BertJanssen-RelatividadGeneral-17

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tal que (1.16) aplicado al lagrangiano (1.9) implica la ecuación demovimiento (1.10), como hemos
derivado antes calculando el lı́mite explı́citamente.
En la práctica, las derivadas funcionales, por muy complicadas que parezcan, se aplican como
si fueran derivadas ordinarias, olvidándose de que uno en realidad está derivando con respecto
a funciones. Omitiendo la dependencia funcional, podemos por lo tanto reducir (1.17) y (1.18) a
δL
δ(∂tφ)
= ρ ∂tφ,
δL
δ(∂xφ)
= Y ∂xφ. (1.19)
La generalización de todo el formalismo a dos y tres dimensiones deberı́a ser obvia. En lugar
de ser funciones de sólo x y t, los campos φ(xi, t) van a depender en general de xi y t y el lagran-
giano será una función de φ(xi, t) y sus derivadas ∂jφ(x
i, t) y ∂tφ(x
i, t). La ecuación de Lagrange
(1.16) será por lo tanto de la forma
∂
∂t
( δL
δ(∂tφ)
)
+
∑
i
∂
∂xi
( δL
δ(∂iφ)
)
− δL
δφ
= 0. (1.20)
1.2. Las leyes de Maxwell
El fı́sico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879) publicó sus cuatro leyes de Maxwell en
1865, aunque la mayorı́a de ellas ya habı́an sido descubiertos por Charles-Augustin Coulomb
(1736-1806), Hans Christan Ørsted (1777-1851), André-Marie Ampère (1775-1836), Jean-Baptiste
Biot (1774-1862), Félix Savart (1791-1841) y Faraday (1791-1867) a base de investigación experi-
mental. De hecho Maxwell añadió sólo un término nuevo a las ecuaciones que ahora llevan su
nombre. Pero el gran logro de Maxwell fue unificar el conjunto de leyes empı́ricas sueltas sobre
electrostática, corrientes eléctricas e inducción magnética en una sólida teorı́a que describe todos
los fenómenos relacionados con el electromagnetismo. Y como extra resultó que su teorı́a era ca-
paz de dar un fundamento teórico a la óptica, una parte de la fı́sica que hasta entonces parecı́a
completamente disconexa de los fenómenos electromagnéticos.
Dada una densidad de cargas eléctricas ρ(~x, t) y una densidad de corriente ~ (~x, t), las leyes
de Maxwell para los campos eléctricos ~E(~x, t) y magnéticos ~B(~x, t) vienen dadas, en unidades de
Lorentz-Heaviside,3 en la siguiente forma
~∇ · ~E = ρ, (1.21)
~∇× ~E = −1
c
∂t ~B, (1.22)
~∇ · ~B = 0, (1.23)
~∇× ~B = 1
c
~ +
1
c
∂t ~E, (1.24)
donde c es la velocidad de la luz.
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial (1.21)-(1.24) consiste en 8 ecuaciones dife-
renciales lineales acopladas, donde en general se toma como condiciones de contorno que los
campos ~E y ~B tienden a cero en el infinito (para sistemas infinitos). Aunque la forma diferencial
(1.21)-(1.24) es más conveniente para buscar soluciones de las ecuaciones, la fı́sica detrás de estas
ecuaciones se ve mejor en la formulación integral. Utilizando los teoremas de Stokes sobre las
3Las unidades de Lorentz-Heaviside es un convenio donde, a diferencia de las unidades SI, la permitividad eléctrica
ǫ0 y la permeabilidad magnética µ0 del vacı́o no aparecen explı́citamente. Tiene la ventaja que el único parámetro fı́sico
que aparece en las ecuaciones de Maxwell es la velocidad de la luz c.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Breve repaso de la teoría de Maxwell
	Las leyes de Maxwell