Cap 04

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171 
División Algebraica, Teorema 
del Resto y Cocientes Notables 
 
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
 
La operación de división tiene por objeto calcular 
dos polinomios denominados COCIENTE y 
RESIDUO, partiendo de dos polinomios conocidos: 
DIVIDENDO y DIVISOR. 
 
Donde se cumple que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
D(x) : Dividendo d(x) : Divisor 
Q(x) : Cociente R(x) : Resto o Residuo 
 
PROPIEDADES DE LOS GRADOS: 
1. En toda división el grado del cociente es igual al 
grado del Dividendo menos el grado del divisor: 
 
[ ] [ ] [ ]ooo )x(d)x(D)x(Q −= 
 
2. En toda división el grado del Dividendo es mayor 
o igual que el grado del divisor. 
3. En toda división el grado del divisor es mayor 
que el grado del residuo. 
4. El grado máximo que puede tomar el residuo 
será uno menos que el grado del divisor (a 
excepción de los polinomios homogéneos) 
 
[ ] [ ] 1)x(d)x(R ººmax −= 
 
5. En la división de dos polinomios homogéneos el 
cociente y el residuo también son polinomios 
homogéneos, pero el grado absoluto del 
dividendo es igual al grado absoluto del residuo. 
 
Casos en la división: 
1. División de monomios. 
 Ejemplos: 
 a ) yzx14
zyx3
zyx42 3
232
345
−=
−
 
 b) 2n1m2
nm
ba4
ba6
ba24 −−−=− 
 
 
2. División de un polinomio entre un monomio. 
Para dividir un polinomio entre un monomio se 
divide cada uno de los términos del polinomio 
separadamente entre el monomio divisor y se 
suman algebraicamente cada uno de estos 
términos. Es decir, aplicando la propiedad 
distributiva de la división se tiene: 
 
m
c
m
b
m
a
m
cba
++=
++ Propiedad distributiva 
Ejemplo 1: Dividir: 
353535 23
3434
+−=+−=
+− xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
3. División de dos polinomios. 
Para dividir polinomios se utilizan los siguientes 
métodos: 
 
1. Método clásico o general. 
2. Método de coeficientes separados 
3. Método de Horner. 
4. Método de los coeficientes indeterminados 
5. Método de Ruffini. 
 
Antes de efectuar una división de polinomio, 
debemos observar que el dividendo y divisor 
sean polinomios completos y ordenados en 
forma descendente, con respecto a la variable 
ordenatriz. Si faltase algún término, ya sea en 
el dividiendo o en el divisor, éste se completará 
con “0”. 
Por su facilidad es su aplicación, sólo 
desarrollares los métodos de Horner y de 
Ruffini 
 
 
MÉTODO DE HORNER 
 
Es un método de coeficientes separados que 
permite encontrar el cociente y el residuo de la 
división de dos polinomios, de cualquier grado, para 
esto el dividendo y divisor deben estar completos y 
ordenados, generalmente, en forma descendente 
respecto a una variable (ordenatriz). 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
D I V I D E N D O 
C O C I E N T E RESIDUO 
d 
i 
v 
i 
s 
o 
r Ca
m
bi
ar
 d
e 
si
gn
o NOTA: 
La división de 
monomios es 
siempre exacta 
 
 
División Inexacta 
División Exacta : 
 
 
 
 
 
172 
 
 
Procedimiento a seguir: 
a) Se completan y ordenan los polinomios 
dividendo y divisor con respecto a una sola 
letra o variable. En caso exista dos o más 
variables se asume a una de ellas como tal y las 
demás hacen el papel de constantes. 
b) Se distribuyen en forma horizontal los 
coeficientes del dividendo y en forma vertical 
los coeficientes del divisor, todos cambiados 
de signo a excepción del primero 
c) Se divide el primer coeficiente del dividendo 
entre el primero del divisor, obteniéndose el 
primer coeficiente del cociente. Luego éste se 
multiplica por cada uno de los coeficientes del 
divisor que han cambiado de signo y el 
resultado se coloca en la segunda fila 
corriéndose un lugar hacia la derecha 
d) Se reduce la segunda columna y se repite el 
paso anterior tantas veces hasta que la ultima 
operación efectuada caiga debajo del ultimo 
coeficiente del dividendo. Llegado este 
momento se reducen las columnas que faltan 
separando respectivamente los coeficientes 
del resto y del cociente 
e) El número de columnas que se separan para el 
resto lo determina el grado del divisor, 
contándose de derecha a izquierda 
 
