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Esta conexión no es plana, sino induce una curvatura no-trivial en el plano (ejerc.): Rrϕr ϕ = −4R20 (R20 + r 2)2 , Rrϕϕ r = 4R20 r 2 (R20 + r 2)2 . (7.30) En la sección 8.3 veremos que esta conexión proviene de una proyección estereográfica de la S 2 a R2 y proyecta la noción de paralelismo en la esfera en el plano.1 Un campo vectorial con simetrı́a radial es por lo tanto invariante bajo transporte paralelo con la conexión (7.29), puesto que proviene de un campo vectorial constante en la esfera apuntando hacia el polo norte (véase Figura 7.5, derecha). Dejamos como ejercicio demostrar que el tensor Kρµν = Γ̃ ρ µν − Γρµν con componentes Krrr = K ϕ rϕ = K ϕ ϕr = −2r R20 + r 2 , Krϕϕ = 2r3 R20 + r 2 , (7.31) efectivamente relaciona las expresiones de los tensores de Riemannn de cada conexión según (7.27). 7.5. Tensores de curvatura Habiendo definido el concepto de curvatura a través del tensor de Riemann Rµνρ λ, resulta útil estudiar también sus simetrı́as y algunas tensores formados de contracciones de Rµνρ λ. Para algunas simetrı́as será conveniente trabajar con la variante completamente covariante del tensor de Riemann, Rµνρλ = gλσRµνρ σ. De la definición (7.23) está claro que el tensor de Riemann es antisimétrico en los primeros dos ı́ndices: Rµνρ λ = −Rνµρλ. (7.32) La identidad de Jacobi es una identidad básica en teorı́a de grupos, que determina el orden de las operaciones del álgebra. Aplicada en las derivadas covariantes toma la forma [[∇µ,∇ν ],∇ρ] + [[∇ν ,∇ρ],∇µ] + [[∇ρ,∇µ],∇ν ] = 0. (7.33) De la identidad de Jacobi se puede derivar dos importantes identidades del tensor de Riemann, las llamadas identidades de Bianchi. La primera identidad de Bianchi se obtiene actuando con la identidad de Jacobi sobre un escalar φ. Tomando en cuenta (7.25), no es difı́cil ver que el tensor de Riemann y el tensor de torsión satisfacen la siguiente identidad Rµνρ λ + Rνρµ λ + Rρµν λ −∇µT λνρ −∇νT λρµ −∇ρT λµν + T σµνT λρσ + T σνρT λµσ + T σρµT λνσ = 0. (7.34) La segunda identidad de Bianchi se obtiene actuando con la identidad de Jacobi sobre un vector contravariante V λ, ∇µRνρσλ + ∇νRρµσλ + ∇ρRµνσλ − T τµνRρτσλ − T τνρRµτσλ − T τρµRντσλ = 0. (7.35) Contrayendo el segundo ı́ndice del tensor de Riemann con el cuarto, se obtiene el tensor de Ricci: Rµν = Rµρν ρ = gρλRµρνλ. (7.36) Por lo tanto, en función de la conexión viene dado por Rµν = ∂µΓ λ λν − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλµνΓσσλ. (7.37) 1De hecho, en el siguiente capı́tulo veremos que las expresiones (7.30) del tensor de Riemann corresponden a una esfera bidimensional. El plano topológico equipada con la conexión (7.29) es geométricamente una esfera. 116 II Geometría Diferencial Conexión afín y curvatura Tensores de curvatura
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