BertJanssen-RelatividadGeneral-126

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El rotacional de un rotacional tiene por lo tanto un término extra con respecto al resultado en
R
3, proporcional al tensor de Ricci, a causa del intercambio de dos derivadas covariantes en la
tercera igualdad, para poder escribir el primer término como el gradiente de una divergencia.
A estas alturas es natural preguntarnos por qué la identidad (8.36) depende de la geometrı́a
del espacio considerado, pero (8.34) y (8.35) son independientes de la métrica. La respuesta es
relativamente sencilla si recordamos los teoremas de Stokes (1.25): la integral de un rotacional en
una superficie S se puede escribir como la integral de linea sobre la curva γ = ∂S que bordea la
superficie, de modo que para nuestro caso tenemos que
∫
S
(~∇× ~∇φ) · ~nd2x =
∮
∂S
~∇φ · d~r. (8.38)
Sin embargo esta última expresion es cero, por lo menos en espacios simplemente conexos (es-
pacios donde todos las curvas con contraı́bles a un punto): la integral de linea de un gradiente
de un campo es igual a la diferencia de los valores el campo en los extremos de la curva. Pero al
ser γ = ∂S una curva cerrada, la integral (8.38) vale cero. Dicho de otra manera: en un espacio
simplemente conexo, la curva γ = ∂S se puede contraer a un solo punto, por lo que la integral
no puede tener un valor finito.
Del mismo modo el teorema de Stokes convierte la integral de volumen V de una divergencia
en la integral en la superficie S = ∂V que rodea el volumen V . Si entonces la divergencia actúa
sobre un rotacional, tenemos que
∫
V
~∇ · (~∇× ~A) d3x =
∮
∂V
(~∇× ~A) · d2x, (8.39)
lo que a su vez por el teorema de Stokes serı́a la integral de ~A sobre la curva que bordea la
superficie S = ∂V . Sin embargo, al ser ∂V una superficie cerrada, no tiene una curva γ = ∂S =
∂∂V que la rodea y la integral (8.39) es trivial.
En otras palabras, la identidades (8.34) y (8.35) son propiedades topológicas de espacios sim-
plemente conexos y por lo tanto no dependen de la geometrı́a (métrica) del espacio. Sonmanifes-
taciones del conocido teorema topológico que “la frontera de una frontera es cero”. Sin embargo,
para construir el operador ~∇× ~∇× ~A es preciso contraer dos tensores de Levi-Civita a través de
la métrica, de modo que aquı́ sı́ aparecen la propiedades geométricos del espacio.
8.5. Las coordenadas localmente inerciales
En cada punto p de una variedad diferenciable hay un sistema local de coordenadas que
juega un papel fundamental para la relatividad general: las coordenadas localmente inerciales. Estas
coordenadas están caracterizadas por el hecho de que en el punto p la métrica toma la forma de
una métrica plana y las primeras derivadas se anulan,3
gij(p)
∗
= δij , ∂kgij(p)
∗
= 0, (8.40)
donde hemos introducido el sı́mbolo “
∗
=” para indicar que una igualdad sólo es válida en un
sistema de coordenadas especı́fico, no en general.
Para demostrar esta propiedad, basta con contar el número de componentes independientes
de la métrica y compararlo con el número de grados de libertad que tenemos para elegir las
coordenadas. Si gµν(x) es la métrica una variedad arbitraria en coordenadas x
µ, entonces en un
3Trataremos aquı́ el caso riemanniano, donde la métrica plana en coordenadas cartesianas toma la forma δµν . El caso
lorentziano, donde la métrica coge la forma ηµν es completamente análogo y no merece la pena hacer explicitamente.
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Las coordenadas localmente inerciales