BertJanssen-RelatividadGeneral-104

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(m, n) está definido como un objeto que transforma bajo cambios generales de coordenadas co-
mo
T µ1...µmν1...νn =
∂xµ1
∂yα1
...
∂xµm
∂yαm
∂yβ1
∂xν1
...
∂yβn
∂xνn
T α1...αmβ1...βn (6.27)
Del mismo modo está claro que todas las operaciones algebráicas con vectores y tensores defini-
das en la sección 4.6 son fácilmente generalizables.
En la sección 6.2 hemos introducido la métrica a través del producto escalar de los vectores de
base. También se puede obtener la expresión para gαβ a través del cambio de coordenadas (6.22).
Si gµν es la expresión de la métrica en las coordenadas x
µ, el elemento de lı́nea en las coordenadas
yα viene dado por
ds2 = gµνdx
µdxν = gµν
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
dyαdyβ ≡ gαβdyαdyβ, (6.28)
donde en la segunda igualdad hemos utilizado las ecuaciones (6.23). Nótese que la relación entre
gαβ y gµν
gαβ =
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
gµν (6.29)
nos dice que la métrica es un tensor de rango (0, 2), como en el caso de las transformaciones
globales. Además es casi igual que la expresión (6.10), sólo que aquı́ en general no será posible
relacionar la métrica gαβ con la plana δij (ηµν ).
También aquı́ la métrica juega el mismo papel que la métrica plana: con ella y su inversa po-
demos contraer tensores, subir y bajar indices y convertir vectores covariantes en contravariantes
y vice versa:
Vµ = gµνV
ν , V ν = gµνVν . (6.30)
El producto escalar entre dos vectores por lo tanto está definida de la manera usual y es indepen-
diente del sistema de coordenadas utilizado
VµW
µ = gµνV
νWµ =
∂yα
∂xµ
∂yβ
∂xν
gαβ
∂xµ
∂yγ
V γ
∂xν
∂yδ
W δ = gαβV
αW β = VαW
α, (6.31)
donde en la penúltima igualdad hemos utilizado que por la regla de la cadena
∂yα
∂xµ
∂xµ
∂yγ
= δαγ . (6.32)
6.5. Integración y elementos de volumen invariantes
De RN sabemos que el elemento de volumen en coordenadas curvilı́neas no es simplemente
el producto de los dxµ, sino que va multiplicado con la raı́z cuadrada del determinante de la
métrica,
√
|g|. Por ejemplo, en R3 en coordenadas cartesianas, esféricas y cilı́ndricas tenemos que
dx dx dz = r2 sin θ dr dθ dϕ = ρ dρ dϕdz. (6.33)
En general, en una variedad arbitraria, la medida de una integral está definida de la misma ma-
nera,
∫
dnx
√
|g| f(x). (6.34)
La razón por qué es preciso definir el elemento de volumen con el factor
√
|g| es que el simple
producto dnx = dx1 dx2 . . . dxN no es invariante bajo cambios generales de coordenadas. Esto se
ve si nos damos cuenta de que podemos escribir dnx a través del tensor de Levi-Civita como
dnx =
1
N !
εµ1...µN dx
µ1 . . . dxµN , (6.35)
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	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Integración y elementos de volumen invariantes