Ejemplo: Efectúe la división e indique el cociente y 
el residuo de: 
 
23
3211115
2
2345
+−
+−+−
xx
xxxx 
 
Fíjese que falta el término en “x” en el dividendo. 
Trazando el esquema y completando con “0” aquel 
término, ubiquemos los coeficientes del dividendo y 
divisor y Efectuando las operaciones 
correspondientes se tiene: 
 
142325
426
639
4262
1051
3012111153
−−−
−
−
−−−
−
−−
 
Luego: 
El cociente es: ( ) 2325 23 ++−= xxxxq 
El Residuo es: ( ) 14 −−= xxR 
Completo será: ( )
23
142325 2
23
+−
−−+++−=
xx
xxxxxP 
 
 
MÉTODO DE RUFFINI: 
 
Se considera como un caso particular del método 
de Horner y se utiliza cuando el divisor es de 
primer grado siendo de la forma (ax ± b), (a ≠ 0) o 
cualquier otra expresión transformable a ésta. 
 
Procedimiento a seguir: 
a) Los coeficientes del Dividendo (completo y 
ordenado) se colocan en forma horizontal con 
sus propios signos. 
b) El divisor se iguala a cero, despejándose la 
variable, cuyo valor se coloca en el ángulo 
inferior izquierdo, según se muestra en el 
diagrama siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
c) El primer coeficiente del cociente resulta ser 
el primer coeficiente del dividendo. 
d) Este valor se multiplica por el valor despejado 
de la variable y el resultado se coloca debajo 
del coeficiente que sigue del dividendo, se 
suman ambos valores, obteniéndose el segundo 
término del cociente. 
e) Se procede como en el caso (d), hasta llegar al 
último término del dividendo, al reducir se 
obtiene el residuo de la división. 
 
 
Caso 1. Divisor de la forma x ± a 
 
Ejemplo: Dividir 
2x
3x2x3x2x 234
−
−+−+ 
Usamos el esquema de Ruffini 
 
 
2112541
2410822
32321 −−
 
 
donde: 
EL Cociente es: Q(x) = 12x5x4x 23 +++ 
El Residuo es: R(x) = 21 
 
Caso 2. Divisor de la forma bax ± 
 
Ejemplo 1: Dividir 
D I V I D E N D O 
C O C I E N T E R E S T O 
x = ± 
 
 
 
 
 
173 
 
 
3x2
5x7xx4x4 234
−
−+−− 
Usamos el esquema de Ruffini 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso los coeficientes obtenidos en la 
posición del cociente deben ser divididos entre el 
coeficiente que acompaña a “x” en el divisor, es 
decir entre 2. Luego: 
El Cociente es: Q(x) = 5xxx2 23 +++ 
El Residuo es: R(x) = 10 
 
Caso 3. Divisor de la forma baxn ± 
Se debe cumplir que los exponentes de las 
variables del Dividendo sean múltiplos del 
exponente de la variable del divisor. 
 
Ejemplo: 1 Dividir 
2x
2x2xx2
2
246
−
−−− 
Haciendo : yx2 = se obtiene: 
2y
2y2yy2 23
−
−−−
 
Usamos el esquema de Ruffini 
 
 
 
 
 
 
 
donde: Q(y) = 4y3y2 2 ++ y R(y) = 6 
como 2xy = , se obtiene : 
Cociente: Q(x) = 2 4x3x 24 ++ 
Residuo R(x) = 6 
 
TEOREMA DEL RESTO 
 
Se aplica cuando el divisor es de la forma 
)bax( ± o cualquier otra expresión transformable 
a ésta. Este teorema se usa para calcular sólo el 
resto de una división, pero sin necesidad de 
efectuar dicha operación. 
 
