BertJanssen-RelatividadGeneral-101

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M
T ( )p M
p
T ( )Mq
q
Figura 6.2: El espacio tangente: el conjunto de todos los vectores en el punto p forma el espacio tangente
Tp(M) en p. El conjunto de los espacios tangentes en todos los puntos de la variedad se llama el haz
tangente T (M).
tangentes en distintos puntos de la variedad son distintos, debido al hecho de que la variedad
no es globalmente plana. El conjunto de todos los espacios tangentes de todos los puntos p de la
variedad se llama el haz tangente T (MN).
Un ejemplo concreto es el de un barco que navega entre dos puntos de la Tierra, sin darse
cuenta que la Tierra es redonda. En cada momento el capitán sólo ve una región pequeña alre-
dedor del barco y está tentado a pensar que la Tierra es plana, ya que identifica la región que ve
con el plano tangente en el punto donde se encuentra. Según el barco va moviendo a lo largo de
su ruta, va “saltando de plano tangente en plano tangente” y no se da cuenta de la curvatura de
la Tierra mientras sólo hace medidas locales.
Una definición matemáticamente un poco más rigurosa del concepto de variedad serı́a decir
que en cada punto de la variedad existe una transformación φ que mapea una parte U ⊂ MN a
R
N (véase Figura 6.3). Las coordenadas (no necesariamente cartesianas) en RN inducen coorde-
nadas locales xµ en MN a través de la transformación inversa φ−1. Una parte U de MN con un
sistema de coordenadas inducidas se llama un mapa. De manera práctica se puede por lo tanto
pensar en un mapa como una parte del espacio equipado con un sistema de coordenadas.
En general no será posible cubrir una variedad entera con sólo un mapa. RN es un ejemplo
trivial de una variedad que se puede cubrir con un solo mapa (en este caso la transformación φ
es la unidad). Pero es imposible cubrir por ejemplo la esfera bidimensional S2 con un solo mapa.
Este es el famoso Problema de los Cartógrafos: no existe una proyección tal que la Tierra entera
aparece en un solo mapa plano. Por ejemplo, una proyección estereográfica desde el polo norte
proyecta todos los puntos de S2 en el plano R2, salvo el mismo polo norte. Este sı́ se puede incluir
si se hace la proyección estereográfica desde el polo sur, pero entonces no aparece este último.
Para cubrir la 2-esfera completa hace falta un mı́mino de dos mapas.
Si dos mapas Ua y Ub se solapan en una región, las transformaciones inversas φ
−1
a y φ
−1
b
inducen dos sistemas de coordenadas xµ y yα en los respectivos parches. En la región donde los
parches se solapan, las transformaciones φa y φb (y por lo tanto las coordenadas inducidas) tienen
que ser tales que exista en la región de solapamiento una transformaciónΨ = φa◦φ−1b y su inversa
que relacionen las coordenadas xµ y yα de cada mapa (véase figura 6.3). En otras palabras, en la
región de solapamiento tiene que existir un cambio de coordenadas que nos permita relacionar
expresiones escritas en un sistema de coordenadas con expresiones en el otro sistema. De esto
modo las distintas “versiones locales deRN” de la variedad están “pegadas” demanera continua.
Un conjunto de mapas que tiene esta propiedad y además cubre todo la variedad se llama un
atlas.
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