Vectores e Geometria Analítica

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ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 1 
 
 
 
 
Vectores y Aplicaciones a la Geometría 
 
En este Capítulo se generalizará la noción de los vectores o flechas que han usado en la 
representación de las fuerzas en Física en la escuela. También de la Física son los ejemplos 
de velocidad y aceleración, que al igual que las fuerzas involucran dos aspectos: una 
intensidad (la cantidad de fuerza, velocidad o aceleración) y una dirección. El otro aspecto 
para tener en cuenta de estos conceptos físicos es el sentido. 
Toda entidad u objeto que involucre esos aspectos (intensidad, dirección y sentido) se llama 
vector. Cuando representamos un vector por una flecha, la longitud de ella representa su 
intensidad y la dirección de la flecha la dirección del vector, además al dibujar en la flecha 
el vértice de la misma indica el sentido en que actúa según esa dirección. 
Los números son objetos que su magnitud se puede indicar en una escala por eso que en 
este contexto nos referimos a ellos como escalares. 
Se verán vectores en el plano y en el espacio. Para ello necesitaremos sistemas de 
referencia que daremos oportunamente según que vectores tratemos (del plano o del 
espacio), que son los sistemas de coordenadas cartesianas. Trabajaremos en ambos casos 
con sistemas de coordenadas ortogonales. El sistema para el plano es el que ya se vio en el 
capitulo anterior. Para el espacio (de tres dimensiones) se considerará la intersección de tres 
planos perpendiculares, lo que originará tres rectas que llamaremos ejes coordenados. 
3. Entrando en vectores 
Para dos puntos P1 y P2 en el plano, con un 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, 
cuyas respectivas coordenadas son (x1, y1) y (x2, y2), 
se traza el segmento 
1 2PP que los une. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
P1 
P2 
 
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A ese segmento se lo orienta y da un sentido, poniendo 
una punta de flecha, por ejemplo en el punto P2. 
En este caso lo anotaremos 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y lo llamaremos 
vector de origen en P1 y extremo final en P2 . 
 
 
 
Sea A otro punto, que Ud. determinará para que O P1 P2 A sea un paralelogramo. 
 
 
 
 
 
Como son las longitudes de los segmentos 
1 2PP y OA ? Ha construido un 
paralelogramo: luego son iguales!!!!! 
Ahora transformemos OA en un vector de origen en O (lo de la flechita) 
Al vector se lo ha 
construido de igual longitud 
y sentido que𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
 
 
P2 P2 
 
 a mi me quedó 
así? A Ud.? 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
 
 
 
 y 
 
 
 
 O x 
 
 
P2 
P1 
A 
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Llamaremos módulo del vector 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y lo anotaremos: 
|𝑃1𝑃2|⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦)2 , es decir coincide con la distancia entre los puntos P1 
y P2 
 
 
2.3.1 EJERCICIO 
Dibuje al menos 5 flechas con igual sentido que 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ y que formen paralelogramos con uno 
de sus lados sea 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (como se hizo con 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ). 
 
 
2.3.2 EJERCICIO 
a) Dados los puntos P1 (1, 3) y P2 (3, -1) repita la construcción anterior. (es decir siga los 
pasos hasta la construcción de 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ). 
b) Halle el módulo de𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y compruebe que coincide con el de 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 
c) Dibuje varios vectores con origen distinto de O, que tengan igual sentido y módulo que 
𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 
COMENTARIO 
El conjunto de vectores que ha construido en c) se llaman ¨vectores libres¨ y son vectores 
que se llaman equivalentes entre sí. 
El concepto de equivalente en Matemática se utiliza muy frecuentemente. Su significado es 
casi igual al cotidiano. Cosas que no son iguales pero que pueden sustituirse entre sí de 
alguna manera. 
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4. Comencemos por los vectores del plano... 
 
Partimos de la representación de los vectores o flechas en el plano y haremos algunas 
formalizaciones. 
Un plano en el que se ha introducido un sistema de coordenadas se designa por ℝ2 y en el 
cual se definirán operaciones como se verá más adelante. Es decir 
ℝ2 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ } 
 
este conjunto es el subyacente (que sirve de base o sustento) para la definición de 
operaciones. 
 Otra manera de tratar los puntos de ℝ2 es 
 considerarlos como los extremos de las "flechitas" 
o vectores cuyo origen es el origen del sistema de 
coordenadas. Por comodidad o abuso del lenguaje 
nos referiremos al vector tanto como P el par (a, b), 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ o 𝑣 
 
 
Además se define para 𝑣 = (𝑎, 𝑏) �⃗� = (𝑐, 𝑑) la igualdad de vectores y se anota 
 𝑣 = �⃗� si y sólo si a = c y b = d 
Las operaciones sobre ℝ
2
 se definen como sigue: 
 
 la suma + como: 
 𝑣 = (𝑎, 𝑏) �⃗� = (𝑐, 𝑑) 
𝑣 + �⃗� = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) 
Observe que gráficamente el vector suma es la 
diagonal del paralelogramo de terminado por 
 
 b P = (a ,b ) 
 
 
 x 
 vector (𝑎, 𝑏) = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 O a c a + c 
x 
 
 
 
 
 
 
d 
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los vectores dados. 
 