 
 
 
Teorema: el resto (R) de dividir un polinomio ( )xP 
entre un divisor binómico de la forma ( )bax + , o 
cualquier otra expresión trasformable a ésta, se 
obtiene el valor numérico de: 
 




 −=
a
bPR 
 
Procedimiento a seguir: 
a) Se iguala el divisor a “0”. Si el divisor es de 
primer grado, se despeja “x”. si el divisor es de 
grado mayor que 1, se despeja una expresión 
adecuada (por lo general, la mayor potencia de 
“x”). 
b) Se acomoda el dividendo, formando en él la 
expresión despejada anteriormente. Si el divisor 
es de primer grado, no es necesario realizar esto. 
c) Se reemplaza el valor de “x” (si el divisor es de 
primer grado) o el valor de aquella expresión (si el 
divisor es de grado mayor que 1), en aquel 
dividendo. Luego de efectuar las operaciones 
correspondientes, el resultado que se obtiene es 
el resto 
 
Ejemplo 1 : Calcular el resto de dividir: 
 
2x
3x2xx2 45
−
−+− 
 
Se iguala a cero el divisor: x - 2 = 0 ⇒x = 2, 
Este valor se reemplaza en el dividendo y cuyo 
valor numérico será el residuo: 
 
Sea P(x) = 3x2xx2 45 −+− el Dividendo 
Entonces el residuo será: 
3)2(2)2()2(2)2(PR 45 −+−== 
 
∴ R = 49 
 
Ejemplo 2: Hallar el resto en 
 
8x7x5
8)7x7x5()5x7x5(
24
324224
++
++++++ 
 
haciendo un cambio de variables: yx7x5 24 =+ , 
se obtiene: 
8y
8)7y()5y( 32
+
++++ 
 
87y5yyP 32 ++++= )()()( 
 4 -4 -1 7 - 5 
 
2
3 6 3 3 15 
 
2
4
 
2
2
 
2
2
 
2
10
 
10 
 2 -1 -2 -2 
 
2 4 6 8 
 2 3 4 6 
 
 
 
 
 
174 
 
Igualando a cero el divisor: y + 8 = 0 ⇒ y = -8 
Por lo tanto : R = P (-8) 
 
 8)78()58(R 32 ++−++−= R = 16 
 
RESTOS ESPECIALES: 
 
La aplicación del teorema del resto resulta mucho 
más sencilla cuando el divisor contiene sólo dos 
términos y es de cualquier grado. Para esto, en 
algunos casos, previamente se debe transformar el 
divisor original en otro de sólo dos términos. Esto 
se consigue multiplicando o dividiendo tanto al 
dividendo como al divisor; pero veamos qué sucede 
con el resto, cuando se hace este artificio. 
 
 Sabemos que: ( ) ( ) ( ) ( )xRxq.xdxD +≡ 
 
1º) Si al dividendo y al divisor se les multiplica por 
un mismo polinomio ( ) ( )( )0≠xMxM , entonces el 
resto también queda multiplicado por el mismo 
polinomio ( )xM . 
 
 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )xM.xRxq.xM.xdxM.xD +≡ 
 
Si, luego de esta operación, aplicamos el teorema, 
lo que se obtendrá como resto será la parte 
señalada (resto falso). Para hallar el resto 
verdadero, se divide aquel resto entre el polinomio 
( )xM . 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )x
xF
xxxxF M
R
RM.RR =⇒= 
 
Ejemplo: 
 
1. Halle el resto en la siguiente división: 
12
32
++
+
xx
x2x57 
 Solución 
 dividendo y el divisor por (x-1): 
 
( )( )
( )( )11
12
2
3257
−++
−+
xxx
xxx
 
Operando: 
 
