BertJanssen-RelatividadGeneral-196

Vista previa del material en texto

r
t
0 2M
Figura 12.1: Las geodésicas nulas radiales en la solución de Schwarzschild en las coordenadas de Sch-
warzschild (t, r, θ, ϕ). Para r ≫ 2M los conos de luz se comportan como en Minkowski, pero más cerca
del radio de Schwarzschild los conos se cierran y degeneran en r = 2M . Dentro del radio de Schwarzschild
los conos han cambiado de orientación y apuntan hacia la singularidad en r = 0. En estas coordenadas sin
embargo parece que no es posible cruzar el radio de Schwarzschild desde el exterior.
cuya solución viene dada por
t = ±
(
r + 2M log |r − 2M | + C0
)
, (12.18)
donde C0 es una constante de integración y los signos indican la dirección de las geodésicas: el
signo posivito corresponde a geodésicas salientes y el signo negativo a geodésicas entrantes.
Lejos del centro, para r ≫ 2M , el segundo término es despreciable frente al primero y los
conos de luz se comportan más o menos como en Minkowski, es decir, hacen ángulos de 45o con
los ejes t y r. Esto es de esperar, ya que la solución de Schwarzschild es asintóticamente plana
y se aproxima a Minkowski para r → ∞. Sin embargo, más cerca del radio de Schwarzschild,
el término logarı́tmico se vuelve más importante, lo que indica que a los rayos de luz les cuesta
más salir del pozo potencial creado por el campo gravitatorio. Concretamente, los conos de luz
se cierran cada vez vez cuanto más nos acercamos al radio de Schwarzschild y en r = 2M están
completamente degenerados (vease Figura 12.1).3 Dentro del radio de Schwarzschild, tanto las
geodésicas entrantes como las salientes apuntan hacia la singularidad y los conos han cambiado
de orientación y apuntan hacia la singularidad fı́sica en r = 0. Esto es una consecuencia del hecho
de que para r < 2M , las componentes gtt y grr de la métrica cambian de signo y las coordenadas t
y r intercambian los papeles de coordenadas temporal y espacial. Veremos en breve el significado
fı́sico de esta propiedad.
En la Figura 12.1 parece que ninguna señal de luz es capaz de cruzar el radio de Schwarz-
schild, ni de fuera hacia dentro, ni al revés. Dado que una partı́cula masiva siempre se mueve
dentro de su cono de luz, parece que tampoco ninguna partı́cula masiva, ni ningún observador
es capaz de entrar a la zona r < 2M . En las coordenadas de Schwarzschild, una partı́cula que se
cae hacia el centro, se parecer acercar asintóticamente al radio de Schwarzschild, pero nunca lo
cruza.
3Esta es en realidad la causa de la singulardad de coordenadas en el radio de Schwarzschild: las direcciones nulas
x± = t ± (r + 2M log |r − 2M |) son linealmente independientes en todos la variedad, salvo en r = 2M , de modo que
allı́ formarı́an una base degenerada.
196