Así resulta la suma de vectores una operación interna de ℝ
2 × ℝ2 → ℝ2, es decir dados 
dos vectores el resultado de sumarlos es un vector. 
 
Y se define el producto por un escalar: 𝑟 ∈ ℝ  y 𝑣 = (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2, 𝑟 • 𝑣 = (𝑟. 𝑎,  𝑟. 𝑏) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Puede comprobarse fácilmente que si 𝑣 = (𝑎, 𝑏) es un vector al que se lo multiplica, por 
ejemplo, por el escalar r = 2, se obtiene el vector 2 • 𝑣 = (2. 𝑎,  2. 𝑏), que es un vector que 
tiene la misma dirección que 𝑣 , el mismo sentido y su módulo es el doble del módulo de 
de 𝑣 . Si ahora multiplicamos al vector 𝑣 , por el escalar r = -1/2, el vector −1/2𝑣 resulta 
ser un vector tiene la misma dirección que 𝑣 , sentido opuesto al de 𝑣 y su módulo es la 
mitad del módulo de 𝑣 . 
 
Esta operación es externa de ℝ, va de ℝ × ℝ2 → ℝ2, a un número real y a un vector le 
asocia un vector. 
 
 
2.4.1. EJEMPLO: 
Si 𝑣 = (2,-3) y �⃗� = ( 7, 9) entonces 
 𝑣 + �⃗� = (2 + 7, -3 + 9) = (9, 6) 
 
Si r > 0, así es el dibujo. 
 
r v 
 
 
 
 
 
x 
 
 
𝑣 
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 3.𝑣 + 5.�⃗� = (3.2, 3.(-3) ) + (5.7 , 5.9) = (6, -9) + (35, 45) = ( 41, 36) 
Haga Ud. la representación gráfica. 
 
2.4.2. EJEMPLO: 
 Si 𝑣 = (2,-3) y 𝑜 = (0, 0) entonces 𝑣 +𝑜 = (2 +0 , -3 + 0) = (2, -3), qué opina de 𝑜 ? 
 
 Si 𝑣 = (2,-3) y �⃗� = ( -2, 3) entonces 𝑣 + �⃗� = (2 + (-2), -3 + 3) = (0, 0) 
 
Qué relación hay entre 𝑣 y �⃗� ? Cómo los puede indicar ??? 
 Si 𝑣 = (1, 7) qué ocurre si lo multiplico por 0, por 1 y por -1? 
 0.𝑣 = (0.1, 0.7) = (0, 0) 1. 𝑣 = (1.1, 1.7) = (1, 7) -1𝑣 = (-1.1, -1.7) = (-1, -7) 
Qué puede concluir? 
Será lo mismo para cualquier vector 𝑣 ? Pruebe lo que conjetura a partir de este ejemplo!!! 
 
2.4.3. EJEMPLO: 
Para 𝑣 = (2,-3) y �⃗� = ( -2, 3), hallar sus módulos: 
|𝑣 | = √22 + (−3)2 = √4 + 9 = √13 |�⃗� | = √(−2)2 + 32 = √4 + 9 = √13 
 
 
Qué puede concluir? 
Será lo mismo para cualquier vector 𝑣 ? Pruebe lo que conjetura a partir de este ejemplo!!! 
 
 
 
 
 
 Se anota 𝑣 - �⃗� = 𝑣 + ( - �⃗� ) (es restar vectores…) 
 
 
 
 
? 
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2.4.4 .EJERCICIO. 
a) Demuestre alguna de las siguientes propiedades enunciadas abajo: (A) asociativa, (C) 
conmutativa, (N) existencia del neutro y (O) existencia del opuesto que se verifican 
para la suma definida sobre ℝ
2
. Pero tenga en cuenta todas. Para demostrar la que 
eligió considere vectores generales y verifique que se cumplen. 
 
(A): (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) + �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + (�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ) 
(C): �⃗⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� 
(N): Existe �⃗⃗� = (𝟎, 𝟎) tal que para todo vector 𝑣,⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� 
(O): Para todo vector 𝑣 , existe -�⃗⃗� tal que −�⃗⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗⃗� ) = �⃗⃗� 
 
 
2.4.5.EJERCICIO. 
a) Demuestre alguna de las siguientes propiedades (P1), (P2), (P3) y (P4), que valen para 
el producto por un escalar definido anteriormente. Pero no deje de tener en cuenta a 
todas ellas 
 (P1): Para todo a y b números reales y todo vector 𝑣 a. (b. 𝑣 ) = (a. b). 𝑣 
 (P2): Para todo a número real y todo par de vectores 𝑣  𝑦 �⃗� , a. (𝑣  + �⃗� ) = a . 𝑣 + a. �⃗� 
 (P3): Para todo vector 𝑣 , 1. 𝑣 = 𝑣 
 (P4): Para todo a y b números reales y todo vector 𝑣 , (a+ b). 𝑣 = a. 𝑣 + b. 𝑣 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: 
1. Dos vectores destacados ..... 
 