1
|22
3
32335758
−
−+−
x
xxxx
 
Por el teorema del resto: 
• 101 33 =⇒=− xx 
• Acomodando el dividendo: 
( ) ( ) ( ) ( ) 2103113193193 2.2 xxxxxxD −+−=
 
• Reemplazando: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )22
210111919
112
.1112.12
−−=⇒−+−=
−+−=
xRxxR
xxR
 
Pero este resto es falso. Para hallar el resto 
verdadero. Lo dividimos entre la expresión por 
la cual multiplicamos al inicio (x-1) 
( ) ( ) 11
1
1 2
+−=⇒−−=
−
−−
= xRx
x
xR vv 
 
2º) Si al dividendo y al divisor se les divide entre 
un mismo polinomio ( )xM ( )( )0≠xM entonces el 
resto también queda dividido entre el polinomio 
( )xM . 
 
 ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )xM
xRxq.
xM
xd
xM
xD
+






= 
 
Si, luego de esta operación aplicamos el teorema, lo 
que se obtendrá como resto será la parte señalada 
(resto falso). Para hallar el resto verdadero, se 
multiplica aquel resto falso por el polinomio ( )xM 
 
 ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )xM.RxRxM
xRR xFxF =⇒= 
 
Ejemplo: 
 
1. Halle el resto de la división: ( ) ( )
( )( )21
721 11
++
++
xx
xx 
Solución 
 
No podemos cancelar ( )1+x a nuestro libre 
albedrío; lo que tenemos que hacer es dividir al 
dividendo y divisor entre ( )1+x , así: 
 
( ) ( )
( )( )
1
21
1
721 11
+
++
+
++
x
xx
x
xx
; Ahora si, simplificando 
resulta: 
 ( ) ( )
2
721 10
+
++
x
xx 
 
Usando el teorema del resto: 
• 202 −=→=+ xx 
• No hace falta acomodar el dividendo, 
reemplazando: 
( ) ( )[ ] 372212 10 =⇒+−+−= RR 
Pero este resto es falso. Para hallar el 
resto verdadero se multiplica aquel resto 
 
 
 
 
 
175 
 
falso por la expresión entre la cual 
dividimos al inicio, ( )1+x . Entonces, se 
tendrá que: 
 
 ( ) 3313 +=→+= xRxRV 
 
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA 
 
Se dice que un polinomio es divisible entre otro 
cuando al dividirlos resulta como cociente una 
expresión algebraica entera y residuo cero. 
 
Principios Fundamentales: 
1. Un polinomio D(x) es divisible por otro d(x), si 
existe un polinomio Q(x) tal que: 
 
)x(Q)x(d)x(D •= 
 
2. Si P(x) es divisible entre )ax( − , entonces: 
P(a) = 0 
3. Si un polinomio P(x) es divisible separadamente 
entre (x ± a), (x ± b) y (x ± c), entonces P(x) es 
divisible por el producto : (x ± a) (x ± b) (x ± c); 
siendo a ≠ b ≠ c. 
 
4. Si un polinomio es divisible entre el producto de 
varios binomios, será divisible separadamente 
por cada uno de ellos. 
 
5. Si al dividir un polinomio entre varias 
expresiones por separado, se obtiene el mismo 
resto, entonces se cumplirá que dicho polinomio 
dividido entre el producto de ellos dará el 
mismo resto. 
 
6. En toda división, si al dividendo y divisor se le 
multiplica por una misma cantidad el resto 
quedará multiplicado por dicha cantidad. Para 
determinar el resto verdadero se divide el 
resto obtenido entre la cantidad por la cual se 
multiplicó el dividendo y divisor. 
 
