BertJanssen-RelatividadGeneral-143

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sos periódicos con perido Te desde el fondo del ascensor hacia el techo. El observador exterior O
verá que en el tiempo ∆t entre la emisión en el fondo y la detección en el techo, el ascensor ha
adquerido una velocidad adicional ∆v = a∆t, de modo que hay una velocidad relativa entre la
fuente en el momento de emisión y el detector en el momento de detección, lo que da lugar a un
efecto Doppler: el detector verá llegar los pulsos con una frecuenciamás baja que la frecuencia de
emisión. Este mismo efecto lo verá también O′, pero él, creyendo que está en un campo gravita-
cional, dirá que el efecto Doppler es debido al hecho de que la luz pierde energı́a al salir el pozo
potencial. En 1960 y 1964 Robert Pound y Glen Rebka hicieron una verificación experimental en
un campo gravitatorio real, confirmando que efectivamente un efecto Doppler gravitacional existe,
tal como lo predice el Principio de Equivalencia. La luz que escapa de un campo gravitatorio
sufre un corremiento hacia el rojo, mientras la luz que entra en un pozo potencial gravitacional
un corremiento hacia el azul. Discutiremos esto en más detalle en la sección 11.4.
Se puede hacer fácilmente una estimación del efecto en primera aproximación. El emisor emi-
te la primera señal en el momento t = 0 y llega en el momento t = ∆t,5 de modo que la señal en
este tiempo ha viajado una distancia
∆t = h +
1
2
a(∆t)2, (9.12)
donde h es la altura del ascensor, es decir, la distancia entre el emisor y el detector en reposo. De
(9.12) podemos calcular una expresión para ∆t en función de h y a:
∆t =
1
a
(
1 −
√
1 − 2ah
)
≈ h, (9.13)
donde en la última igualdad hemos supuesto que ah ≪ 1 y desarrollado la raı́z cuadrada en un
desarrollo de Taylor, quedándonos sólo con el primer orden.6 Fı́sicamente esto corresponde al
hecho de que la aceleración es suficientemente pequeña para que el cambio de velocidad ∆v en
el intervalo de tiempo ∆t sea despreciable. En el momento t = Te el emisor emite la segunda
señal, que llega al detector en el momento ∆t+Td. (En otras palabras, Te es la periodo de la señal
en el momento de emisión y Td el periodo en el momento de detección.) La distancia recorrida
por la segunda señal es por lo tanto
∆t + Td − Te = h +
1
2
a(∆t + Td)
2 − 1
2
aT 2e
≈ h + 1
2
a(∆t)2 + aTd∆t, (9.14)
donde en la última igualdad hemos supuesto que Td y Te son pequeñas en comparación con ∆t.
Podemos obtener fácilmente la relación entre Te y Td restando (9.12) de (9.14),
Td − Te ≈ aTd∆t, (9.15)
o sustituyendo la expresión (9.13) para ∆t
Te ≈
(
1 − ah
)
Td, (9.16)
de modo que el periodo de la señal es mayor en el momento de detección que en el momento de
emisión. En otras palabras la señal ha sufrido un corrimiento hacia el rojo con un factor (1 − ah).
Dado que para el observadorO′, que se cree en un campo gravitatorio, el factor ah es la diferencia
5Estrictamente hablando, el tiempo t corresponde al tiempo del observador externo O, pero para velocidades pe-
queñas en comparación con la velocidad de la luz, la diferencia entre el tiempo deO′ y O es depreciable.
6Obviamente, la ecuación (9.12) tiene otra solución, pero ésta es negativa, de modo que se puede rechazar por razones
fı́sicas.
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