Dado cualquier vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏) 
lo podemos expresar como 
 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) 
 
 (0,b) 
 
 
 (a,0) x 
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 Además se tiene que 
 
 
( ,0) .(1,0)
(0, ) .(01)
a a
b b


 
 
ff 
 
 
 
2.5.1 EJEMPLO 
 
 
Dado el vector 𝑣 = (2, 5) se puede escribir como 𝑣 = (2,5) = 2. î + 5. 𝑗 , y para el vector 
�⃗� = (4,7) = 4. î + 7. 𝑗 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las coordenadas de 𝑣 respecto de la base 
 canónica son 2 y 5 y las de �⃗� son 4 y 7. 
 
Halle Ud. los vectores opuestos a 𝑣 y a �⃗� y calcule la suma de los vectores 𝑣 y �⃗� y en 
todo 
 Caso sus coordenadas en la base canónica. 
 Qué puede decir !! Será en general lo que observa ? 
 
 
 
 O x 
Es inmediato que para 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗 
los números a y b que permiten escribir a 𝑣 son 
únicos y se los llama las coordenadas de 
𝒗 ⃗⃗ ⃗respecto de la base {𝑖  , 𝑗  }. 
Por lo que resulta que 𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎. (1,0) +
𝑏. (0,1) 
A estos dos vectores tan especiales que nos 
permiten escribir cualquier vector del plano 
como combinación de ellos, los "bautizamos" 
con 
 𝑖 = (1,0) 𝑗 = (0,1) 
Decimos que son la base canónica de ℝ
2
 
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2.5.2 EJERCICIO 
Dados los vectores 𝑣 = (-1, 0), �⃗� = (3, -5), �⃗⃗� = (0, 4), 𝑟 = (5, -2) 
a) Representarlos y escribirlos como combinación de la base canónica. 
b) Hallar los vectores 3. 𝑣 , -5. �⃗� . Representarlos y escribirlos como combinación de la 
base canónica. Observe la representación gráfica y saque conclusiones. 
c) Hallar los vectores 4. �⃗⃗� , -2. 𝑟 . Representarlos y escribirlos como combinación de la 
base canónica. Observe la representación gráfica y saque conclusiones. 
d) Hallar los vectores: 2. 𝑣 - 3. �⃗� y 4. �⃗⃗� + 3. 𝑟 . Representarlos y escribirlos como 
combinación de la base canónica. Cuáles son las coordenadas en {𝑖  , 𝑗  }? 
 
2.5.3 EJERCICIO 
Dados los vectores 𝑣 = -1 𝑖 − 3𝑗 , �⃗⃗� = (0, 4), 𝑟 = 5. (5, -2) 
a) Hallar el vector 𝑥 ⃗⃗⃗ si sabe que 3. 𝑥 + 2. 𝑣 = 4. �⃗⃗� - 𝑟 
 
b) Hallar el vector opuesto a 𝑣 + �⃗⃗� . 
c) Hallar 𝑥 tal que 2. 𝑥 + 5. 𝑟 ⃗⃗ = 15. �⃗⃗� 
d) Hallar ½ 𝑥 que verifique que 7. 𝑥 - 9. 𝑟 = 4. (𝑣 - �⃗⃗� ) 
 
2.5.4 EJERCICIO 
Hallar los módulos de los vectores del ejercicio anterior. 
 
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2. Sigamos con los vectores del espacio... 
 
Ahora se tratarán las "flechas" que se encuentran en el espacio. Para referirnos a ellas se 
hará un tratamiento similar al realizado anteriormente para los vectores del plano. 
 
 Un sistema de referencia... 
 
Para ubicar y determinar un punto del espacio usual respecto de otro punto se necesitan dar 
tres valores de referencia: como difiere en "el ancho", en "el largo" y en "el alto". Por ello 
es que ahora un sistema de referencia debe tener tres ejes coordenados, que se obtienen 
como la intersección dos a dos de tres planos, llamados planos coordenados. Se verá el 
caso en que estos planos al cortase forman ángulos rectos. Así se construye el sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonal. 
 
Estas intersecciones dividen al espacio en 8 regiones, cada una de las cuales llamada 
octante. 
 
 
En el caso del plano las coordenadas se llaman habitualmente x e y. En el espacio las 
coordenadas se llaman x, y y z. 
Los planos coordenados se denominan plano xy, plano xz y plano yz. Los ejes se obtienen 
como intersección de cada dos de ellos. Los tres se cortan en un punto, origen del sistema. 
 
 
 
La recta intersección del plano xy con el plano xz, se llama eje x, la recta intersección del 
plano xz con el plano yz, se llama eje y, y la recta intersección del plano yz con el plano xz, 
se llama eje z. 
 
 
 
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Practique… 
Trate de ubicar puntos en el espacio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 eje z 
 
 
 
 
 
 
 
 P*(x, y,0) 
 eje x 
Los ejes coordenados son similares a los del 
plano. Son rectas graduadas. 
Una forma de determinar las coordenadas de un 
punto P, se proyecta el punto sobre el plano xy. 
Asi se determina P*. 
Las proyecciones deP* sobre los ejes x e y 
(paralelamente al otro eje) dan los valores de x y 
de y asociados a P*. 
Para obtener el valor de z, se proyecta P sobre el 
eje z paralelamente al plano xy, lo que resulta 
paralelo al segmento OP*. 
 
