BertJanssen-RelatividadGeneral-102

Vista previa del material en texto

I
U
Ua
b
φ ( )
φ ( )
a Ua
b Ub
φa
R
RI
M
N
N
N
φ
b
Figura 6.3: Mapas y cambios de coordenadas en una variedad: un mapa es un parche U de una variedad
N -dimensionalMN equipada con una transformación φ : U → RN que induce un sistema de coordenadas
en el mapa (flechas sólidas). Si dos mapas se solapan, los sistemas de coordenadas inducidas son tales que
exista un cambio de coordenadas de un sistema al otro (las flechas interrumpidas).
Finalmente, es útil distinguir las distintas variedades por la signatura de la métrica: una va-
riedad se llama riemanniana si la métrica es definida positiva y lorentziana si tiene una métrica
con signatura (+ − − ... −). En el Capı́tulo 5 hemos visto que la coordenada que tiene el signo
opuesto a las demás es una dirección temporal, de modo que variedades lorentzianas son es-
paciotiempos, mientras que variedades riemannianas sólo tienen direcciones espaciales y serán
interpretadas como espacios (matemáticos).
Después de haber introducido el concepto de variedad en unamanera más bien intuitiva,6 va-
mos a estudiar las propiedades geométricas de estas variedades. En particular estaremos intere-
sados en aquellas propiedades que no son válidas sólo en un sistema particular de coordenadas,
sino en todas. Pero ya sabemos del Capı́tulo 4 que los objetos que tenemos que utilizar entonces
para describir estas propiedades son los que transforman bien bajo cambios de coordenadas, es
decir: los escalares, los tensores y los vectores.
6.4. Álgebra tensorial en variedades
En la sección 6.2 hemos introducido los cambios generales de coordenadas en RN y obtenido
una forma para la métrica, el producto escalar y incluso hemos introducido brevemente el opera-
dor diferencial y indicado las sutilezas que aparecen con este operador bajo cambios generales de
coordenadas. Sin embargo, mientras sólo estabamos haciendo cambios de coordenadas en RN , la
métrica gµν satisface unas ligaduras especı́ficas: existen unas funciones x
i(yµ) tal que la métrica
se reduce a la métrica euclı́dea en coordenadas cartesianas δij a través de la expresión (6.10).
En general en un variedad arbitrariaMN no existirá un cambio de coordenadas de esta forma.
Por ejemplo, es imposible encontrar un cambio de coordenadas tal que la métrica de la 2-esfera
S
2,
ds2 = R20
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
(6.20)
o del hiperboloide bidimensional H2,
ds2 = R20
(
dχ2 + sinh2 χdξ2
)
(6.21)
6Para una definición matemática más rigurosa referimos a R. Wald, General Relativity (1984) y M. Nakahara, Geome-
try, Topology and Physics (2003).
102
	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Álgebra tensorial en variedades