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Regla de Tres y Porcentajes 
 
 REGLA DE TRES 
 
 
Método para resolver problemas donde intervienen 2 ó más magnitudes. 
 
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Es aquella en la cual se comparan 2 magnitudes directamente 
proporcionales, es decir el aumento o disminución en el valor de una magnitud implica el aumento o disminución 
en la otra respectivamente. 
 
Ejemplo: Si por cada 1000 focos fabricados una empresa paga de impuestos 60 U.M. ¿Cuánto pagará de 
impuestos por un lote de 36600 focos fabricados? 
 Focos fabricados Impuestos 
 1000 60 
 36600 x 
 
A mayor cantidad de focos fabricados la empresa pagará mas impuestos. Entonces las magnitudes son 
directamente proporcionales. 
En este caso se multiplica en aspa: 
 
X = 2196
1000
)36600(60
= U.M. 
 
 
REGLA DE TRES SIMPLE INDIRECTA O INVERSA: Es aquella en la cuál se comparan 2 magnitudes 
inversamente proporcionales, es decir el incremento o disminución en una de las magnitudes implica la 
disminución ó incremento en la otra respectivamente. 
 
Ejemplo: Una piscina tiene 7 conductos de desagüe de igual diámetro, abiertos 4 de ellos se vacía, 
 la piscina en 14 horas. ¿En qué tiempo se vaciará la piscina si se abren los 7 conductos? 
Conductores de desagüe tiempo 
 4 14 horas 
 7 x 
A más cantidad de conductos de desagüe abiertos, la piscina se vacía en menos tiempo. Entonces son 
magnitudes inversamente proporcionales. 
En este caso se multiplica en fila: 
 
X = 
7
)14(4
 = 8 horas 
 
REGLA DE TRES COMPUESTA: Es aquella en la que intervienen más de 2 magnitudes las cuáles pueden ser 
directa o inversamente proporcionales. 
Para resolver estos problemas veamos un método práctico. 
 
CAUSA — CIRCUNSTANCIA — EFECTO 
 
 
En este método se agrupan las magnitudes en 3 categorías: 
 
CAUSA: Es todo aquello que realiza un trabajo, o una acción determinada, con su respectiva eficacia o 
rendimiento (obreros, cuadrillas, rendimiento, eficiencia, etc.) 
 
 
 
 
 
 
 
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CIRCUNSTANCIA: Se refiere al tiempo, a la manera de desarrollar un trabajo (días, horas por día, 
semanas, raciones por día, etc). 
 
EFECTO: Es el trabajo realizado o lo producido con su respectiva dificultad (1 obra, longitud, altura, 
dificultad, dureza, etc). 
 
 CAUSA (OBREROS) CIRCUNSTANCIA (DIAS, HORAS) EFECTO (OBRA) 
 
 
 
 
 
 
Aquí la causa y la circunstancia son inversamente proporcionales, pero con respecto al efecto son 
directamente proporcionales. 
 
Pasos a seguir: 
a. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema. 
b. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los demás datos incluido la incógnita. 
c. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las demás, indicando en su parte 
inferior si es directamente proporcional por DP y si es inversamente proporcional por IP. 
d. Se despeja la incógnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones 
que se forman en cada magnitud. Si son IP se copia IGUAL y si son DP se copia DIFERENTE. 
Ejemplo: Cinco obreros trabajando 18 días de 8 horas diarias pueden asfaltar 600 m de una pista. ¿Cuántos 
días emplearan 7 obreros trabajando 10 horas diarias para asfaltar 2800 m de la misma pista? 
 
# Obreros # Días # h/d OBRA 
5 18 8 600 m 
7 X 10 2800 m 
{
Igual
P. I. {
Igual
P. I. 321
Diferente
P. D. 
 600
2800.
10
8.
7
5.18x = ⇒ x = 48 días. 
 
 
Ejemplo: Trabajando 16 horas diarias durante 15 días, 12 hornos consumen 80 toneladas de carbón. 
¿Cuántas toneladas serán necesarios para mantener trabajando 7 horas diarias menos durante 
84 días, 4 hornos más? 
 
 CAUSA (OBREROS) CIRCUNSTANCIA (DIAS, HORAS) EFECTO (OBRA) 
 
 12 hornos 15 días 16 h/d 80 t.m 
 16 hornos 84 días 9 h/d x 
 
 
12 (15) (16) x = 16 (84) (9) (80) 
 
 
x = 
)16()15(12
)80()9()84(16 = 336 ton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PORCENTAJES 
 
TANTO POR CUANTO: 
El “a” por “b” de una cantidad “N”, es otra cantidad “x” de la misma especie, tal que sea a la primera 
como a es b. 
)N(
b
ax
b
a
N
x
=⇒= 
 
Ejemplo: Hallar el 8 por 11 de 99 
 
X = 7299
11
8
=




 
 
TANTO POR CIENTO: 
Es el número de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que se puede dividir un todo. Se puede 
expresar mediante una fracción. 
Ejemplo: 
50 % = 
2
1
100
50
= , luego 50% representa la mitad de una cantidad. 
 