Algunos se 
esconden 
atrás de los 
planos... 
 
O 
 z 
P(x,y,z) 
 
 
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 2.6.2 EJERCICIO 
 Dibujar en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal para el espacio, los puntos de 
coordenadas (1,1, 0) , ( 3, -1, 2) , (- 1, 0, 1) , (5, 5, 5) , (0, 0, 3) ,( 2, 0, 0), (0, -2, -3). 
 
 
Camino a los vectores... 
 
La motivación sigue siendo las "flechitas" de la Física, por ejemplo las fuerzas. 
Un espacio en el que se ha introducido un sistema de coordenadas se designa por ℝ
3
 y en el 
cual se definirán operaciones como se verá más adelante. Es decir 
ℝ3 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐): 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ } 
este es el conjunto subyacente (que sirve de base o sustento) para la definición de 
operaciones. 
Otra forma de tratar los puntos de ℝ
3
 es considerarlos como los extremos de las "flechitas" 
o vectores cuyo origen es el origen del sistema de coordenadas. 
También por comodidad o abuso del lenguaje nos referiremos al vector, como 
(a, b, c), 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ o 𝑣 
 
 
Además se define para 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) �⃗� = (𝑑, 𝑒, 𝑓) la igualdad y se anota 
 𝑣 = �⃗� si y sólo si a = d, 𝑏 = 𝑒 𝑦 𝑐 = 𝑓 
 
Como en el caso planario se pueden definir para ℝ
3
 las operaciones de suma y producto por 
el escalar como sigue: 
La suma + por : Si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y �⃗� = (𝑑, 𝑒, 𝑓) el vector suma está dado por: 
𝑣 + �⃗� = (𝑎 + 𝑑, 𝑏 + 𝑒, 𝑐 + 𝑓) 
 Así resulta una operación interna de : ℝ
3 × ℝ3 → ℝ3 , dados dos vectores por la definición 
sumados es un vector. 
 
El producto por un escalar como: 
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 𝑟 ∈ ℝ 𝑦 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑟 𝑣 = (𝑟𝑎, 𝑟𝑏, 𝑟𝑐). 
 
Esta operación es externa, a un número real y a un vector le asocia un vector. Va de ℝ×
ℝ
3 → ℝ3 y cumple las mismas propiedades enunciadas vara vectores de ℝ2 
 
 
 
2.6.3. EJEMPLO: 
Si 𝑣 = (2,-3, 3) y �⃗� = (7, 9,5) entonces 
 𝑣 + �⃗� = (2 + 7, -3 + 9, 3+5) = (9, 6, 8) 
 
3.𝑣 + 5.�⃗� = (3.2 , 3.(-3) , 3.3) + (5.7 , 5.9 , 5.5) = (6, -9, 9) + (35, 45 , 25) = ( 41, 36, 34) 
 
Haga Ud. la representación gráfica. 
 
2.6.4. EJEMPLO: 
 Si 𝑣 = (2,-3, 3) y 𝑜 = (0, 0, 0) entonces 𝑣 + 𝑜 = (2 +0 , -3 + 0, 3+0) = (2, -3, 3), 
qué opina de 𝑜 ? 
 
 Si 𝑣 = (2,-3, 3) y �⃗� = ( -2, 3, -3) entonces 𝑣 + �⃗� = (2 + (-2), -3 + 3, 3+(-3) ) = (0, 0, 0) 
 
Qué relación hay entre 𝑣 y �⃗� ? Cómo los puede indicar??? 
 Si 𝑣 = (1, 8, 7) qué ocurre si lo multiplico por 0, por 1 y por -1? 
 0. 𝑣 = (0.1, 0.8, 0.7) = 𝑜 ; 1. 𝑣 = 1. (1, 8, 7) = 𝑣 y 
 -1. 𝑣 = -1. (1, 8, 7) = (-1.1, -1.8, - 1.7) = - 𝑣 
 
También en ℝ
3
 generalice los resultados de estos ejemplos.... 
 
 
 Se anota 𝑣 - �⃗� = 𝑣 + ( - �⃗� ) (como la resta de vectores en ℝ3) 
 
 
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De manera natural se generalizan los conceptos de segmentos dirigidos determinados por 
puntos del espacio . Los puntos tienen en esta situación tres coordenadas. 
La magnitud de un segmento PQ , es la magnitud o módulo del segmento dirigido o 
vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
|𝑃𝑄| = |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 siendo 1 1 1 2 2 2( , , ) y Q( , , )P x y z x y z . 
Esto generaliza la noción de distancia entre dos puntos, para puntos de ℝ
3
 
Cuál es el módulo de 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ si 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)? 
 
 
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 Ahora son tres los vectores destacados ..... 
 
 
Dado cualquier vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 
se puede expresar como 
 
 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎, 0,0) + (0, 𝑏, 0) + (0,0, 𝑐) 
 
Y se tiene que 
 
 
 
 
( ,0,0) .(1,0,0)
(0, ,0) .(0,1,0)
(0,0, ) .(0,0,1)
a a
b b
c c



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego resulta 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. (1,0,0) +
𝑏. (0,1,0) + 𝑐. (0,0,1) 
A estos tres vectores especiales que nos permiten 
escribir cualquier vector del espacio como 
combinación de ellos, los "bautizamos" con 
 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) �⃗� = (0,0,1) 
Decimos que son la base canónica de ℝ
3
. 
 