En general : D(x) = d(x) Q(x) + R(x) 
Multiplicando por “m” : 
 m.D(x) = m.d(x)Q(x) + mR(x) 
 
 
)x(R
m
)x(mR
m
ObtenidostoReVerdaderostoRe === 
 
 
7. En toda división, si al dividendo y divisor se le 
divide por una misma cantidad, el resto queda 
dividido por dicha cantidad. Para determinar el 
resto verdadero, se multiplica el resto obtenido 
por la cantidad por la cual se dividió dividendo y 
divisor. 
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) 
 
Dividiendo entre “m”: 
m
)x(R)x(Q
m
)x(d
m
)x(D
+⋅= 
 
Resto Verdadero = )x(R)m(
m
)x(R = 
 
 
Ejemplo 1 : Un polinomio entero en “x” de 
tercer grado se anula para )7x( = y para 
)3x( −= y al dividirlo entre )10x( = se 
obtiene como residuo 39. Si el coeficiente 
principal del polinomio es 3. Hallar el polinomio. 
 
Solución: 
Formando el polinomio de tercer grado según 
los datos tenemos: 
 
)ax3)(3x)(7x()x(P ++−= ........... (1) 
 
Además como el residuo de dividir 
10x
)x(P
−
 es 
39, entonces R = P(10) 
 
Luego al reemplazar en (1) se tiene: 
[ ] 39a)10(3)310)(710( =++− 
a = -29 
El polinomio es: 29)3)(3x7)(x(xP(x) −+−= 
 
 
 
COCIENTES NOTABLES 
 
Llamaremos cocientes notables (C.N) a los 
cocientes que se obtienen en forma directa, es 
decir, sin la necesidad de efectuar la división. 
 
Las divisiones indicadas que dan origen a los 
cocientes notables son de la forma: 
 
 
ax
ax nn
±
± ; � ∈ �				 ∧ 		� � 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
176 
 
ESTUDIO DE LOS CUATRO CASOS 
CASO I: 
1n23n2n1n
nn
a...axaxx
ax
ax −−−− ++++=
−
− 
 Por el teorema del resto: axax =⇒=− 0 
El Residuo es cero para cualquier valor de “n”. 
CASO II: 
1n23n2n1nnn a...axaxx
ax
ax −−−− −−+−=
+
− 
 Por el teorema de resto: axax −=⇒=+ 0 
El Residuo es cero siempre que “n” sea par. 
CASO III: 
1n23n2n1n
nn
a...axaxx
ax
ax −−−− +−+−=
+
+ 
El Residuo es cero siempre que “n” sea impar. 
CASO IV: 
112321 ≥++++=
−
+ −−−− n;a...axaxx
ax
ax nnnnnn
El Residuo es na2 
 
Se observa que estas divisiones no son exactas; Por 
lo tanto No se considera como cociente notable. 
 
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA 
OBTENER UN C.N. 
 
Si la expresión sr
qp
ax
ax
±
± es un C.N., se cumple 
que: n
s
q
r
p
== = Número de términos 
El cual debe ser contrastado con los signos de los 
cuatro casos anteriores. 
 
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL 
Esta fórmula nos permite encontrar un término 
cualquiera en el desarrollo de los cocientes 
notables, sin necesidad de conocer los demás. 
 
En la división: 
ax
ax nn
±
± 
un término de lugar k (término cualquiera) del 
cociente está dado por la fórmula: 
 
 =kT ( signo ) 
1kkn ax −− 
 
 
Regla para determinar el signo 
a) Si el divisor (denominador) es de la forma (x – 
a), todos los términos del C.N. son positivos. 
b) Si el divisor es de la forma (x + a), se debe 
tener en cuenta que: : 
i) Los términos de lugar impar del desarrollo 
del cociente notable son positivos. 
ii) Los términos de lugar par del desarrollo del 
cociente notable son negativos. 
 
Ejemplo 1: Hallar el 22T del desarrollo del C.N. 
35
93155
ax
ax
+
+ 
Solución: 
 Dando forma al C.N. tenemos: 
 35
313315
ax
)a()x(
+
+ , por dato del problema k = 22 
 
 12232231522 )a()x()(T
−−−= 
 
 
6345
22 axT −=FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL (Contado de 
Derecha a Izquierda) 
 
 knkk ax)signo(T
−−
←
= 1 
donde: 
←
kT : Término de lugar k contado a partir del 
término final. 
 