En lugar de usar la regla de tres para calcular % se puede aplicar una fórmula directa: 
A% de N = Nx
100
A 
Ejemplo: 25% de 900 = 225)900(
100
25
= 
Nota: Cuando tengamos varios porcentajes que afectan a una cantidad, es preferible efectuarlo como 
multiplicaciones sucesivas (forma directa), para evitar la regla de tres, ya que nos tomaría mas tiempo 
y trabajo. 
 
Ejemplo: El 25% del 50% del 20% del 40% de 2000 es: 
2000x
100
40x
100
20x
100
50x
100
25 = 20 
 
DESCUENTOS SUCESIVOS: 
Si queremos representar dos descuentos sucesivos del D1 % y D 2 % en un descuento único (D u ), diremos: 
 
D u = 100% - (100- D1 )%(100 - D 2 )% 
 
Para n descuentos sucesivos del D1 %, D 2 % ........ y D n % será: 
 
D u = 100% - (100 - D1 )% (100 - D 2 )% ............. (100 - D n )% 
 
Ejemplo: Hallar el descuento único que remplace a 3 descuentos sucesivos del 50%, 20% y 10% 
D u = 100% - (100- 50)% (100-20)% (100-10)% 
D u = 100% - (50)% (80)% (90)% 
D u = 100% - x100
80x
100
50 90% 
D u = 100% - 36% 
D u = 64% 
 
 
 
 
 
 
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AUMENTOS SUCESIVOS: 
Si queremos representar dos aumentos sucesivos del A1 % y A 2 % en un incremento único (A u ), diremos: 
 
A u = (100 + A1 )% (100 + A 2 )% - 100% 
 
Para “n” aumentos sucesivos del A1 % , A 2 % ........y A n % será: 
 
A u = (100 + A1 )% (100 + A 2 )% ............. (100 + A n )% - 100% 
 
 
Ejemplo: Hallar el incremento único que remplace a 3 incrementos sucesivos del 50%, 20% y 10% 
A u = (100 + 50)% (100 + 20)% (100 + 10)% - 100% 
A u = (150)% (120)% (110)% - 100% 
A u = x100
120x
100
150 110% - 100% 
A u = 198% - 100% 
A u = 98% 
 
COMPRAS Y VENTAS: 
 
Precio de lista (PL): es el precio que tiene un artículo antes de hacerse un descuento para después ser 
vendido (está en el cartel de lista de precios). 
 
Precio de venta (PV): es el precio en el que realmente se vende el artículo; es decir, luego de afectarle el 
incremento o descuento del caso. 
 
Precio de Costo o de compra (PC): es el precio que paga el vendedor (minorista) por la compra de un artículo 
al fabricante o mayorista. 
 
Ganancia (G): es la utilidad que se obtiene al vender un artículo. 
 
Pérdida (P): es cuando se ha realizado una venta por un precio menor al precio de compra. 
 
 
 
PV = PC + G PV = PC – P 
 
 
 
GB = GN + G PF = PV + D 
 
 Donde: GB: ganancia bruta GN: ganancia neta 
G: gastos PF: precio fijado 
PV: precio de venta D: descuento o rebaja 
 
Si quisiéramos determinar el precio de venta de un artículo, luego de afectarle aumentos o descuentos 
diremos: 
 
PV = PL (100 +A1 )%(100 +A 2 )%.................(100 +A n )% 
PV = PL (100 -D 1 )%(100 -D 2 )%......…..........(100 -D n )% 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: Una turbina “PELTON” para generar energía eléctrica tiene un precio de 30000 dólares. ¿Cuál 
es el precio de venta si se aplican dos descuentos sucesivos del 12% y 18%? 
 
PV = 30000 (100 -12)%(100 - 18)% 
 
PV = 30000 (88)%(82)% 
 
PV = 30000 











100
82
100
88 = 21648 dólares 
 
Nota: Tenga presente que la ganancia y la pérdida que se calcule, siempre será con respecto al precio de 
costo, y los descuentoscon respecto al precio de venta; aunque el problema no lo especifique. 
Si el problema indica lo contrario o da otras variantes, se aceptarán las condiciones de éste. 
 