 
(0,0,1) 
 
 (0,1,0) 
 (1,0,0) 
 
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2.6.8 EJEMPLO 
Dado el vector 𝑣 = (2, 5, 4) se puede escribir como 𝑣 = (2,5,4) = 2. î + 5. 𝑗 + 4. �⃗� , y para 
el vector �⃗� = (4,7,−3) = 4. î + 7. 𝑗 + (−3). �⃗� . 
 Las coordenadas de 𝑣 respecto de la base canónica 
 son 2 , 5 y 4, y las de u son 4 , 7 y - 3 
 
 Halle Ud. los vectores opuestos a 𝑣 y a �⃗� , y 
 calcule la suma de los vectores 𝑣 y �⃗� y en todo 
 caso sus coordenadas en la base canónica. 
 Qué puede decir!!!!! 
 Será en general lo que observa ? 
 
 
Llamamos base al conjunto {𝒊,⃗⃗ 𝒋,⃗⃗ �⃗⃗� }. 
 
2.6.9 EJERCICIO 
Dados los vectores 𝑣 = (-1, 0, 0), �⃗� = (6, 3, -5), �⃗⃗� = (0, 0, 4), 𝑟 = (5, -2, 2) 
a) Representarlos y escribirlos como combinación de la base canónica. Hallar sus módulos 
b) Hallar los vectores 3. 𝑣 , -5. �⃗� . Representarlos y escribirlos como combinación de la 
base canónica. Qué observa en el gráfico? 
c) Hallar los vectores 2. 𝑣 - 3. �⃗� , 4. �⃗⃗� + 3. 𝑟 . Representarlos y escribirlos como 
combinación de la base canónica. Cuáles son las coordenadas en {𝑖  , 𝑗  , �⃗� }? 
 
2.6.10 EJERCICIO 
a) Represente en ℝ3 el vector de coordenadas 5, 6 y -9 en la base canónica. 
b) Expresar como terna el vector 𝑣 = −1. î + 3. 𝑗 + 2. �⃗� y representar. 
c) Expresar como terna el vector �⃗� = −2. î + 3. 𝑗 y representar. 
d) Expresar como terna el vector �⃗⃗� = −.1î − 3. �⃗� y representar. 
e) Hallar y representar el vector r si se verifica que 3. 𝑟 - 2. î + 3. 𝑗 = −5. î + 3. 𝑗 + �⃗� 
 
f) Para cada uno de los vectores dados halle el módulo. 
 
 
Es inmediato que para 𝑣 =
(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗 + 𝑐. �⃗� los 
números a , b y c que permiten 
escribir a 𝑣 son únicos y se los 
llama las coordenadas de �⃗⃗� 
respecto de la base. 
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 17 
 
 Producto escalar de vectores. 
 
Vamos a estudiar un producto entre vectores, que dará un número real y permite hacer 
algunas mediciones entre distintos aspectos de los vectores que intervienen en ese producto 
Dados dos vectores 𝑣 y �⃗� no nulos, se considera un punto O 
y puntos P y Q de modos que 𝑣 y 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ son “equivalentes” y 
 �⃗� y 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son “equivalentes” . 
Aplicados ambos a un punto común O 
 
 
 
 
 
 
 
El ángulo  determinado por los vectores fijos 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
no depende de la elección del punto O, sólo depende de los vectores �⃗� y 𝑣 . 
Se denomina ángulo entre �⃗⃗� y �⃗⃗� . 
 
Este ángulo queda unívocamente determinado si se considera que debe cumplir que 
0    . 
 
 Observar que las consideraciones anteriores y la definición de ángulo entre vectores es 
independiente de que los vectores estén en el plano o el espacio. 
Se define un concepto vectorial que permite calcular el ángulo entre dos vectores usando 
las componentes de ellos.Q 
O 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 18 
Para cada par de vectores �⃗� y 𝑣 se asocia un número real llamado producto escalar o 
producto interior, indicado por �⃗� . 𝑣 que es determinado por 
 
 �⃗� . 𝑣 = . .cosu v  
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto si se considera O en el origen del sistema de coordenadas, 
los puntos Q y P de respectivas coordenadas (a, b, c) y (d, e, f) se tiene que 
 
|�⃗� | = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 y |𝑣 | = √𝑑2 + 𝑒2 + 𝑓2. 
Para el caso de vectores del plano se tiene que las coordenadas de los puntos Q y P son 
pares ordenados como (a, b) y (c, d) y resulta que 
 
 |�⃗� | = √𝑎2 + 𝑏2 y |𝑣 | = √𝑐2 + 𝑑2. 
 
 
Claramente el producto interno entre �⃗� y 𝑣 se anula si �⃗� = 0⃗ , 𝑣 = 0⃗ ó cos 0  . 
Por ello dos vectores se dicen perpendiculares u ortogonales si el producto interno es 0. 
 
