BertJanssen-RelatividadGeneral-108

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p
qT ( ) T ( )M M
V( )q
V( )
p
p
q V ( )p q
γ
Figura 7.1: Comparando vectores en distintos puntos de la variedad: Los vectores |V (p)〉 en p y |V (q)〉 en
q viven en espacios tangentes diferentes, Tp(M) y Tq(M) respectivamente. Para poder compararlos, hay
que definir un vector |Vp(q)〉 en q, que es el vector |V (p)〉 transportado paralelamente hasta q a lo largo de
una curva γ.
generales de coordenadas. Efectivamente, aplicando la regla de la cadena y usando que V α trans-
forma como un vector, tenemos que
∂αV
β =
∂xµ
∂yα
∂µ
(∂yβ
∂xν
V ν
)
=
∂xµ
∂yα
∂yβ
∂xν
∂µV
ν +
∂xµ
∂yα
V ν
∂2yβ
∂xµ∂xν
. (7.2)
El primer término de la derecha sı́ tiene la forma adecuada para la transformación de un tensor
de rango (1, 1), pero tenemos un término extra, que rompe el carácter tensorial de esta regla de
transformación. Nótese que el término en cuestión es proporcional a la derivada de la matriz de
la transformación ∂µM
β
ν . La presencia de este término es debido al carácter local de la trans-
formación, ya que en el caso de una transformación global las entradas de la matriz Mβν son
constantes.
La razón por qué en variedades arbitrarias la derivada parcial de un vector (o un tensor) no
es un tensor, es debido al carácter local de las transformaciones. Más precisamente, si tomamos la
derivada de un campo vectorial, estamos comparando el valor del campo en un punto p con coor-
denadas xµ, con el valor del campo en un punto q, infinitesimalmente cerca de p, con coordenadas
xµ + δxµ. Pero debido al carácter local del cambio de coordenadas, la matriz Mαν = ∂y
α/∂xµ
tiene un valor distinto en p que en q. No es de extrañar por lo tanto que
ĺım
δxν→0
V µ(q) − V µ(p)
δxν
(7.3)
no transforma bien, ya que las reglas de transformación (6.25) son distintas en los dos puntos.
Efectivamente, notado que el término extra es proporcional a la derivada de la matriz de la trans-
formación.
Matemáticamente hablando el problema es peor. Ya hemos dicho en la sección 6.4 que los vec-
tores no viven en la variedad, sino en el espacio tangente. Si queremos comparar dos vectores en
los puntos p y q, estamos en realidad comparando dos objetos que viven en espacios vectoriales
distintos, Tp(M) y Tq(M) respectivamente (Véase Figura 7.1). Por lo tanto, matemáticamente la
expresión (7.3) no tiene sentido.
Claramente, lo que necesitamos es un vector V µp (q) que vive en Tq(M) y que tiene toda la
información sobre el vector V µ(p) en Tp(M). Dado que V µp (q) y V µ(q) viven en el mismo espacio
vectorial, no habrı́a ningún problema al comparar los dos vectores.
El vector V µp (q) serı́a el transportado paralelo de V
µ(p). La idea es que en una variedad arbitra-
ria, un campo vectorial puede cambiar de punto en punto por dos razones distintas: o bien por
las variaciones dinámicas del campo campo (igual que en RN ), o bien por los efectos de la varie-
dad. Un ejemplo fı́sico de lo primero serı́a un campo vectorial correspondiente a la dirección y
fuerza del viento en cada punto de la Tierra. Las variaciones de este campo vectorial entonces son
dinámicas, ya que son debidas a las distintas circunstancias meteorológicas en diferentes puntos.
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