BertJanssen-RelatividadGeneral-172

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podemos afirmar que la constante de proporcionalidad κ en (10.20) realmente es κ = 8πGN ,
como dijimos en la seccion 10.2.
El potencial newtoniano se saca de la ecuación de la geodésica (7.42), la ecuación de movi-
miento de una partı́cula libre en relatividad general. Las componentes espaciales se reducen en
nuestra aproximación a
d2xi
dt2
+ Γitt + Γ
i
jk
dxj
dt
dxk
dt
≈ 0, (11.10)
donde hemos utilizado la aproximación (11.7). El último término se puede despreciar frente a los
primeros dos, ya que también es de orden ε2, debido a (11.8). Por último tenemos que en primera
aproximación
Γitt ≈
1
2
ε ηij
[
2∂thtj − ∂jhtt
]
≈ −1
2
ε ηij∂jhtt ≈ −
1
2
∂igtt, (11.11)
donde en la segunda igualdad hemos despreciado las derivadas temporales frente al gradiente
por (11.9) y en la tercera igualdad hemos utilizado la expansión (11.1) para escribir el resultado
en término de la métrica gµν . La ecuación de la geodésica se reduce por lo tanto a
d2xi
dt2
≈ 1
2
∂igtt. (11.12)
Comparando esta expresión con la segunda ley de Newton para una partı́cula en un campo
gravitatorio (5.57) y tomando en cuenta que ∂i = −(~∇)i, vemos que podemos identificar en
primera aproximación el potencial de Newton Φ con la componente gtt de la métrica:
2
gtt ≈ 1 + 2Φ. (11.13)
Efectivamente, en el Capı́tulo 12 veremos que la solución de las ecuaciones de Einstein que des-
cribe un objeto masivo estático con masa m y con simetrı́a esférica viene dada por la métrica de
Schwarzschild,
ds2 =
(
1 − 2GNm
r
)
dt2 −
(
1 − 2GNm
r
)−1
dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (11.14)
donde GN es la constante de Newton, de modo que con (11.13) recuperamos la forma conocida
del potencial newtoniano para objectos esféricos
Φ ≈ −GNm
r
. (11.15)
Efectivamente, con la identificación del potencial newtoniano (11.15), la ecuación de la geodési-
ca (11.12) se convierte en la conocida segunda ley de Newton para una partı́cula en un potencial
gravitatorio: ~̈x = −~∇Φ. Obsérvese que aquı́ vemos concretamente lo que ya habı́amos dicho en el
Capı́tulo 9: lo que para Newton es una fuerza gravitatoria Fg que actúa a distancia, es para Eins-
tein un término geométrico, la componente Γitt de la conexión de Levi-Civita del espaciotiempo
en que se mueve la partı́cula.
El valor de la constante de proporcionalidad κ lo obtenemos a través de las ecuaciones de
Einstein (11.6) para un campo débil, originado por una distribución de materia frı́a (polvo) con
velocidades no relativistas. En esta aproximación la única componente no cero del tensor de
energı́a-momento (10.1) es T tt ≈ ρ0, de modo que bajando los ı́ndices y tomando la traza tenemos
que
Ttt ≈ ρ0, T ≈ ρ0. (11.16)
2Nótese que asumimos que el espaciotiempo sea asintóticamente plano (para la definición véase Capitulo 12). Si el
espaciotiempo no es asintóticamente plano, la definición del potencial gravitatorio es un poco más complicada.
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