Cap 03

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166 
Operaciones con Expresiones Algebraicas 
Multiplicación Algebraica 
Productos Notables 
 
Dentro del cálculo algebraico es frecuente la 
transformación de una expresión algebraica en otras 
equivalentes, cuando estas permiten algunas 
reducciones o simplificaciones, estas 
transformaciones reciben el nombre de operaciones 
algebraicas, Así tenemos: 
 
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS 
 
Es la operación que consiste en sumar o restar 
términos semejantes (Simplificación de términos 
semejantes) y se procede de la siguiente manera: 
 
1. Se suman algebraicamente los coeficientes 
2. Se escribe la misma parte literal 
 
Ejemplo: 
Hallar RQP −+ si: 
22
2
2
y9xy2x5R
7y3xy8Q
9xyx5P
+−=
++=
+−=
 
Concluimos que: 1669 2 +−=−+ yxyRQP 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS 
 
Es la operación que consiste en hallar una expresión 
denominada producto “P(x)”, a partir de otras dos 
expresiones llamadas multiplicando “M(x)” y 
multiplicador N(x)” ó simplemente factores; de modo 
que: 
 
 
)x(P)x(N)x(M =⋅ 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: 
Se Multiplican los signos, luego los coeficientes y por 
último las partes literales utilizando la teoría de 
exponentes. 
 
Ejemplo: El producto de los monomios 
 
 zyx
2
3A 43−= y 332 zyx6B −= es: 
475 zyx9AB = 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: 
Para multiplicar dos polinomios, tenemos dos 
métodos: 
a) Método Normal 
b) Método de los coeficientes separados; que se 
emplea por lo general para multiplicar polinomios de 
una sola variable ó polinomios homogéneos con dos 
variables. 
 
Ejemplo: 
1.- Después de efectuar el producto: 
)4x3x2()6x7x4( 223 −−−+ 
 
 Dar el menor coeficiente de dicho producto. 
 
 a) -37 b) -40 c) 2 d) 8 e) 24 
 
solución: 
En primer lugar se completan y se ordenan las 
expresiones (de preferencia en forma descendente), 
luego se multiplica cada término del multiplicador por 
cada uno del multiplicando, así: 
 
2418403728
2402816
1802112
120148
432
6074
2345
23
234
2345
2
23
++−−+
++−−
++−−
−++
−−
−++
xxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xx
xxx
 
 
2.- Al multiplicar los polinomios: 
2x5xx2)x(A 24 +−+= 
523)( 23 +−= xxxB 
 
se obtiene el polinomio producto con las siguientes 
características: 
1.- Su mayor coeficiente positivo es 16 
2.- La suma de los coeficientes es -8 
3.- El polinomio es completo 
4.- El término independiente es 5 
De las afirmaciones anteriores son verdaderas 
solamente: 
 
a) 2 y 4 b) 1 y 3 c) 3 y 4 
d) 1, 2 y 3 e) 2, 3 y 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
167 
 
 
Solución: 
Se multiplican los polinomios, usando el método de los 
coeficientes separados así tenemos:. 
 
10251167346
10255010
410204
615306
5023
25102
−−−
−
−−−
−
−
−
 
 
Luego 10x25xx16x7x3x4x6 234567 +−++−+− 
 
Rpta: Alternativa b 
 
Propiedades.- 
 
1. El grado del polinomio producto, es igual a la 
suma de los grados de los polinomios factores. 
 
2. El término independiente del polinomio producto 
es igual al producto de los términos 
independientes de los factores. 
 
Ejemplo 1. Se tienen los polinomios: 
5x3x2)x(P 42 −−= 
7x3x)x(Q 2 +−= 
3x2x5)x(R 3 +−= 
 
Luego tenemos que: 
 
Grado[P(x).Q(x).R(x)] = 4 + 2 + 3 = 9 
 
Término independiente del producto es: 
(T.I.) = (-5) (7) (3) = -105 
 
 
Ejemplo 2:. El grado del polinomio: 
 
)1x).....(1x)(1x)(1x()x(P 198996633 ++++= es: 
 a) 545 b) 330 c) 495 d) 726 e) 693 
solución: 
 
Grado de: 
 
693
)6......321(33
198.....996633)x(P
=
+++=
++++=
 
 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
 
Son casos especiales que se presentan dentro de la 
multiplicación algebraica, en los cuales se puede 
obtener el producto en forma directa, sin necesidad 
de efectuar la operación. 
 