 
VARIACIONES PORCENTUALES: 
 
Es la disminución o aumento porcentual. De una expresión cuando uno o más de sus elementos varía. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Si el lado de un cuadrado aumenta en un 20% ¿En qué tanto por ciento aumenta su área? 
Área del cuadrado = L2. 
Inicialmente: 
Si el lado es “L”, el área es L2 = 100% L2 
Con la variación: 
El lado será 100% L + 20 % L = 120% L 
El área será (120% L)2 = 2
2
%144
100
120 LL =




 
El área aumenta: 144% - 100% = 44% 
 
PORCENTAJE DE GANANCIA 
 
La ganancia puede ser expresada como un porcentaje del precio de costo o del precio de venta. 
 
 
100
1
Gc
1
Gv
1
=− Gv = % de ganancia respecto a la venta 
 Gc = % de ganancia respecto al costo 
 
Ejemplo: Una empresa vende árboles de navidad ganando el 40% del precio de costo. ¿Qué porcentaje del 
precio de venta gana? 
 
 Aplicando la fórmula: 
100
1
40
1
GV
1
=− 
 
 Gv = 28,57% 
 
La recaudación depende del precio y de la demanda (artículo, trabajo, etc) 
 
RECAUDACIÓN = PRECIO x DEMANDA 
 
Inicialmente se considera que los elementos que intervienen, se encuentran a un 100%. 
valor porcentual = aumento o disminución n x 100% 
 valor inicial 
 
 
 
 
 
 
40 
 
GPCPV +=
PVPV %100
1
100
1.100%100
=⇒
==
 
Ejemplo: El precio de una casa disminuye en un 30% y su demanda aumenta en un 50%. ¿En qué % aumenta 
la recaudación? 
Al principio: 
 Precio = 100% 
 Demanda = 100% 
 Recaudación = 100% 
 
Al variar el precio y la demanda 
 
Recaudación = 70% x 150% = 
100
150x
100
70
 
Recaudación = 105% 
 
∴ La recaudación aumentó en un 5%. 
 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 
 
1.) Si el 20% de A es el 30% de B. ¿Qué porcentaje de la suma es la diferencia?: 
a) 50% b) 10% c) 20% d) 30% e) 70% 
Solución. 
Como BABA
100
30
100
20%30%20 =⇒= de donde se tiene 
k
k
B
A
2
3
2
3
== 
 
Además, la suma: kkkBA 523 =+=+ y la diferencia: kkkBA =−=− 23 
 
Luego, el porcentaje buscado “x” está dado por: 
%20)100(
5
)100()%( ==
+
−
=⇒−=+
k
k
BA
BAxBABAx 
 
 Rpta ( c ) 
 
2.) ¿A cómo debo vender lo que me costó 630 soles para ganar el 37% del precio de Venta? 
 a) S/. 850 b) S/. 930 c) S/. 980 d) S/. 1000 e) S/. 1200 
 
Solución 
Se sabe que, “El precio de venta es igual al precio de costo más la ganancia”, por tanto: 
Además, el precio de costo (PC): 630=PC 
 Y la ganancia (G): PVG %37= 
Reemplazando en: GPCPV += 
 
1000
630
100
63
630%63
%37630%100
%37630
=
=
=
+=
+=⇒
PV
PV
PV
PVPV
PVPV
 
 Rpta ( d ) 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
3.) En un pedido de S/. 70000 un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos del 20%, 20% y 
10 y tres descuentos sucesivos del 40% 5% y 5%. Escogiendo el mejor, ¡Ahorra ! 
 a) S/. 2400 b) S/. 2415 c) S/. 2540 d) S/. 2370 e) S/. 2500 
 
Solución 
El comerciante para lograr ahorrar primero analiza cada descuento, veamos: 
Respecto a los tres primero descuentos del 20%, 20% y 10% de S/.70000, se pagaría: 
40320)70000(
100
90.
100
80.
100
80
= soles 
Respecto a los tres siguientes descuentos del 40%, 5% y 5% de S/. 70000, se pagaría: 
37905)70000(
100
95.
100
95.
100
60
= soles 
Notamos que si el comerciante pagaría 37905 en vez de pagar 40320, 
Entonces, ahorra: 40320 - 37905 = 2415 soles 
 Rpta ( b ) 
 
4.) Dadas las siguientes proposiciones, indique si es verdadero (V) o falso (F) 
 
I.- Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura disminuye en 30% entonces el área del 
triángulo varia en 9%. 
II.- Si el precio de un artículo aumenta en 25% y las ventas disminuyen en 20%, entonces la recaudación 
disminuye. 
III.- Si “a” aumenta en 28% y “b” disminuye en 50%, entonces 35 .5 ba varia en 84%. 
 a) VFV b) VVV c) VVF d) FFV e ) FFF 
 Solución. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rpta ( a ) 
 
En I: 
Área del triangulo = . 
Inicialmente: 
Si la base es “ ” y la altura es “ ”el área es 
 
Con la variación: 
La base será 100% b + 30 % b = 130% b 
La altura será 100% h - 30 % h = 70% h 
El área será: 
 