 
 
 
 
 
|�⃗� | es el módulo de �⃗� , 
|𝑣 | es el modulo de 𝑣 
  es el ángulo entre �⃗� y 𝑣 
 los vectores son 
perpendiculares cuando 
el ángulo θ mide 90° 
Qué da si 
 �⃗� = 𝑣 ? 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 19 
 
 
2.7.1EJEMPLO (Teorema) 
La expresión del producto interno o escalar por medio de las componentes de los vectores 
Para �⃗� y 𝑣 del espacio dados por (a, b, c) y (d, e, f) 
 
 (1) �⃗� . 𝑣 = a.d + b.e + c.f 
 
para �⃗� y 𝑣 del plano dados por (a, b) y (c, d) 
 
 (2) �⃗� . 𝑣 = a.c + b.d 
 
Idea de la demostración: 
Es claro que si alguno de los vectores es nulo ambos miembros de (1) ó (2) son 0. 
 
Consideremos el caso que ambos vectores son no nulos. 
Sin pérdida de generalidad, 
se puede considerar que �⃗� y 𝑣 están fijos en un origen O, 
y considerar un triángulo como en la figura. 
 
Usando el teorema del coseno (es un resultado de trigonometría 
que generaliza el teorema de Pitágoras) y definición del 
producto interno resulta: 
|�⃗� − 𝑣|⃗⃗ ⃗2 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2. |𝑢⃗⃗ ⃗||𝑣 | cos𝜃 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2. �⃗� . 𝑣 
 
Si consideramos el caso de vectores del espacio, la fórmula de distancia y la definición de 
módulo de vectores, se tiene: 
|�⃗� − 𝑣 |2 = |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗|
2
= (𝑑 − 𝑎)2 + (𝑒 − 𝑏)2 + (𝑓 − 𝑐)2 = haga las cuentas!!! y conmute 
convenientemente !!! = 2 2 2a b c  + 2 2 2 2 . 2 . 2 .d e f a d be c f     
Además |�⃗� |2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 y |𝑣 |2 = 𝑑2 + 𝑒2 + 𝑓2 . Por lo que reemplazando 
 
 
 �⃗� − 𝑣 
 
 
 
 
 
 (0, 0, 0) 
ó (0, 0) 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 20 
 |�⃗� − 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + |𝑣 |2 − 2. (𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑒 + 𝑐. 𝑓) 
 
Igualando las expresiones de y (hágalo!!!) se tiene lo enunciado. 
 
Haga también el caso de vectores del plano.....(para practicar!!!) 
 
2.7.2 EJEMLO 
Hallar el producto escalar entre los vectores �⃗� = (2, 1, 4) y 𝑣 = (0, 3, 5) 
 
Por lo demostrado en el ejemplo anterior, �⃗� . 𝑣 = 2. 0 + 1. 3 + 4. 5 = 0 + 3 + 20 = 23 
 
Como el producto es no nulo los vectores no son ortogonales. 
El coseno del ángulo entre �⃗� y 𝑣 está dado por 
 
 
. 23
cos
4 1 16. 0 9 25.
u v
u v
  
   
 y haciendo cuentas 
 
 
 
23
cos
21. 34
  . Para hallar el ángulo  se calcula el arco coseno de 
23
21. 34
. 
 
Es así que  es aproximadamente igual a arco coseno de 0,86, luego  es 
aproximadamente 30,68. 
Haga Ud. la representación gráfica. 
 
2.7.3 EJERCICIO 
Cómo son los vectores de la base canónica del plano dos a dos? y del espacio dos a dos? 
Compruébelo como aplicación del producto escalar. 
 
 
 
Ya 
va!! 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 21 
2.7.4 EJERCICIO 
Para los vectores �⃗� y 𝑣 realizar la interpretación gráfica. Hallar el producto escalar entre 
los vectores �⃗� y 𝑣 y el ángulo entre ellos. 
a) �⃗� = (-2, 3) y 𝑣 = (3, 2) 
b) �⃗� = (0, 3, 1) y 𝑣 = (2 , -3, 1) 
c) �⃗� = (2, 4) y 𝑣 = (6, 8) 
d) �⃗� = (1, - 2) y 𝑣 = (0, 2) 
e) �⃗� = (-2, 3, 8) y 𝑣 = (3, 2, -1) 
f) �⃗� = (1, 2, 3) y 𝑣 = (- 3, - 6, - 9 
 
 
 
 
 Aplicaciones geométricas y propiedades 
 
2.7.6 EJERCICIO 
Sean P, Q, y R puntos con coordenadas (1, 3, 5), (2, 0, 4) y ( 2, 1, 0) respectivamente. 
Representarlos. Hallar los ángulos interiores del triángulo determinado por ellos. (Es 
posible que por la aproximación de los cálculos la suma no sea 180......) 
 