Principales productos notables: 
 
1. CUADRADO DE UN BINOMIO (Se obtiene un 
Trinomio cuadrado perfecto) 
 
1.1) 222 bab2a)ba( ++=+ 
1.2) 222 bab2a)ba( +−=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. SUMA POR SU DIFERENCIA (Se obtiene 
Diferencia de cuadrados) 
 
2.1) 22 ba)ba()ba( −=−+ 
2.2) n2n2nnnn ba)ba()ba( −=−+ 
 
3. CUADRADO DE UN TRINOMIO 
3.1) cb2ca2ba2cba)cba( 2222 +++++=++ 
3.2) cb2ca2ba2cba)cba( 2222 −−+++=−+ 
3.3) 22 )acb()cba( −+=−− 
 
4. CUBO DE UN BINOMIO 
4.1) 32233 bba3ba3a)ba( +++=+ 
4.2) 32233 bba3ba3a)ba( −+−=− 
 
Formas de Cauchy 
4.3) )ba(ba3ba)ba( 333 +++=+ 
4.4) )ba(ba3ba)ba( 333 −−−=− 
 
 Casos Particulares: 
)b3a(a2)ba()ba( 2233 +=−++ 
)ba3(b2)ba()ba( 2233 +=−−+
6 6 2 2 2 2( ) ( ) 4 (3 )(3 )a b a b ab a b b a+ − − = + + 
Corolario: Identidades de Legendre 
 
 
 
Recuerda que: 
Todo trinomio de la forma 
 es cuadrado perfecto 
si y sólo si : 
 
 
 
 
 
168 
 
 
5. BINOMIO POR UN TRINOMIO (Se obtiene una 
suma o diferencia de cubos) 
5.1) 3322 ba)bbaa()ba( +=+−+ 
5.2) 3322 ba)bbaa()ba( −=++− 
 
6. CUBO DE UN TRINOMIO : 
6.1) Forma general: 
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 3 3 3 3 3 3 6a b c a b c a b a c b a b c c a c b abc+ + = + + + + + + + + +
6.2) Según Cauchy 3 3 3 3( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 6a b c a b c ab a b bc b c ac a c abc+ + = + + + + + + + + +
 
6.3) Formas usuales: 
)cb()ca()ba(3cba)cba( 3333 ++++++=++ 
abc6)cba(2)cba)(cba(3)cba( 3332223 +++−++++=++ 
abc3)bcacab()cba(3cba)cba( 3333 −+++++++=++ 
 
7. PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO 
COMÚN 
7.1) bax)ba(x)bx()ax( 2 +++=++ 
7.2) 
abcx)bcacab(x)cba(x)cx)(bx)(ax( 23 +++++++=+++ 
7.3) 
3 2(x -a)(x-b)(x -c)=x -(a+b+c )x +(ab+bc+ca )x -abc
 
8. IDENTIDADES DE LAGRANGE 
8.1) 222222 )bxay()byax()yx()ba( −++=++ 
8.2)Con tres incógnitas: 
22
22222222
)()(
)()())((
cybzcxaz
bxayczbyaxzyxcba
−+−+
−+++=++++
 
9. IDENTIDAD DE ARGAND 
 n4n2m2m4n2nmm2n2nmm2 yyxx)yyxx()yyxx( ++=+−++ 
 Formas particulares más usuales: 
 Si: m=1 , n=1 
 42242222 yyxx)yxyx()yxyx( ++=+−++ 
 Si: m=1, n=0 
 1xx)1xx()1xx( 2422 ++=+−++ 
 
10. EQUIVALENCIA DE GAUSS 
 
)bcacbacba()cba(bca3cba 222333 −−−++++=−++ 
 
11. IDENTIDADES CONDICIONALES : 
 
Si , se cumple que: 
)cbcaba(2cba 222 ++−=++ 
 bca3cba 333 =++ 
 )cba(2)cba( 4442222 ++=++ 
 4 4 4 2 2 2 2 2 2a + b + c =2 (a b + b c +c a ) 
 
4 4 4 2 2 2 2a + b + c = 1 /2 ( a + b + c ) 
 
 5 5 5a + b + c = -5 a b c (a b + b c + a c ) 
 2 2 2 3 3 3 5 5 5
2 3 5
  + + + + + +  =
  
  
a b c a b c a b c 
 
2 2 2 5 5 5 7 7 7
2 5 7
  + + + + + +   =
  
  
a b c a b c a b c 
 
12. EQUIVALENCIAS: 
 
Ø Si 
 
 entonces 
 
Ø Si 
 
 entonces 
 
Ø Si:
 
1
x+ =m
x
 
 entonces se cumple que: 
 
 
12 2x + =m -22x
 
 
 
13 3x + =m -3m3x
 
  214 2x + = m -2 24x  
 
�� �
1
��
� �� � � 3� ��� � � 2�� � 
 
Ø Si		�� � �� � ⋯ � �� � 0	 
⇒ � � � � ⋯ � �� 0 
 
 
Ø Si √��� � √��� � ⋯ � √��� � 0	 
⟹ � � � � ⋯ � � � 0 
 
 IDENTIDADES ESPECIALES: 
a + b + c = 0 
a = b = c 
 
a = b = c o a + b + c =0 
 
 
 
 
 
169 
 
 
 
v �� � �� � �� � �� � ��� �� � �
�
��� � ��� � �� � ��� � �� � ���� 
 
v �
� � �� � �� � �� � ��� �� � �
�
��� � ��� � �� � ��� � �� � ���� 
 
v ( )( )( ) ( )( )bcacabcbaabccbcaba ++++=++++ 
 
 
13. FORMAS POTENCIALES DE: 
n na + b 
 
= + −22 2a + b ( ) 2a b ab 
= + − +33 3a + b ( ) 3 ( )a b ab a b 
= + − + +4 2 24 4a + b ( ) 4 ( ) 2( )a b ab a b ab 
= + − + + +5 3 25 5a + b ( ) 5 ( ) 5( ) ( )a b ab a b ab a b 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
 