El área aumenta: 100% - 91% = 9%….( V ) 
 
 
En II: 
 
Sabemos que 
. 
Inicialmente: 
Si el precio es “p” y las ventas es “v” la 
recaudación es 
Con la variación: 
El precio será 100% p + 25 % p = 125% p 
Las ventas será 100% v - 20 % v = 80% v 
La recaudación será: 
 
La recaudación no varía …. ( F ) 
 
En III: 
Si “ ” aumenta en 28%, se tendría 
Si “ ” disminuye en 50%, se tendría 
 Entonces cambia a: 
Por lo tanto varía en: …( V ) 
 
 
 
 
 
 
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5.) Ricardo vende un televisor a Jorge con un descuento del 30% de lo que le costó. Jorge lo vende a Miguel 
perdiendo el 20% de lo que le costó y Miguel se lo remata a Aracelly, perdiendo en la operación el 10% de 
lo que le costó. ¿Qué porcentaje de lo que costó a Ricardo, es lo que pagó Aracelly? 
a) 46,9 % b) 49,6 % c) 50,4 % d) 40 % e) 46 % 
Solución 
 Al interpretar el enunciado del problema notamos que, el costo del televisor sufre tres descuentos 
sucesivos del 30% (en Jorge), 20% (en Miguel) y 10% (en Aracelly); obteniéndose: 
 
)%(4,50
)%(90
100
80
100
70
)%(90%.80%.70)%)(10%100%)(20%100%)(30%100(
televisordelCosto
televisordelCosto
televisordelCostotelevisordelCosto
=
=
=−−−
 
 Por lo tanto, Aracelly pagó el 50,4% de lo que pagó Ricardo por el televisor. 
 Rpta ( c ) 
 
6.) Para la elaboración de las 12 guías semanales de Razonamiento Matemático que se entregan a los 
estudiantes del CPU en el ciclo académico “2015”, se necesitan 10 docentes trabajando 4 horas diarias 
para terminarlas en 18 días. Pero si los problemas tuvieran el triple de dificultad que las anteriores. 
¿Cuántos docentes más doblemente eficientes se necesitaran para elaborar dichas guías trabajando 2 
horas diarias, sabiendo que son de triple dificultad que las anteriores; empleando tres días menos? 
 a) 20 b) 12 c) 25 d) 26 e) 31 
Solución 
 CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO 
 (EFICIENCIA - OBREROS) (DIAS - HORAS/DIAS) (OBRA - DIFICULTAD) 
 
 1 10 docentes. 18 días 4 h/d 12 guías 1 
 2 x docentes 15 días 2 h/d 12 guías 3 
 
 
2 x (15) (2) (12) (1) = 1 (10) (18) (4) (12) (3) 
 
docentesx 36
)1)(12)(2)(15(2
)3)(12)(4)(18)(10(1
==
 
Del cálculo se obtuvo 36 docentes doblemente eficientes, pero los primeros 10 docentes equivale a 5 docentes 
doblemente eficientes, por lo tanto se necesitarán de: 36 – 5 =31 docentes doblemente eficientes. 
 Rpta ( e ) 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. 15 obreros trabajando 8 horas diarias, durante 12 
días hicieron 60 metros de una obra. ¿Cuántos 
metros harán 10 obreros en 18 días, trabajando 6 
horas diarias? 
a) 75 b) 45 c) 40 d) 90 e) 80 
2. Fanny decide hacer un trabajo en 18 días, pero 
tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada 
día. ¿Cuántas horas diarias trabajó? 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
3. La construcción de un pequeño túnel es hecha por 
20 obreros, luego de completar la mitad, 16 de 
ellos disminuye se rendimiento en la cuarta parte, 
por lo que el túnel se termina 8 días después de lo 
previsto. ¿En que tiempo (dias) se pensaba hacer el 
túnel? [Ciclo 2014 - I] 
a) 96 b) 72 c) 64 d) 80 e) 100 
4. Un grupo de aserraderos cortan un tronco en 
trozos de un metro. Si cada tronco mide 5 m y el 
aserrado transversal de cada trozo demora 1 ¼ 
minutos. ¿En cuánto tiempo aserrarán 48 troncos?a) 2h b) 3h c) 4h d) 5h e) 6h 
5. Cinco carpinteros cortan 150 planchas de madera 
de forma cuadrada de 10cm de lado en 2h. ¿Cuánto 
demorarán en cortar 300 planchas cuadradas de 
0,2m de lado ocho operarios?, si se cortan 
planchas de aluminio en la que la rapidez de corte 
es el 40% de la rapidez de corte para la madera. 
[Ciclo 2014 - I] 
a) 1h b) 2h c) 7,5h d) 8,5h e) 12,5h 
Claves 
1 2 3 4 5 
B D C C E