BertJanssen-RelatividadGeneral-124

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Utilizando estas expresiones, no es muy difı́cil calcular los tensores de curvatura. Para el ten-
sor de Riemann tenemos que1
Rrϕr
ϕ =
−4R20
(R20 + r
2)2
, Rrϕϕ
r =
4R20 r
2
(R20 + r
2)2
, Rrϕrϕ =
−16R60 r2
(R20 + r
2)4
, (8.24)
mientras que el tensor y el escalar de Ricci son de la forma
Rrr =
−4R0
(R20 + r
2)2
, Rϕϕ =
−4R0 r2
(R20 + r
2)2
, R = −2R20. (8.25)
Nótese que también en estas coordenadas los tensores de curvatura satisfacen las identidades
(8.20) y (8.21). Lógico, puesto que (8.20) y (8.21) son expresiones covariantes: si son válidas en un
sistema de referencia, también lo son en todos los demás.
Por último, se podrı́an haber sacado las expresiones anteriores directamente a través de las
reglas de transformación de los tensores. Dada la relación (6.43) entre θ y r, tenemos que
∂θ
∂r
=
−2R0
R20 + r
2
, (8.26)
y por lo tanto los tensores de curvatura transforman como
Rrr =
∂θ
∂r
∂θ
∂r
Rθθ =
4R20
(R20 + r
2)2
(−1) = −4R
2
0
(R20 + r
2)2
,
Rϕϕ = − sin θ =
−4R0 r2
(R20 + r
2)2
,
Rrϕrϕ =
∂θ
∂r
∂θ
∂r
Rθϕθϕ =
4R20
(R20 + r
2)2
(−R20 sin2 θ) =
−16R60 r2
(R20 + r
2)4
. (8.27)
8.4. Operadores diferenciales en variedades arbitrarias
Ya que hemos construido la derivada covariante ∇µ como el operador que transforma como
un vector bajo cambios generales de coordenadas, tenemos que redefinir los operadores diferen-
ciales conocidos de R3, encontrados en el Capı́tulo 4, tal que también sean válidas en variedades
arbitrarias.
Dado que la derivada covariante actuando de un escalar coincide con la derivada parcial,
∇µφ = ∂µφ, la definición del gradiente de una función escalar no sufre cambios con respecto a la
definición en R3.
Sin embargo, para que la divergencia, el rotacional y el laplaciano transformen bien bajo cam-
bios generales de coordenadas, es preciso construir estos operadores diferenciales con derivadas
covariantes:
~∇ · ~A = ∇µAµ, (~∇× ~A)µ = εµνρ∇νAρ, ∇2φ = ∇µ∂µφ. (8.28)
Estas definiciones, aunque escritas de esta formas son válidas para conexiones arbitrarios,
simplifican bastante si la conexión es la de Levi-Civita. En este caso se puede escribir el rotacional
1Nótese que hemos encontrado estas expresiónes antes, en (7.29) y (7.30), cuando estudiabamos las distintas defini-
ciones de paralelismo en R2. Vemos por lo tanto lo que ya anunciábamos en la sección 7.4: que la conexión (7.29) no es
la conexión plana de R2, sino la conexión de Levi-Civita de la S2 en coordenadas (8.22). En la sección 7.4 la podiamos
asociar a la topologı́a del plano R2, porque no estabamos considerando las porpiedades geométricas. Como dijimos,
geométricamente hablando, la métrica (8.22) representa una esfera.
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Operadores diferenciales en variedades arbitrarias