BertJanssen-RelatividadGeneral-199

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t
~
0 r2M
Figura 12.3: La solución de Schwarzschild en coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein. Los conos
de luz se inclinan tanto más cuanto más cerca de la singularidad. El radio de Schwarzschild r = 2M es
especial, porque allı́ la inclinación es tanto que ni las geodésicas nulas salientes llegan al infinito. El radio
de Schwarzschild forma un horizonte deja entrar influencias causales, pero no salir. Un observador exterior
no puede ver lo que ocurre dentro y un observador dentro no tiene manera de evitar la singularidad.
coordenada temporal t̃ difiere mucho del tiempo t, medido por el observador lejano O.
No es difı́cil ver que las expresiones (12.18) para las geodésicas radiales nulas en coordenadas
de Eddington-Finkelstein son
t̃ = −r + C0, t̃ = r + 4M log |r − 2M | + C0, (12.27)
para las geodésicas entrantes y salientes respectivamente. Nótese que las geodésicas entrantes
tienen una forma particularmente fácil (esta es la razón por la que hemos cambiado a estas coor-
denadas) y que no divergen en r = 2M , sino que pasan desde r = ∞ hasta r = 0 sin problema.
En particular, veremos que estas coordenadas (t̃, r, θ, ϕ) no son singulares en el radio de Schwarz-
schild y nos permiten trazar sin problemas trayectorias hasta r < 2M . Las coordenadas (t̃, r, θ, ϕ)
se llaman las coordenadas (avanzadas)4 de Eddington-Finkelstein, introducidas por David Finkelstein
(1929 - ) en 1958.5
En la Figura 12.3 se puede ver que el comportamiento de los conos de luz en las coordenadas
de Eddington-Finkelstein es distinto que en las coordenadas de Schwarzschild. Para r ≫ 2M , los
conos se comportan como en el espacio de Minkowski, igual que en las coordenadas de Schwarz-
schild, pero cerca del r = 2M , los conos empiezan a inclinarse hacia la singularidad. Las geodési-
cas radiales nulas entrantes siempre mantienen el mismo ángulo de 45o con el eje r, pero las
geodésicas salientes tienen un ángulo cada vez mayor, cuanto más se acercan a r = 2M , ya que
a las geodésicas salientes les cuesta cada vez más salir hacia el infinito, debido a la curvatura del
espacio. El radio de Schwarzschild es un punto especial, porque allı́ la inclinación de los conos
4Se suele añadir a estas coordenadas el adjetivo “avanzada”, porque también se pueden construir, a partir de las
geodésicas salientes, unas coordenadas (t̄, r, θ, ϕ), con t̄ = t − 2M log(r − 2M), llamadas las coordenadas retardadas de
Eddington-Finkelstein. Estará claro que la diferencia entre las coordenadas avanzadas y retardadas consiste básicamente
en el intercambio de las propiedades de las geodésicas entrantes y salientes. Aquı́ supondremos que si no añadimos el
adjetivo explı́citamente, nos referiremos a las avanzadas. Discutiremos brevemente las retardadas un poco más adelante.
5El primero en construir un sistema de coordenadas que no fuese singular en r = 2M fue Arthur Eddington, aunque
no parece haberse dado cuenta del significado fı́sico. El primero en entender que la singularidad en el radio de Schwarz-
schild es una singularidad de coordenadas y no una singularidad fı́sica fue el cura y fı́sico belga George Lemaı̂tre (1894-
1966) en 1933.
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