Observaciones: 
 
- Si el número de términos “ n ” de un C. N es 
par, existe dos términos centrales en su 
desarrollo, donde los lugares son : 
 
 
2
nK1 = 12
nK2 += 
 
- Si el número de términos “n” de un C. N es 
impar, existe un término central en su 
desarrollo, donde el lugar es : 
 
 
2
1nK += 
 
• Formula que nos permite encontrar el 
término central en un CN. 
 
 
 
 
 
177 
 
( ) 2
1
.)(
−
=
n
k axsignoT ;n es impar 
Ejemplo 1: Expresar el polinomio 
1x......xxx 2141618 −+−+− 
 como cociente notable. 
Solución: 
El polinomio dado se puede transformar en : 
 
1x.......)x()x()x( 2929292 −+−+− 
 
Luego, éste es un polinomio completo ordenado y 
de 10 términos, entonces proviene de un Cociente 
Notable de la forma: 
 
1x
1x
1x
1)x(
2
20
2
102
+
−
=
+
− 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
1. Calcular a + b si la división 
3x2x
baxx7x2
2
23
++
+++ es exacta 
a)2 8 b) 20 c)21 
d)-20 e)-23 
Solución 
Usando el método de Horner 
 1 2 7 a b 
 
-2 -4 − 6 
 
-3 − 6 -9 
 
 
 2 3 (a -12) (b-9) 
 
donde: a −12 = 0 ⇒ a = 12 
 b -9 = 0 ⇒ b = 9 
Luego: a + b = 21 
Rpta. Alternativa “c” 
2. Hallar el valor de “n” si al efectuar la división 
1x
1xx...xx 21nn
−
+++++ − se obtiene que la suma 
de coeficientes del cociente es 10 veces el 
resto. 
 a) 20 b) 21 c) 22 
 d) 23 e) 24 
Solución: 
Aplicando el método de Ruffini: 
 
1 1 1 ..... 1 1 1 
x = 1 1 2 ......... n-1 n 
1 2 3 ........... n n+1 
 
∑ ++++= n.......321)x(Qescoeficient 
Luego se tiene que: 
)1n(10n.....321 +=++++ 
)1n(10
2
)1n(n
+=
+ ⇒ 20n = 
Rpta. Alternativa “ a” 
 
3. Hallar el resto de la división 
( ) ( ) ( ) ( )
6x5x
101x6x3x2x
2 ++
−−+++ 
a) 10 b) -10 c)0 
d)6 e)-6 
Solución 
Igualando a cero el denominador: 
⇒=++ 06x5x2 6x5x2 −=+ 
Dando forma al dividendo: 
10)6x5x()6x5x( 22 −−+++ 
Luego : Resto = 10)66()66( −−−+− 
 Resto = -10 
Rpta. Alternativa “b” 
 
 
4. Hallar el grado respecto a ” x ” en el término 
tercero del cociente notable que resulta de la 
división: 
 24
n46n5
yx
yx
−
−+ 
a) 5 b)4 c)3 
d)6 e)8 
Solución: 
+Ζ∈==
+ k
2
n4
4
6n5 
n2
4
6n5
=
+ 
 2n = 
Reemplazando en el cociente: 
24
4244
24
816
yx
)y()x(
yx
yx
−
−
=
−
− 
Calculando el tercer término: 
44132344
)3( yx)y()x(T ==
−− 
Por lo tanto: el grado respecto a “x” en el 
término tercero es 4. 
 
Rpta. Alternativa “ b” 
 
5. Hallar el lugar que ocupa el termino de grado 
700 en el desarrollo de : 78
700800
yx
yx
−
− 
a) 100 b)98 c)97 
d)93 e)90 
Solución: 
78
10071008
yx
y()x(
−
)− 
1k7k1008
k )y()x(T
−−= 
Por condición del problema: 
 7007k7k8800 =−+− 
Entonces: k = 93 
Rpta. Alternativa “d”