 
2.7.10 EJERCICIO 
Hallar el ángulo entre una arista y la diagonal de un cubo. 
(Idea: haga coincidir un vértice con el origen del sistema de coordenadas cartesiano 
ortogonal) 
 
2.7.11 EJERCICIO 
 a) Probar que: 
 si 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎. î + 𝑏. 𝑗 + 𝑐. �⃗� entonces 
𝑎 = 𝑣.⃗⃗⃗ 𝑖 𝑏 = 𝑣.⃗⃗⃗ 𝑗 y 𝑐 = 𝑣.⃗⃗⃗ �⃗� 
 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 22 
b) Calcular la expresión de los cosenos de los ángulos entre 𝑣 y los vectores de la base 
canónica. 
a) Hallar un vector unitario paralelo a 𝑣 y expresarlo usando b) y a). 
 
 
 
 
 
3. Producto vectorial (de vectores) 
 
Este producto está definido para pares de vectores del espacio y asocia otro vector del 
espacio. 
Para introducir este producto haremos una definición (que por sí sola tiene otras 
aplicaciones que se verán más adelante). Es la del cálculo de determinante 3x3. 
Dado un cuadro de valores de la forma: 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
 donde los elementos de cada fila por lo general son 
números. Lo que se hace es a este cuadro asociar un número de una manera especial. Ese 
valor se llama determinante (en este caso del cuadro dado). 
Vamos a obtener ese número por el método que se denomina desarrollo por la fila 1 (que 
puede probarse que daría igual resultado si se lo hiciera por cualquiera de las otras filas): 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
= 
2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
. . .
b c a c a b
a b c
b c a c a b
  
y para calcular los tres determinantes 2x2, se usa la siguiente regla: 
 
1 1
1 2 2 1
2 2
. .
m n
m n m n
m n
  se hace el producto de los elementos de la diagonal que va 
de la punta superior izquierda a la punta inferior derecha y se le resta el producto de los 
elementos que están en la otra diagonal. 
Por lo cual: 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 23 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
= 2 2 2 2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
. . .
b c a c a b
a b c
b c a c a b
  = 
 = 
1 2 3 3 2( . . )a b c b c - 1 2 3 3 2( . . )b a c a c + 1 2 3 3 2( . . )c a b a b 
 
 
 
2.8.1 EJEMPLO 
Calcular 
1 3 0
2 5 3 5 3 2
3 2 5 1. 3 0.
5 2 0 2 0 5
0 5 2
 
    = 1.(2.2-5.5) – 3.(-3.2 – 0.5)+ 0(-3.5 – 
0.2) 
y haciendo las cuentas indicadas se obtiene: 
1.(4-25) – 3.(-6-0) + 0.(-15 – 0) = 1.(-19) – 3.(-6) + 0. (-15) = -19 + 18 + 0 = -1 
 
2.8.2 EJERCICIO 
Calcular los siguientes determinantes: 
a) 
2 3
1 4

 b) 
0 1 3
1 4 6
0 2 5


 c)
3 1 7
2 4 2
0 3 5
 . 
 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 24 
 Dados dos vectores del espacio �⃗� y 𝑣 con componentes (a, b, c) y (d, e, f) 
respectivamente, se define su producto vectorial de �⃗� y de 𝑣 como el vector 
�⃗� x 𝑣 = ( b. f - e. c, d. c - a . f, a. e - d. b) 
PERO USE ESTO!!!!!: 
Una manera práctica de encontrar y recordar el producto vectorial de �⃗� y 𝑣con 
componentes (a, b, c) y (d, e, f) respectivamente es fabricar el siguiente cuadro y calcularlo 
como un determinante 3x3 por la primera fila: 
 �⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
| = |
𝑏 𝑐
𝑒 𝑓
| 𝑖 − |
𝑎 𝑐
𝑑 𝑓| 𝑗 + |
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
| �⃗� 
y cada 
x y
z t
 se calcula de la siguiente manera . .
x y
x t z y
z t
  , 
Úselo prácticamente con esta receta (será magistral???) 
 
 
2.8.3 EJEMPLO 
Hallar los productos vectoriales de los vectores de la base canónica tomados de a dos. 
Los vectores son 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) �⃗� = (0,0,1) 
 Hay varios productos a realizar: 
 𝑖 × 𝑗 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 0 0
0 1 0
| = 𝑖 . |
0 0
1 0
| − 𝑗 |
1 0
0 0
| + �⃗� |
1 0
0 1
| = 
 
 = 𝑖 . (0.0 − 1.0) − 𝑗 (1.0 − 0.0) + �⃗� (1.1 − 0.0) = �⃗� 
 𝑗 × 𝑖 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
0 1 0
1 0 0
| = 𝑖 . |
0 1
0 0
| − 𝑗 |
0 0
1 0
| +
�⃗� |
0 1
1 0
| = 
 = 𝑖 . (0.0 − 0.1) − 𝑗 (0.0 − 1.0) + �⃗� (0.0 − 1.1) = −�⃗� 
 
Este ejemplo ya ilustra 
que el producto vectorial 
NO es conmutativo. 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 25 
 𝑖 × �⃗� = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
1 0 0
0 0 1
|=𝑖 . |
0 0
0 1
| − 𝑗 |
1 0
0 1
| + �⃗� |
1 0
0 0
| = 
 = 𝑖 . (0.1 − 0.0) − 𝑗 (1.1 − 0.0) + �⃗� (1.0 − 0.0) = −𝑗 
 �⃗� × 𝑖 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
0 0 1
1 0 0
| = 𝑖 . |
0 1
0 0
| − 𝑗 |
0 1
1 0
| + �⃗� |
0 0
1 0
| = 
 = 𝑖 . (0.0 − 0.1) − 𝑗 (0.0 − 1.1) + �⃗� (0.0 − 1.0) = 𝑗 
 Resuelva los otros productos que faltan y compruebe que 
 𝑗 × �⃗� = 𝑖 y que �⃗� × 𝑗 = −𝑖 
 
