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Schwarzschild (sólo es más fácil calcularlo aquı́, debido a la simetrı́a de la solución), sino que ocu- rre en general cerca de cualquier conjunto grande de masa y energı́a. Hay numerosos ejemplos de galaxias y cuásares que están en posiciones (ligeramente) distintas en el cielo, pero muestran exactamente el mismo espectro, indicando que en realidad se trata del mismo objeto. La luz de estos objetos lejanos, inicialmente emitida en direcciones (ligeramente) distintas, está enfocada al pasar cerca de otro objeto muy masivo más cercano. En este caso el objecto cercano realmente actúa como una lente gravitacional, proyectando multiples imágenes en el cielo terrestre (véase Figura 11.4). Este efecto ocurre en tres dimensiones, por lo que puede dar lugar a configuracio- nes como la Cruz de Einstein (el cuásar QSO2237 + 0305, que proyecta 5 imágenes en forma de cruz) o (secciones de) los anillos de Einstein que aparecen en las fotografı́as de campo profundo, hechas por el Hubble Space Telescope. La distorsión de los objetos en estas imágenes nos puede dar información sobre la cantidad y la distribución de la materia oscura en el universo. El mismo efecto (aunque aún no observado) ocurre cerca de agujeros negros: el campo gra- vitatorio de estos objetos es tan grande que la luz puede dar completamente la vuelta o incluso llegar a orbitar el agujero negro. Los efectos de distorsión gravitacional de las imágenes son ma- yores cuanto más uno se acerca (y no suele ser considerada en imágenes artı́sticas de agujeros negros, por lo que éstas son poco fiables). 11.4. El efecto Doppler gravitacional En la sección 9.3 ya habı́amos deducido la existencia de un efecto Doppler gravitacional a base del Principio de Equivalencia e incluso habı́amos derivado unos primeros resultado cualitativos para un campo gravitatorio constante a través de un ascensor acelerado. En esta sección quere- mos hacer la derivación conmás cuidado con las herramientas de relatividad general y geometrı́a diferencial. Sin embargo, el estudiante atento notará un paralelismo entre esta derivación y la de la sección 9.3. El efecto Doppler gravitacional no sólo ocurre para campos gravitacionales constantes, sino para cualquier espaciotiempo estático. En grandes lı́neas, un espaciotiempo estático quiere decir que existe un sistema de coordenadas donde podemos dividir las cuatro coordenadas en una temporal, digamos t, y tres espaciales xi y que las componentes de la métrica gµν no dependen de la coordenada temporal t. Además la simetrı́a t → −t de las soluciones estáticas impide que la métrica tenga términos cruzados gti, de modo que la forma más general de una métrica estática viene dada por ds2 = gtt(x k) dt2 − gij(xk) dxi dxj . (11.55) Consideremos ahora dos observadores, llamados el emisor y el detector, en reposo en dos posiciones diferentes del espaciotiempo, ambos equipados con un reloj atómico. Sean xµe = x µ e (τe) y xµd = x µ d (τd) las lineas de universo de cada observador, parametrizados por el tiempo propio de cada uno. El emisor emite con cierte regularidad señales hacia el detector, donde el intervalo dτe entre dos emisiones viene dado por dτ2e = gµν(xe) dx µ dxν = gtt(xe) dt 2. (11.56) Por otro lado, el intervalo entre dos detecciones dτd no necesariamente tiene que coincidir con dτe, de modo que dτ2d = (γ dτe) 2 = gtt(xd) dt 2, (11.57) donde γ es el factor de dilatación temporal debido al campo gravitatorio y podemos obtener una expresión para γ dividiendo ambas expresiones, γ = √ gtt(xd) gtt(xe) . (11.58) 180 III Relatividad General Los tests clásicos de la relatividad general El efecto Doppler gravitacional
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