BertJanssen-RelatividadGeneral-120

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Capı́tulo 8
Cálculo tensorial con la conexión de
Levi-Civita
No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los mios son
mucho mayores.
(A. Einstein, 1943, en una carta a una niña de 9 años)
En la capı́tulo anterior hemos insistido mucho en que las propiedades geométricas de una
variedad dependen mucho de la conexión que uno elija y que ésta es en principio arbitraria. Sin
embargo, en este capı́tulo veremos que en una variedad equipada con una métrica, existe una
conexión especial, llamada la conexión métrica o la de Levi-Civita, que simplifica muchas de las
ecuaciones geométricas. La conexión de Levi-Civita resultará también ser importante desde el
punto de vista fı́sico, puesto que es ésta la que se aparece de manera natural en la relatividad
general.
8.1. La conexión de Levi-Civita
Ya hemos mencionado en anteriormente que en una variedad equipada con una conexión
arbitraria Γρµν , la métrica gµν en general no tiene nada que ver con la conexión. Sin embargo
se puede demostrar que en cualquier variedad existe siempre una conexión única, la conexión de
Levi-Civita, que tiene una relación especial con lamétrica. En particular, resulta que la conexión de
Levi-Civita, y por lo tanto también los tensores de curvatura, están completamente determinadas
en términos de la métrica.
La conexión de Levi-Civita satisface dos condiciones:
1. La conexión es simétrica: Γρµν = Γ
ρ
νµ.
2. La derivada covariante de la métrica es cero:∇µgνρ = 0.
La primera condición implica que el tensor de torsión T ρµν es cero y por lo tanto el conmutador
de dos derivadas covariantes viene dado sólo por el tensor de Riemann:
[∇µ,∇ν ]V λ = RµνρλV ρ. (8.1)
La segunda condición se llama la compatibilidad con la métrica. Las conexiónes que son compatibles
con la métrica tienen varias propiedades que simplifican mucho las propiedades geométricas de
la variedad.
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	La conexión de Levi-Civita