2.8.4. EJERCICIO 
Hallar los productos vectoriales de para: 
a) �⃗� = (3, 4, 0) y 𝑣 = ( 2, -1, 3) 
b) �⃗� = (2, 4, -1) y 𝑣 = ( 1, 6, 0) 
c) Comprobar que �⃗⃗� x �⃗⃗� es perpendicular a �⃗⃗� y a �⃗⃗� . (se acuerda del producto 
escalar?) 
Como ejemplo haremos el inciso a). hallaremos el vector producto vectorial de �⃗� y 𝑣 , en 
ese orden: �⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
3 4 0
2 −1 3
| = |
4 0
−1 3
| 𝑖 − |
3 0
2 3
| 𝑗 + |
3 4
2 −1
| �⃗� = 12𝑖 - 9𝑗 - 11�⃗� = 
=(12, -9, -11). 
Ahora comprobaremos que el vector �⃗� × 𝑣 que hallamos, es perpendicular tanto a �⃗⃗⃗� como 
a 𝑣 . Para ello calcularemos el producto escalar entre �⃗� × 𝑣 y �⃗� y luego entre �⃗� × 𝑣 y 𝑣 : 
(�⃗� × 𝑣 ). �⃗� = (12, -9, -11). (3, 4, 0) = 12.3+(-9).4+(-11).0 = 36-36+0 = 0. Como el producto 
escalar es cero, ambos vectores son perpendiculares. De la misma forma se comprueba que 
 �⃗� × 𝑣 y 𝑣 también son perpendiculares. Este hecho es de fácil comprobación en general. 
 Por lo general ... 
 
2.8.5 EJERCICIO 
Demostrar que para cualquier par de vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� : 
¿???? 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 26 
a) �⃗⃗� x �⃗⃗� = - �⃗⃗� x �⃗⃗� 
b) u x �⃗⃗� . �⃗⃗� = 0 y �⃗⃗� x �⃗⃗� . �⃗⃗� = 0 (es decir perpendiculares.....) 
c) Si �⃗⃗� y �⃗⃗� son no nulos, �⃗⃗� x �⃗⃗� = �⃗⃗� si y sólo si �⃗⃗� y �⃗⃗� son paralelos. 
 
 
 Algunas interpretaciones geométricas 
 
2.8.6 EJEMPLO 
Si los vectores �⃗� y 𝑣 tienen componentes (a, b, c) y (d, e, f) respectivamente y  es el 
ángulo entre ellos, resulta que si se calcula el módulo al cuadrado de �⃗� x 𝑣 , vale que 
 
2 2 2 2 = ( . - . ) + ( . - . ) + ( . - . )u v b f e c d c a f a e d b 
Desarrollando los cuadrados, agrupando convenientemente y usando las definiciones de 
módulo y la expresión del producto escalar en las componentes (hágalo!!!) se llega a: 
2 2 2 2 = . - ( . )u v u v u v 
Si se reemplaza el producto escalar por su definición y 
sacando raíz cuadrada (de bases positivas) se obtiene: 
 = . . u v u v sen  
Es decir que esta última igualdad es el área de un 
paralelogramo determinado por los vectores �⃗� y v 
que forman un ángulo  . 
 
 
 
 
 
EJEMPLO Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores u = (3, 0, 4) y 
v = ( 1, 2, 0). 
Verifique que el u x v = (-8, 4, 6), por lo tanto el área del paralelogramo determinado por 
u y v es = 64 16 36 116u v    
 
 A 
 v 
 B u 
 O 
 .AB v sen 
 
 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 27 
Haga Ud. el dibujo de los vectores y del paralelogramo determinado por ellos. 
 
2.8.8 EJERCICIO 
Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores u = (3, 2, 2) y v = ( 0, 4, 5). 
 
2.8.9 EJERCICIO 
Cuál es el área del triángulo tal que dos de sus lados son los puntos de coordenadas 
 (0, 2, 3) y (1, -2, 3). Haga el dibujo y use el ejemplo.... 
2.8.10 EJERCICIO 
Demostrar que el volumen V de un paralelepípedo determinado 
por los vectores u , v y w es dado por 
 V = . . cos u v w  
Siendo  el ángulo entre los vectores u x v y w . 
 
(Idea: el volumen de un paralelepípedo está dado por el producto de la superficie de la base 
y la altura. Use el ejercicio anterior y que el producto vectorial entre dos vectores es 
perpendicular a c/u de los vectores del mismo) 
2.8.11 EJERCICIO 
Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por (1, 0, 3) , (2, 3, 3) y (3, 1, -2). 
Dibuje. 
 
 
 w 
 v 
 O 
u 
 
 
 
ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 
CAP. 5 
 28