BertJanssen-RelatividadGeneral-160

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(10.20) vemos que las ecuaciones de Einstein sin traza son de la forma
Rµν = −κ
(
Tµν −
1
2
gµνT
)
. (10.22)
Esta ecuación es completamente equivalente a (10.20), pero es un poco más fácil a la hora de
buscar soluciones, ya que no hace falta calcular el escalar de Ricci R. Históricamente, esta es la
forma original en que Einstein escribió las ecuaciones, aunque su forma más famosa es sin duda
(10.20).
Una de las ventajas de (10.22) es que en el vacı́o, donde Tµν = 0, las ecuaciones se reducen a
Rµν = 0. (10.23)
Obviamente el espacio de Minkowski es una solución de esta ecuación (la condión 3 sobre Gµν ),
pero (10.23) también es suficientemente complicado para admitir soluciones no-triviales, como la
solución de Schwarzschild o de ondas gravitacionales. Las soluciones de (10.23) son en cierto mo-
do el análogo de las ondas electromagnéticas en teorı́a de Maxwell, que también son soluciones
de las ecuaciones en el vacı́o. Las métricas que tienen la propiedad (10.23) se llaman Ricci-planas.
Finalmente, antes hemos visto que la forma más general de un tensor simétrico de rango 2,
linear en Rµνρλ es de la forma (10.18) y que la condición de que Gµν fuera cero para el espacio
plano fijaba el valor de la constante Λ en cero. Si aflojamos esta última condición y no exigimos
encontrar el espacio de Minkowski entre las posible soluciones, vemos que aparece un paráme-
tro nuevo en las ecuaciones: la constante cosmológica Λ. La constante cosmológica no apareció en
la primera publicación de Einstein, sino que la introdujo cuando empezaba a interesarse por la
cosmologı́a, con el fin de obtener un universo estático. El valor de la constante cosmológica no
está determinado por la teorı́a y representa una fuerza universal repulsiva si Λ > 0 y atractiva
si Λ < 0. Se la puede interpretar como la energı́a del vacı́o y muchas veces se la considera par-
te del tensor de energı́a-momento, más que de la parte geométrica de la ecuación de Einstein.
Efectivamente el tensor de energı́a-momento correspondiente serı́a
T (Λ)µν = Λgµν , (10.24)
en otras palabras un fluido perfecto con Λ = ρ = −P . Observaciones cosmológicas recientes pa-
recen sugerir que en nuestro universo la constante cosmológica tiene un pequeño valor positivo
y forma un 70% del contenido de energı́a del universo (véase Capı́tulo ??).
10.3. Fı́sica en espacios curvos y la acción de Einstein-Hilbert
Hemos visto que las ecuaciones de Einstein (10.20) nos dicen cómo la materia y la energı́a
determinan la curvatura del espaciotiempo, pero no dicen nada sobre la dinámica de la materia y
los campos no-gravitacionales. Obsérvese que (10.20) es una ecuación diferencial para gµν , donde
Tµν aparece como un término inhomogeneo, no como algo dinámico. Lo que nos gustarı́a tener
es una generalización a espacios curvos de la dinámica relativista de la sección 3.3, es decir de la
Segunda Ley de Newton y de la teorı́a de Maxwell.
El Principio de Covariancia dice que las leyes de la fı́sica en un espacio curvo tienen que trans-
formar bien bajo cambios generales de coordenadas, es decir tienen que estar escritas en términos
de derivadas covariantes, en lugar de derivadas parciales. Y el Principio de Equivalencia dice que
las leyes tienen que ser de tal forma que en las coordenadas localmente inerciales tienen que re-
cuperar la forma de la relatividad especial. Pero aún ası́ hay muchas maneras de generalizarlas.
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	III Relatividad General
	Las ecuaciones de Einstein
	Física en espacios curvos y la acción de Einstein-Hilbert