1n5()3)(1n2( 2 =−−++−− 
 03)1n5(3)1n2(9 =−+−− 
resolviendo: 015n3 =− ⇒ n = 5 
 Reemplazando en la ecuación dada se tiene: 
 03x26x9 2 =−+ 
 
Por propiedad de raíces: 
 
9
26xx 21
−=+ como: x1 = - 3 , 
 entonces 
9
1x2 =