1. Hallar el valor numérico de: 
246 x9x6x)x(E +−= para 
33 6767x ++−= 
a) 28 b) 14 c) 12 
 d) 18 e) 16 
Solución 
Elevando al cubo ambos miembros de: 
33 6767x ++−= se tiene: 
xx 367673 +++−= , entonces 
7233 =− xx , luego elevando al cuadrado esta 
expresión: 
223 )72()x3x( =− , de donde se deduce que: 
28x9x6x 246 =+− 
Rpta: a) 28 
 
2. Si +ℜ∈=




+




 ba
a
b
b
a nn ,7254 el 
valor de 3
nn
nn
ba
b2aE += es:a) 2 b) 4 c) 3 d) 1 e) 8 
Solución Efectuando en el dato se obtiene: 
nnnn baba 725)2()( 22 =+ 
 Completando cuadrados se tiene:
2( 2 ) 729n n n na b a b+ = , de donde: 
( 2 ) 27n n n na b a b+ = 
 Luego: 33
2 27 3
n n
n n
a b
a b
+
= = 
Respuesta: c) 3 
3.-Considerando: 
 
3 3
2 2 3
100 10 1
10 1
ab
a b
= − +
+ = +
 
Obtener: 4 4( ) ( )a b a b+ − − 
 a) 1000 b) 88 c) 64 d) 168 e) 99 
Solución Se sabe que: 
4 4 2 2( ) ( ) 8 ( )a b a b ab a b+ − − = + , de donde se 
tiene que: 
 
Respuesta: b) 88 
4.-Conociendo que: 
 
2 2
8
6
5
ax by
ay bx
a b
+ =
− =
+ =
 
Calcule: 2 2x y+ 
a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25 
Solución De la identidad: 
2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) ( )a b x y ax by ay bx+ + = + + − , se 
tiene que: 
 
2 2
2 2 8 6
5
20
x y ++ =
=
 
Respuesta: c) 20 
4 4 3 3 3( ) ( ) 8( 10 1)( 100 10 1)
8(11)
88
a b a b+ − + = + − +
=
=
 
 
 
 
 
170 
 
 
 
5.-Si: 6 32 1a a= + 
 Evaluar: 2 2 2( 2 1)( 1)M a a a a= − + + + 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2 
 
Solución Simplificando la expresión M , resulta: 
2 2 2
3 2
( 1) ( 1)
( 1)
M a a a
a
= − + +
= −
 
 Del dato se obtiene: 
6 3
3 2
2 1 2
( 1) 2
trinomio
M
a a
a
− + =
− =
14243
14243
 
 Luego, 2M = 
 Respuesta: b) 2 
6.-Si: 
 2 2
( ) 420
( )( ) 888
ab a b
a b a b
+ =
+ + =
 
Obtener el valor de: 2( )a bN
a b
+
=
−
 
 a) 1 b) 25 c) 36 d) 49 e) 64 
 Solución 
 Efectuando en N se tiene: 
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
a b abN
a b ab
a b
ab
a b
ab
+ +
=
+ −
+ +
=
+ −
 
Del dato si dividimos la segunda parte entre la 
primera resulta: 
2 2 888 222
420 105
a b
ab
+
= = 
Luego 
222 2
105 36222 2
105
N
+
= =
−
 
Respuesta: c) 36 
7.- Si 3 3a b+ = y 3 2a b− = el valor de 
2 2 2 24 ( 3 )( 3 )E ab a b b a= + + es. 
a) 5 b) 10 c) 15 
d) 20 e) 25 
 
Solución: 
2 2 2 24 ( 3 )( 3 )E ab a b b a= + + 
 Observa la propiedad y reemplaza: 
 
6 6 2 2 2 2(a + b) - (a - b) = 4ab(3a + b )(a + 3b )
 
6 6 (a + b) - (a - b)E = 
6 6 33( 3) - ( 2)E = 
9 - 4=5E = 
Respuesta: a) 
8.- La simplificación de 
 
( ) ( ) ( )( )( )4 2 6 3 6 3a+1 a-1 a +a +1 a -a +1 a +a +1
E= 9a +1
es. 
 
a) a3 -1 b) a6 -1 c) a9 -1 
d) a9 + 1 e) a6 + 1 
 
Solución: 
 
( )( )( )( )2 4 2 6 3 6 3a -1 a +a +1 a -a +1 a +a +1
E= 9a +1
 
( )( )( )6 6 3 6 3a -1 a -a +1 a +a +1
E= 9a +1
 
( )( )6 12 6a -1 a +a +1
E= 9a +1
 
( )( )9 918 a +1 a -1
-9a +1
a -1 9E= a 19a +1
= =